整理全面《高中数学知识点归纳总结》

1、教师版高中数学必修+选修知识点归纳引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成： 必修1:集合、函数概念与基本初等函数（指、 对、幕函数）必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。必修4:基本初等函数（三角函数）、平面向量、 三角恒等变换。必修5:解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初 步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、 发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做 过高的要求。此外，

2、基础内容还增加了向量、算法、概 率、统计等内容。选修课程有4个系列： 系列1:由2个模块组成。 选修11:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。选修12:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图系列2:由3个模块组成。 选修21:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。选修22:导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数选修23:计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。系列3:由6个专题组成。 选修31:数学史选讲。选修32:信息安全与密码。选修33:球面上的几何。选修34:对称与群。选修35:欧拉公式与闭曲面分类。选修36:三等分角与数域扩充。系列4:由10个专

3、题组成。选修41:几何证明选讲。选修42:矩阵与变换。选修43:数列与差分。选修44:坐标系与参数方程。选修45:不等式选讲。选修46:初等数论初步。选修47:优选法与试验设计初步。选修48:统筹法与图论初步。选修49:风险与决策。选修410:开关电路与布尔代数。2.重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、 指数与指数函数、 对数与对 数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、

4、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用

5、(11) 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布(12) 导数：导数的概念、求导、导数的应用(13) 复数：复数的概念与运算必修 1 数学知识点第一章：集合与函数概念1 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做 集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。2 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。3 3、常见集合：正整数集合：N*或 N ，整数集合:Z ,有理数集合：Q ,实数集合: R. .4 4、 集合的表示方法： 列举法、描述法. .1 1、一般地，对于两个集合 A A、B B,如果集合A A 中任意一个元素都是集合B B 中的元素，则称集合 A

6、 A 是集合 B B 的子集。记作A B. .2 2、 如果集合A B，但存在元素xB，且x - A，则称集合 A A 是集合 B B 的真子集. .记作：AB.3 3、 把不含任何元素的集合叫做 空集 . .记作：-.并规定：空集合是任何集合的子集 4 4、 如果集合 A A 中含有 n n 个元素，则集合 A A有2n个子集，2n-1个真子集 1 1、 一般地，由所有属于集合 A A 或集合 B B 的元素组成的集合，称为集合 A A 与 B B 的并集. .记作：A B. .2 2、 一般地，由属于集合 A A 且属于集合 B B 的所有元素组成的集合，称为 A A 与 B B 的交集.

7、 .记作：A B. .3 3、 全集、补集？ CuA 二x|xU，且x71 1、 设 A A、B B 是非空的数集，如果按照某种 确定的对应关系 f，使对于集合 A A 中的 任意一个数 x，在集合 B B 中都有惟一确 定的数 f x 和它对应，那么就称 f : A B 为集合 A A 到集合 B B 的一个函 数，记作：y 二 f x ,x，A. .2 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. .如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. .1 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、 列表法. .1 1、注意函数单调性的证明方法：定义法：设 Xi、X

8、2a,b, Xi：X2那么f(xi) -f (X2)：0 二 f (x)在a,b上 是增函 数；f(Xi)-f(X2)0 二 f (X)在a,b上是减函数. .步骤：取值一作差一变形一定号一判断格式：解：设 X x2a,b 且捲：X2，贝 y：f Xi- f X2二(2)(2)导数法：设函数 y = f(x)在某个区间 内可导，若 f (x) 0，则 f (x)为增函数； 若 f (x): o，贝yf (x)为减函数. .1 1、一般地，如果对于函数 f X 的定义域内 任意一个X，都有 f - x=f X，那么就 称函数 f X 为偶函数. .偶函数图象关于y轴对称. .2 2、一般地， 如

9、果对于函数f x的定义域内 任意一个X，都有 f -X 二-f X，那么 就称函数 f X 为奇函数. .奇函数图象关 于原点对称. .知识链接：函数与导数1 1、 函数 y二f(x)在点 Xo处的导数的几何意义：函数y = f (x)在点xo处的导数是曲线 y = f (x)在P(Xo,f (Xo)处的切线的斜率 f (Xo)，相应的切线方程是y - yo二 f (xo)(x - xo). .2 2、 几种常见函数的导数 C =0 :(xn)二 nxnJ;3(sin x)= cosx ；4(cosx) - -sin x ;5(ax)= ax1 na ；(ex) ex;(logax) -:(I

10、n x)=x In ax3 3、 导数的运算法则(1)(u二v)= u二v. .(2)(uv) = u v uv . .II/,u、u v uv ,c、(3)(一)2(v=0). .vv4 4、 复合函数求导法则复合函数 y=f(g(x)的导数和函数y f (u),u二g(x)的导数间的关系为y；=y：ux，即y对 x 的导数等于y对 u 的导 数与 u对 X 的导数的乘积. .解题步骤: :分层一层层求导一作积还原. .5 5、 函数的极值(1)(1) 极值定义：极值是在Xo附近所有的点，都有f(x)Vf(Xo)，则f (Xo)是函数f(x)的极大值；极值是在X0附近所有的点，都有f(x)f

11、 (Xo)，则f (Xo)是函数f (X)的极小值. .(2)(2) 判别方法：1如果在x0附近的左侧f(X) 0 0,右侧f(x)V 0 0,那么f(xo)是极大值；2如果在Xo附近的左侧f (x)V 0 0,右侧f (x) 0 0,那么f(x0)是极小值. .6 6、求函数的最值 aras=ar sa . 0,r,s.二 Q ；图 象性质(1)定义域：R(2)值域：(0, +8)(3)过定点(0, 1),即 x=0 时，y=1(4)在 R 上是增函数(4)在 R 上是减函数(5)(5)x 0,a1 2 3 4 5; ;(5)(5) x a 0,0 v axc 1Jsari = arsa O

12、,r,s二Q； abr= arbra . 0,b 0, r Q . .1 1、 记住图象：y=axa 0,12 2、 性质：y=ax0a1. . V V(1)(1)求 y = f(x)在(a, b)内的极值(极大或者极小值)将八 f(x)的各极值点与f(a), f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个 为极小值。注：极值是在局部对函数值进行比较(局 部性质)；最值是在整体区间上对函数值进 行比较( (整体性质) )。第二章：基本初等函数(I)2 2一般地，如果 x= a ,那么 x 叫做 a 的 n次方根。其中 n 1, n N . .3当 n 为奇数时，Van=a;当n为偶数时，Va

13、 = a .4 4我们规定：n am=mana 0, m, n N*, m 1 ; a * = t n 0 ；a5 5运算性质：1 1、 指数与对数互化式：axN x = logaN ；2 2、 对数恒等式：alogaN二 N . .3 3、 基本性质：loga1=0，logaa = 1 . .4 4、 运算性质：当 a 0,a = 1,M 0,N 0 时：log 5 5、换底公式：logab 二也blogcaa 0, a =1,c 0, c = 1,b0. .6 6、重要公式：呱八孕眦(1) logMN = logMlogaN；logM =logM- logaN；1 /logaba 0,a

14、-1,b0,b -logbaW 2.222.22、对数函数及其性质1 1、记住图象：y=logaxa 0,a=12 2、性质:y=logax0a1*x图象i性质(1)(1)定义域：(0 0, + +x)(2 2)值域：R R(3 3)过定点(1 1，0 0)，即 x=1x=1 时，y=0y=0(4 )在(0，+比)上是增函数(4)在(0, +)上是减函数(5)(5) x 1,logax 0 ；(5)(5) x 1,logax c0 ； 2.32.3、幂函数1 1、几种幂函数的图象：第三章：函数的应用1 1、方程 f x =0 有实根二函数 y 二 f x 的图象与 x 轴有交点 二函数 y =

15、 f x有零点. .2 2、零点存在性定理：6 7如果函数 y 二 f x 在区间 a,b】上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 fa f b：0，那么函数y二f x在区间a,b内有零点， 即 存在c三(a,b，使得 f c =0，这个 c 也就是1 1、掌握二分法. .1 1、解决问题的常规方法：先画散点图，再 用适当的函数拟合，最后检验. .必修 2 数学知识点第一章：空间几何体1 1、 空间几何体的结构(常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱

16、。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2 2、 空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影，平行投影的投影线是平行的。3 3、 空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积；S侧面二2 二 r l圆锥侧面积：S侧面=7：r l圆台侧面积：S侧面之r-Rl体积公式:V柱体-S h；1V锥体二-S h；球的表面积和体积:方程 f x = 0 的根. .243S球,V球匕二R. .第二章：点、直线、平面之间的位置关系1 1、 公理 1 1 :如果一条直线上两点在一个平面内

17、，那么这 条直线在此平面内。2 2、 公理 2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平 面。3 3、 公理 3 3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线。4 4、 公理 4 4:平行于同一条直线的两条直线平行.5 5、 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补。6 6、 线线位置关系：平行、相交、异面。7 7、 线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、 直线和平面相交。8 8、 面面位置关系：平行、相交。9 9、 线面平行:判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）性质：一条直

18、线与一个平面平行，则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行 （简称线面平行，则线线平行） 。1010、 面面平行:判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。1111、 线面垂直:定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直 线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。1212、面面垂直:定义：两个平面相交，如果它们

19、所成的二面角是直二 面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两 个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直） 。性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂 直）。第三章：直线与方程1 1、 倾斜角与斜率：k 二 tan X2_Xj2 2、 直线方程：点斜式：y - y= k x - X。斜截式：y = kx b两点式：y - y1y2- y1X _ x!x2- x1截距式：y=1 a b般式：Ax By C = 03 3、对于直线:l1:k1x b|,l2: y = k2x b2有:h 和 I?相交:二 k1= k

20、2； l1和 12重合二“l1l2=k= k：b2；h I 12：= kik_-8.4 4、对于直线：标准方程：(x-a f +(y-b f = r2其中圆心为(a,b)，半径为 r . .一般方程：x2y2Dx Ey F =0.=0.其中圆心为(-D吐)半径为2 2r J . D2E2-4F. .d = r =相切=.：二0;d：r：=相交 u .:11: Aix BiyG =0,士有:12: A2x B2yC2= 0A1B2 = A2BiBrC2式B2CiA1B2- A2B1;A B2= A2B1；B|C2= B2C15 5、两点间距离公式:6 6、 点至 U 直线距离公式：7 7、 两平

21、行线间的距离公式：li: Ax By Ci= 0 与 l2: Ax By C2=0 平行，则d二Ci-C9VAF第四章：圆与方程1 1、 圆的方程：弦长公式:I = 2；r2 d23 3、两圆位置关系：d = OiO2外离：d R r;外切：d二R r;相交：R r：d：R r;内切：d二R-r;92 2、 直线与圆的位置关系直线 Ax By 0 与圆(x-a)2，(y-b)2=r2的位置关系有三种: :d r =相离=：0;内含：d：R - r. .3 3、空间中两点间距离公式：必修 3 数学知识点第一章：算法1 1、 算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言;2 2、 流程图中的图框：起止

22、框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；3 3、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构当型循环结构直到型循环结构顺序结构示意图:I1/I2 U|1和 l2重合二 li _ 12 uAiA2B1B2= = 0.0.（图 1 1）条件结构示意图： IF-THEN-ELSEIF-THEN-ELSE 格式：IF条件THEN循环语句的一般格式是两种:END IF（图当型循环（WHILEWHILE I I 语句的一般格式:3 IF-THENIF-THEN 格式 一i芥是语句（I Iii是语句 2 2 ；下结构示意足条件| |i1否循7 7WHILE条件循环体（图4 4）WEND直到

23、型循环（UNTILUNTIL）语句的一般格式:否当型（WHILWHIL直到型iDO理）循环结语句意图:- -1 :卄（图 4 4）UUNTILUNTIL循环体_; 循环结构示意图:kP是4 4、基本算法循环体否输入语句的一般格式：沪 U U“提示内容”；输出语句的一般格式:PRINPRINT提示内容”；表达式赋值语句的一般格式:变量=表达式“二”有时也用条件语句的一般格式有两种:IFIF THEN-THEN- ELSEELSE 语句的一般格式为:IFIF T TIF条件THEN语句1（图ELSE、HENHEN 语句的一般格式为:END IF循环体LOOP UNTIL辗转相除法一结果是以相除余数

24、为0 0 而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：i） :用较大的数 m m 除以较小的数 n n 得到 一个商S0和一个余数 R。;ii）：若RD= 0 0,则 n n 为 m,m, n n 的最大公约 数；若Ro工 0 0,则用除数 n n 除以余数 Ro得到 一个商 S S 和一个余数 R R ;iii）:若 Ri= 0 0,则 Ri为 m, n n 的最大公约 数；若 R工 0 0,则用除数 Ro除以余数 R 得到 一个商 S2和一个余数 R2；依次计算直至 Rn= 0 0,此时所得到的 Rn 即为所求的最大公约数。2更相减损术一结果是以减数与差相等而 得到利用更相减损术求最大公约

25、数的步骤如下：i） :任意给出两个正数； 判断它们是否 都是偶数。若是，用 2 2 约简；若不是，执行 第二步。ii）:以较大的数减去较小的数，接着把 较小的数与所得的差比较，并以大数减小 数。继续这个操作，直到所得的数相等为止， 则这个数（等数）就是所求的最大公约数。3进位制十进制数化为 k k 进制数一除 k k 取余法 k k 进制数化为十进制数第二章：统计则其平均数为X-! p1X2p2亠亠XnPn；1简单随机抽样（总体个数较少）2系统抽样（总体个数较多）3分层抽样（总体中差异明显）注意：在 N N 个个体的总体中抽取出 n n 个个体 组成样本，每个个体被抽到的机会（概率） 均为n。

26、N2 2、 总体分布的估计：一表二图：1频率分布表数据详实2频率分布直方图 分布直观3频率分布折线图便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1 1。茎叶图：1茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于 看出数据的分布，以及中位数、众位数等。2个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照 从小到大书写，相同的数据重复写。3 3、 总体特征数的估计：平均数：X1X2X3Xn；n取值为XX2，X 的频率分别为Pi，P2，, Pn，注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据Xi,X2n2方差：S2=丄 (Xi-X；n7注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳 定。平均数反映

27、数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程1变量之间的两类关系：函数关系与相关关 系；2制作散点图，判断线性相关关系3线性回归方程：y=bxa（最小二乘法） 注意：线性回归直线经过定点（x,y）。第三章：概率1 1、 随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点;随机事件 A A 的概率：P（A）,0 _ P（A） _1. .n2 2、 古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个1 1、抽样方法:标准差:2(XiX)生，则称这两个事件为对立事件。古典概型的特点：1所有的基本事件只有有限个；2每个基本事件都是等可能发

28、生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可 能基本事件共有 n n 个，事件 A A 包含了其中的 m m 个基本事件，贝淳件 A A 发生的概率P(A)/.n3 3、 几何概型：几何概型的特点：1所有的基本事件是无限个；2每个基本事件都是等可能发生。几何概型概率计算公式：P(A)二輕度；D 的测度其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、 面积、体积等。4 4、 互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件A,A2,，An任意两个都是互斥事 件，则称事件A1,A2,，An彼此互斥。如果事件 A,A, B B 互斥，那么事件 A+BA+B 发生的概率，等于事件 A A，B B 发生的概

29、率的和，即：P(A B) =P(A) P(B)如果事件A,A2, ,An彼此互斥，则有：对立事件：两个互斥事件中必有一个要发1事件 A A 的对立事件记作 A A2对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必 是对立事件。必修 4 数学知识点第一章：三角函数1 1、 正角、负角、零角、象限角 的概念. .2 2、 与角终边相同的角的集合：= :- 2k二，k Z?.1 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做1 1弧度的角. .2 2、 a a =丄.r3 3、 弧长公式：I= 迟=o R. .1804 4、 扇形面积公式：S-UE IR. .36021 1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于

30、点 P x,y，那么：sin：二y, cos：二x, tan：二卫x2 2、 设点A x ,y为角终边上任意一点，那么：(设 r =x2y2)yx丄ysin，cos，tan-：基本结果;rrxxcot：=y3 3、sin：,cos_：i,tan在四个象限的符号和三角函数线的画法. .正弦线： MP;MP;余弦线： OM;OM;正切线： ATAT5 5、 特殊角 0 0,30,30 ,45,45 ,60,609090 ,180,180 ,270,270 等的三角函数值0 01 1、平方关系：2 2sin：亠cos2 2、商数关系：丄si ntancos。3 3、倒数关系：tan：cot：= 1

31、1.31.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z）1 1、 诱导公式一：sin很亠2k =sin：,cos很亠2k二-cos：,（其中：k Z）tan二亠2k：= tan：.2 2、 诱导公式二：3 3、 诱导公式三：4 4、 诱导公式四：5 5、 诱导公式五：6 6、 诱导公式六：1 1、记住正弦、余弦函数图象：y=sy=s inxinx2 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的 相.叫关性质:麴义域、值域、最京3兀 大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. .3 3、会用五点法作图. .y=sinxy=sinx 在 x x 0,0, 2 2 二上的五个关键点为

32、：n3（0,00,0），（），（ ,D,D,（H H,0,0），-,-1,-1）, ,（2 2兀,0,0）. .2 22 21 1、记住正切函数的图象:.人2 2、记住余切函数的图象:y=ta nx3 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. .周期函数定义：对于函数f(x )，如果存在一个非零常数 T,使得当x取定义域内的每一个值 时，都有f(x+T )=f(x )，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质图象定义域值域-1,1-1,1-1,1-1,1最值无周期性奇偶性奇偶奇

33、单调性在2k兀-卫,2 k兀+坷上单调递在2k兀一算,2饭上单调递在(k兀k兀十匹)上单调2 2递增增在2 E +匹,2k兀+上单调增在2k 兀,2k 兀上单调递减递减1.1.5 5、函数y=Asinx 亠：厂的图象1 1、对于函数：y =Asin门x亠；1亠B A 0,0有：振幅 A,2仃周期T二一，初相，相位，频率co2 2、能够讲出函数 y =s inx 的图象与y二As in的图象之间的平移伸缩变换关系 1先平移后伸缩：y =sinx平移|个单位y =sin x-（左加右减）横坐标不变打y = Asi n （x +半）纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变# y = Asin （灼x +

34、）i横坐标变为原来的|一|倍平移|B|个单位亍y = As in x i亠B（上加下减）2先伸缩后平移：y =sin x横坐标不变$ y =AsinAsin x x纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变费y =AsinAsin 时 x xi横坐标变为原来的|一|倍o9平移一个单位y = Asin （ x+ cp）对称对称轴方程：X=kJl+32对称轴方程：x=kjr无对称轴性对称中心（k兀,0）对称中心伽+上,0）对称中心（也，0）22（左加右减）平移|B|个单位*y =As in x亠亠B（上加下减）3 3、 三角函数的周期，对称轴和对称中心函数 y 二 sin.x ），x x R R 及函数y

35、 = cos（ ）， x xR R（A,A, ，, ,为常数，且 A A老0 0）的周期 T =;函数 y = tan（ x 曲），心1x = k , k Z （A,A, 3 , ,为常数，且AM0 0）2的周期 T . .S |对于 y = Asin（ x:）禾口 y = Acos（ x ）来 说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系 求函数 y = AsinCx ）图像的对称轴与对称中心，只需令-.-k （kZ）与2，x*（k Z）解出 x 即可. .余弦函数可与正弦函数类比可得. .4 4、 由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：A=独沁，2ymaxyminB. .2要根据周期来求

36、，要用图像的关键点来求. . 1.61.6、三角函数模型的简单应用1 1、要求熟悉课本例题. .第三章、三角恒等变换记住 1515 的三角函数值:2 2、辅助角公式1 1、 sin :- - - sin : cos 丨 cos:sinF2 2、 sin：- - sin：cos -cos：sin F3 3、 cos- - cos：cos - - sin：sin-4 4、cos：- -二 cos：cos：sin 篇 sin -5 5、tan二邛坦n :1-tan: tan :6 6、 tan i-tan:- -tan：1 tan：tan :.1 1、sin2：=2sin：cos：,变形二sinac

37、osa =*sin2a. .2 2、cos 2：- cos2-sin2:=1 2sin2：. .变形如下:升幂公式:1 cos 2：二2cos2:降幂公式:3 3、tan 2：1 -cos2：二 2sin2:cos2：=占(1 cos 2 )221sin a =扌(1cos2。)2tan二1 - tan2:4 4、ta n，壬4 空1+cos2sin 2口 3.23.2、简单的三角恒等变换1 1、注意正切化弦、平方降次（其中辅助角所在象限由点（a,b）的象限决定, ,tan =b）. .a第二章：平面向量1 1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、 加速度. .2 2、既有大小又有方向的量叫做

38、量. .1 1、 带有方向的线段叫做 有向线段，有向线 段包含三个要素：起点、方向、长度 . .2 2、向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度（或称模），记作 AA1 1；长度为零的向 量叫做零向量；长度等于 1 1 个单位的向 量叫做单位向量. .3 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）. .规定：零向量与任意向量平行. .1 1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. .1 1、 三角形加法法则 和 平行四边形加法法2 2、 a +6 a +冃1 1、与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的 相反向量. .2 2、三角形减法法则 和 平行四边形减法法则. .1

39、1、规定：实数与向量 a 的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘. .记作：a， 它的长度和方向规定如下：T2*-ka九a当0时，a的方向与 a 的方向相 同；当：0时，a 的方向与 a 的方 向相反. .2 2、平面向量共线定理:向量aa=0与 b 共 线，当且仅当有唯一一个实数使b a. .1 1、平面向量基本定理：如果e,e2是同一平 面内的两个不共线向量， 那么对于这一 平面内任一向量a，有且只有一对实数B卡1, -,|2，使a二11二 2e?.nfa1 1、a二xi y j二x, y. .仁 设 a =Jx1, y1,b=：X2,y2，贝U：a b= IXX2, y1y2，a -

40、b = Xj- X2y - y?，a二x-!, y-!，+ a/ b= xy = x2y1. .2 2、设 A x1, y1, B x2, y2，贝U：AB =x2 -x1,y2 -y11 1、设 AX1, % , B X2,y2,C X3,y3，贝U线段 ABAB 中点坐标为雪，需，厶 ABCABC 的重心坐标为 工驚，斗. . f ff F1 1、a b = a b cos 日. .2 2、a 在 b 方向上的投影为：冋 cos3 3、a2有.4 4、冃=厅.5 5、a_b= ab=0. .1 1、设a=坎1, y1,b=：X2,y2，贝U：* tr(1) a b二x1x2y1y2* .

41、X； y；(a _ b二a b = 0= x1x2y2=0H 44a/b=a-b=为丫2-乂2力=02 2、 设 A Xi, yi, B x2, y2,贝 U：AB =(x2 -X1 )+(y2_yi).3 3、 两向量的夹角公式 4 4、点的平移公式平移前的点为 P（x, y）（原坐标），平移后的对应点为 P（x；y）（新坐标），平移向量为PP=(h,k)，则xx+hk17 =y+k.后的图像的解析式为 y -k 二 f （x h）.知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得. .下面对空间向量在立体几何中 证明，求值的应用进行总结归纳. .1 1、直线的方向向量和平面的

42、法向量.直线的方向向量：若 ABAB 是直线I上的任意两点，则AB为 直线I的一个方向向量；与 AB 平行的任意非 零向量也是直线I的方向向量 .平面的法向量：若向量 n 所在直线垂直于平面，则称 n二，那么向量 n 叫做平面:-的法向量. .平面的法向量的求法（待定系数法）：1建立适当的坐标系.2设平面：.的法向量为 n=（x, y,z）.3求出平面内两个不共线向量的坐标a = （ai，a2,03），円九鸟,）.4根据法向量定义建立方程组4 4= 0.n b = 05解方程组，取其中一组解，即得平面:的法向量. .（如图）i2、用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线 hl 的方向向量分

43、别是 a、b,贝 y 要证明 h / l2，只需证明 a / b，即 a 二 kb（k R）. .即：两直线平行或重合；两直线的方向 向量共线。线面平行!1（法一）设直线l的方向向量是 a，平面!:的法向量是 U，贝 y y 要证明I/ ：,只需证明44 -I 4a _ u，即 a u = 0 . .即：直线与平面平行； 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外2（法二）要证明一条直线和一个平面平函数 y 二 f （x）的图像按向量 a=(h, k)平移这个向量垂直于平面:，记作 n n _ _，如果行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可 面面平行!若平面:的法

44、向量为 u,平面的法向量 为 V,要证： /,只需证 U / v,即证 u . .即：两平面平行或重合：二 两平面的法向 量共线。3 3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线打2的方向向量分别是 a、b，则要 证明 h_ 12，只需证明 a _ b，即 a b = 0 . .即：两直线垂直；两直线的方向向量垂 直。线面垂直!1（法一）设直线I的方向向量是 a,平面I:的法向量是u，则要证明I _：，只需证明444a / u，即 a = u . .2 2, n n N N ）, 那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数a、A、b成等差数列Aa b二A2通项公式：an= aj （n -

45、1）d = am （n -m）d 或an= p n q（p、q是常数）.前 n 项和公式：常用性质：1若 m n = p q m,n, p,q N 亠,贝Uaman _apaq；1若 m n 二 p q m, n, p,q N ，贝Uaman =apaq；2ak, ak.m,ak.2m，为等比数列，公比为 qk（下 标成等差数列，则对应的项成等比数列）3数列（ 为不等于零的常数）仍是公 比为 q 的等比数列；正项等比数列 W;则 lga/?是公差为 lg q 的等差数列；4若、an是等比数列，贝则 2 即，鸟2 * *，13anjanr“rZ）是等比数列，公比依次是2下标为等差数列的项 ak，

46、akm，ak2m，仍组成等差数列；3数列-an- b（ ,b 为常数）仍为等差数列；4若an、bn是等差数列，则kan、kanpbn （k、p是非零常数）、ap（p,qEN*）、，也成等差数列。5单调性：an*的公差为d，贝 y：i）d d O O 二&匚为递增数列；ii）d：0=a ?为递减数列；iii）d=0=玄匚为常数列；6数列an为等差数列=an二 pn y （p,qp,q 是常数）7若等差数列 ；的前 n 项和 Sn，则 Sk、S2k -14k、S3k -S2k 是等差数列。a10,q -1或a1：0,0 : q：1 =1anf为递增数 列；a1- 0,0：q : 1或印：0,q 1

47、：n*为递减 数列；类型 I|观察法：已知数列前若干项, 求该数列的通项时，一般对所给的项观察分 析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的 一个通项。类型 U 公式法：若已知数列的前 n 项 和 Sn与an的关系，求数列 a 啲通项 an可用 公式，(心)Sn,(22)构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一 种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合 二为一”，即印和 an合为一个表达，(要先分n = 1和n一2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一)。类型川|累加法：形如 ananf(n)型的递推数列 (其中f (n)是关于 n 的函数)可构造：b -az = f (n-1)an4

48、an, = f( n2).a2-af(1)3 3、等比数列定义：如果一个数列从第 2 2 项起，每一项 与它的前一项的比等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等比数列。等比中项：若三数 a、Gb 成等比数列= G = ab, （ab同号）。反之不一定成立。通项.公.式一一an = aiqn=amqn常用性质前 n 项和公式：Snai1-qni-qa _anqi -qq =1=冷门为常数列；将上述n一1个式子两边分别相加，可得:q : 0=an/为摆动数列；6既是等差数列又是等比数列的数列是常 数列。7若等比数列的前 n 项和 Sn，则 Sk、S2k-Sk、S3k-S2k 是等比数列.4、非等差、

49、等比数列通项公式的求法an= f( n 1) f( n 2) .f(2) f (1) a1,( n _ 2)1若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；2若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可 转化为等比数列求和；3若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分 组求和；4若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和. .累乘法:列 (其中 f(n)是关于 n 的函数)可构造: f(1)将上述n -1个式子两边分别相乘，可得:anf n-1) f( n-2) . f (2) f(1)an( n 一 2)有时若不能直接用，可变形成这种形式, 然后用这种方法求解

50、。类型 V | 构造数列法：形如 an 1panq (其中p,q均为常数且p = 0) 型的递推式：(1)(1) 若 P=1 时，数列 an为等差数列(2)(2) 若 q=0 时，数列an为等比数列形如 an 1二 anf(n)an*吐an= f(n)型的递推数anan Jf (n -1)anan -2=f (n_2)(3 3)若 p =1 且q= 0 时，数列 an为线性 递推数列，其通项可通过待定系数法构造等 比数列来求. .方法有如下两种：法一：设 ani二p(aJ,展幵移项整 理得 a. i二pan- (p -1)与题设 and= pan q 比较系数(待定系数法)得qqqr?(p)=

51、时百訂百)-a p(an旦;p 1p 1成以 a丄为首项，以p为公比的等比数 P-1列.再利用等比数列的通项公式求出aj 的通项整理可得 an.P法二：由 anpanq 得 a panq(n 一 2)两 式相减并整理得 孔a=p,即 fan1-an构an _an成以 a2-a!为首项，以p为公比的等比数列. 求出an i-可？的通项再转化为 类型川(累加 法)便可求出 an.形女口 an = pan f (n) (p =1)型的递推式 ： 当f (n)为一次函数类型(即等差数列)时:法一：设anAn B二panJA(n -1) B 1， 通过待定系数法确定 A、B 的值，转化成以 a1A B

52、为首项，以p为公比的等比数列 玄 An B?,再利用等比数列的通项公式求 出3n- An B的通项整理可得an.法二：当 f(n)的公差为d时，由递推式 得：anpanf (n)， a pand f(n1)两式相减得： an彳_an= p(an_ an) d，令 bn= an 1- an得：bn= pbnd 转化为类型 V 求出 bn，再用类型川(累加法)便可求出 an. 当 f (n)为指数函数类型(即等比数列)时:法一：设an f (n) = pan_i f (n -1)1， 通过待定系数法确定的值，转化成以a f(1)为首项，以p为公比的等比数列 玄 f(n)?，再利用等比数列的通项公式

53、求 出fanf(n)?的通项整理可得 an.法二：当 f(n)的公比为q时，由递推式 得：an 1二panf (n)-，a pan jf (n-1)，两边同时乘以q得 a“q =pqanqf (n-1)- ，由两式相减得 a. 1-a.q = pG -qanJ，即an1-qan= p，在转化为类型 V便可求出an一qan 4an法三：递推公式为 an d= pan qn(其中 p p，q q均为常数)或 an d= panrqn(其中 p p，q,q, r r 均为常数)时，要先在原递推公式两边同时除以 qn1，得：琴二卫卑 V，引q q q q入辅助数列抵(其中 bn吕),得：qbnbn15

54、再应用类型 V的方法解决。2（传递性）a b, b c= a cq q当 f (n)为任意数列时，可用 通法：在 a. 1二 pa. f (n)两边同时除以 pn 1可 得到瞎二空，令氏二 bn，则PPPPbn 1二 bn*牛，在转化为类型川(累加法)， P求出 bn之后得务=Pnbn. .类型 W | 对数变换法：形女口 an .1paq(p 0,an0)型的递推式：在原递推式 an i- paq两边取对数得Igan i二 qlg a.Ig p，令 bn=lg a.得:bn iqbnlg p，化归为 a.panq 型，求3（可加性）a - b= a c b c（同向可加性）a b,c d二a

55、 c b d（异向可减性）a b,c：. d =a - c b - d4（可积性） a a b,c a 0 n ac a be5（同向正数 可乘性）a b - 0, c d .0= ac bd（异向正数可除性）a b=卫丄c d6（平方法则）a b 0= anbn（nN,且n 1）7（幵方法则）ab 0=na；”nb（n N，且 n -1）8（倒数法则）-c 11- c 11a b 0; a：b：0 =a ba b出 bn之后得 an=10”(注意：底数不一定要 取 1010,可根据题意选择)。类型| 倒数变换法：形如 an 4-a pan4an(P为常数且 p = o ) 的 递推式：两边同

56、除于 ann，转化为p 形式，化归为 anpanq 型求anan 4出1的表达式，再求 an;an还有形如a卄=man的递推式，也可采用取npan+q倒数方法转化成 丄丄形式，化归为an +q anpan 1= panq 型求出 丄 的表达式，再求 an. .an类型哑 I 形如 a = pa +qan 型的递 推式：用待定系数法，化为特殊数歹Vananj 的形式求解。方法为：设an .2- kan .1= h(an 1- kan)，比较系数得h k 二 p,-hk 二 q，可解得 h、k，于是 何1- kan是公比为h的等比数列，这样就化 归为 anpanq 型。总之，求数列通项公式可根据数

57、列特点采用以上不同方法求解， 对不能转化为以上 方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方 法求出数列通项公式an.5 5、非等差、等比数列前 n 项和公式的求法错位相减法1若数列a为等差数列，数列 心为等 比数列，则数列:an-b的求和就要采用此 法.2将数列：anb的每一项分别乘以 g 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列N h?的前n项和. .此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.裂项相消法如果一个数列 心訂，与首末两项等距的两项 之和等于首末两项之和，则可用把正着写 与倒着写的两个和式相加，就得到了一个 常数列的和，这种求和方法称为倒序相加 法。特征： a1 an二 a2 an

58、J=.记住常见数列的前 n 项和：n（n 1）112 3 . n;221 3 5 . （2n -1） = n2;13122232. n2n（n 1）（2 n 1）.6第三章：不等式 3.13.1、不等关系与不等式1 1、不等式的基本性质16 *1（对称性）a b：= b - a般地，当数列的通项an(a,d,b2,c为常数)时，往(an +D)(a n +b2)往可将 an变成两项的差，采用裂项相消法求可用待定系数法进行裂项:，通分整理原式相比较，根据对应项系数相等得c，从而可得b2_bl常见的拆项公式有:亠Jn(n 1) n n 11);(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 1肓J

59、ab Cnm=cm1-cm； n n! = (n 1)! -nL分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆幵，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组倒序相加法2 2、几个重要不等式1a2b2-2ab a, b：二R, ,（当且仅当a =b时2匕2取=号）. .变形公式：ab 昇 .22（基本不等式）LJab a, b R,2（当且仅当a=b时取到等号） 变形公式：a b _2、0bab i _b.2用基本不等式求最值时（积定和最小， 和定积最大），要注意满足三个条件“一正、 二定、三相等” 3

60、（三个正数的算术一几何平均不等式）a bc_3abC（a、b、c R ）（当且仅当3a =b =c时取到等号）4a2b2c2_ ab be ca a, b R（当且仅当a=b乂时取到等号） 5a3b3c3_3abc（a 0,b0,c0）（当且仅当a二b乂时取到等号）. .6若ab 0,则b，a_2（当仅当 a=ba=b 时取等a b号）若ab：0,则b玉-2（当仅当 a=ba=b 时取等a b号）7务:口 ：旦a a m b n b规律：小于 1 1 同加则变大，大于 1 1 同加则变小. .8当 a .0 时，x :a= x2a2二x；_a 或 xa;9绝对值三角不等式a-|b兰|a士ba