等差数列前n项和优秀教案

1、3 等差数列的前 n 项和一、 教学目标知识与技能：掌握等差数列前 n 项和公式；会用等差数列的前n 项和公式解决问题。过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律；通过公式推导的过程教学，扩展学生思维。情感态度与价值观： 通过公式的推导过程， 使学生体会数学中的对称美，促进学生的逻辑思维。二、 教学重点等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用三、 教学难点灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题四、 教学过程创设情景在 200 多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯

2、的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+. +100=?据说，当其他同学忙于把100 个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1 + 100) + ( 2+99) + ( 50+51) =101X50=5050.探索研究我们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1, 2, 3，n,的前 n 项的和：由 1 + 2 + n-1 + nn + n-1 + 2 + 1(n+1) + ( n +1) + + (n+1) + ( n+1)(n十1)汉n可知12 3. n =2上面这种加法叫“倒序相加法”请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？高斯的算法很巧妙，他发现了整

3、个数列的第k 项与倒数第 k 项的和与首项与尾项的和相等这个规律，并且把这个规律用于求和。这种方法可以推广到求一般等差数列的前n 项和。等差数列求和公式的推导一般地，称a1 a2 a3. an为数列an的前 n 项的和，用Sn表示，即Sn- a1a2a3. an.1.思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。S = a1(a1d)(a12d).a1(n 1)d,Sn =an(an-d)(an- 2d).an-(n_1)d,由+，得2Sn=(a - an)+( 31 -an)+(ai-an)+(ai-a.)n个个二n(aia.)由此得到等差数

4、列an的前 n 项和的公式Sn =n(ai+an)2对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。2.把a ai(n- 1)d代入Sn二“ 务)中，就可以得到2对于这个公式，只要知道等差数列的首项、项数和公差，就可以求出等差数列的前n项和。引导学生思考这两个公式的结构特征得到： 第一个公式反映了等差数列任意的第 k 项与 倒数第 k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。 第二个公式反映了等差数列的前 n 项和 与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n 的“二次函数”，该公式可以变形为121S =dn(a-d)n，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都

5、是知道ai和n,不同点是第一个公式还需知道an，而第二个公式是要知道 d,解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。例题分析例 1、2000 年 11 月 14 日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标：从 2001 年起用 10 年时间，在全市中小学建 成不同标准的校园网据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50 万元.那么从 2001 年起的未来10 年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？、先阅读题目；、引导学生提取有用的信息，构造等差数列模型；、写这

6、个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解。解：根据题意，从 2001-2010 年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列an，表示从 2001 年起各年投入的资金，其中a1= 500， d=50.那么，到 2010 年(n=10)，投入的资金总额为Sn=10 50010（10）50 = 7250（万元）2答：从 20012010 年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250 万元.例 2.已知一个等差数列an前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220.由这些条件能确定 这个等差数列的前 n 项和的公式吗？引导

7、学生分析得到：等差数列前 n 项和公式就是一个关于an、印、n 或者a“、n、d的方程。若要确定其前 n 项求和公式，则要确定a1ftd的关系式，从而求得。分析：将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后，可得到两个关于a1与 d 的二元解：由题意知S0=310, S20=1220,将它们代入公式& = nc d,2仆J 10a+45d=310,得到一I 20a“+190d =1220解这个关于 a1与 d 的方程组，得到 a-i=4, d=6,所以 q=4n+岁沢 64+另解：S。=a1a1010=3102得a1 a。=62;/甌20=12202所以a1 a?0-122;-，得10d

8、=60,所以d =6代入得：a二4所以有n（n-1）2Sn二q nd = 3 nn例题评述：此例题目的是建立等差数列前n 项和与解方程之间的联系.已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量 次方程，由此可以求得a1与 d,从而得到所求前 n 项和的公式21例 3 已知数列an的前 n 项为Sn二n n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数2列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据Sn= ara2-. - an A- anSn=ai+a?+.+an(n 1)2121 1可知，当 n 1 时，an= Sn-Sn二nn _(n-1) -(n -1) = 2n213当nh时，ai= S|= T

9、 1也满足式.221所以数列an的通项公式为an=2n.23由此可知，数列an是一个首项为，公差为 2 的等差数列。2这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前 n 项和Sn，可求出通项用这种数列的Sn来确定an的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意ai不一定满足由Sn-Sn二an求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的a.思考：结合例 3，思考课本 45 页“探究”：一般地，如果一个数列an的前 n 项和为2Sn= pn qn r.其中 p、q、r 为常数，且 0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果 是，它的首项与公差分别是什么？引导分析得出：观察等差数列前n项和公式

10、5=6n n(1)d - - n2- (a -) n,2 2 2公式本身就不含常数项。所以得到：如果一个数列前n 项和公式是常数项为 0，且关于 n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.24例 4 已知等差数列5,4- ,3-,.的前 n 项和为Sn，求使得Sn最大的序号 n 的值.分析：等差数列的前 n 项和公式可以写成&二Q n2()n，所以Sn可以看成函anS(n =1)q-Sn(nr)2 2d2d*数y x(a1)x(x N)当 x=n 时的函数值.2 2另一方面，容易知道Sn关于 n 的图象是一条抛物线上的一些点 .因此，我们可以利用二次函 数来求 n的值.245解：由题意知，等差数列5,4-,3-,.的公差为，所以n5sn諧2 5（n一1）