广东省揭阳市2016届高三数学第二次模拟试题文(含解析)

1、揭阳市 2016 年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共 4 页，满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分答题前， 考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第 I 卷时， 选出每个小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第 n卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第 I 卷一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一

2、项是符合题目要求的.(1 )已知复数z=2i(1-i)(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则zz = (D)-4(A)4i答案：C解析：复数z =2i(1 -i)= 2 + 2i,z =2-2i，所以,(B)- 4i(C) 4z z =4。(2)已知集合A二x|y二.右,B二x| y = 1 n(2x-x2)，则B二(A)(2,：)(B)1,2)(C)(0,2)(D)1,2答案：B解析：集合 A=： X | X _ 1 /(3 )已知向量为(A)答案：A解析：a-3,B=x|0：x：2?，故A|B二1,2)二21)二(0,-1),壯(仁)，若(t-2b)与c互相垂直，则k的值(B)-1(C)

3、1(D)-2b=C、3,3)，因为(4)已知命题a-2b与c垂直，所以，.3k + 3、3= 0,1p : x R,cos x sin x，命题q : - x (0,二),sin x所以,k =- 32 ,sin x则下列判断正确的是(A)命题(C)答案：D命题p q是假命题p (q)是假命题(B)命题pq是真命题(D)命题p (q)是真命题2解析：当 x= 时，cosxsinx成立，所以，命题 p 是真命题；当x时，sinx，6 -故 q 是假命题，从而有2 2x y卜(5)已知双曲线 2-1(a 0,b 0)两条渐近线的夹角为60、，则该双曲线的离心率a b=2,sin xp (q)是真命

4、题。3(A)( B)4(C) 乂 或 2( D) 4333答案：C解析：(1)双曲线两条渐近线在 y 轴两旁的夹角为 60时，由双曲线的对称线知，两条渐近线的倾斜角分别为 60、120,所以，-=tan603，a又c2=a2b2=a2 (：3a)2，解得离心率(2)双曲线两条渐近线在 x 轴两旁的夹角为b3以,ta n30 =e =C=2。a60 时，其中一条渐近线的倾斜角为30，所又c2=a2b(6) 已知函数(A) 932*32=a2(a)2，解得离心率(B)答案：D解析：log29 log28 = 3，贝V f (log29)的值为f(l 02g 9) f(log29-1)=f(log2

5、9-2)=f(log29-3)log29=2盹29)_.2*9o238(7)已知等差数列aJ的公差不为 0,=1，且丄，丄，丄成等比数列，设an的前na2a4项和为Sn，则& u(A)(n 1)2(B)n(n 3)n(n 1)(C)2(D) J2答案：C解析：依题意，得:2aa4二a?2，所以，1 (1 3d) =(1 d)，得公差d=i，an= n；故选C.(8)函数f (x)二xloga| x|小a(0 a : 1)图象的大致形状是|x|(D)98(C)答案：C41解析：特殊值法。取a，当 x = 2 时，f (2)=- 10，排除 D,所以，选 Cox y -3 _ 0,(9)若

6、直线y =2x上存在点(x, y)满足条件x_2y_3_0,则实数m的最大值为x _ m.(A) -2答案：B(B) -1(C) 1(D) 3解析：不等式表示的平面区域如图所示，解1x-2y-3 = 01x = 1得：，所以，当y=2xy=-2m 的最大值为一 1om5(10)圆柱形容器内盛有高度为 6cm 的水，若放入 3 个相同的铁球球(球的半 径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为(A) 1 cm(C) 3cm答案：C(B) 2cm(D) 4cmr，则由 3V 球+V 水=7 柱，得34二r3二r23(11)某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为解析：设球的

7、半径为(A)(62、备.12(B)8(二1)(C)4(2二1)(D)(12 2、2)二答案：A解析：该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为:1111_22亠2：- 2 2亠 _：，：2 2 2 4 2亠_222(12)已知 P 是直线kx y 0(k0)上一动点,_,2 2圆C：x y -2y =0的两条切线，切点分别为2，则k的值为PA PB 是A、B,若四边形PACB 的最小面积为61(A) 3( B) 2(C) 1(D)-2答案：B解析：S四边形PACB二PA AC = PA二,CP2二CA2CP2二1,可知当|CP |最小时，即CP_丨时，其面积最小，由最小面积 、.、CP2

8、_1 =2得由点到直线的距离公式得：| CP |min-52.5，因k 0，所以k = 2.第 n 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求做答.|CP|m.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的 横线上.(13)某高级中学共有学生 3200 人，其中高二级与高三级各有学生1000 人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160 的样本，则应抽取的高一级学生人数为答案：60解析：高一学生有 3200- 1000 1000 = 1200 人，共抽取高一

9、学生人数：1200丄60= 603200(14) 执行如图所示的程序框图，则输出的 答案：6 解析：第 1 步：s = 1, k = 2;第 2 步第 3 步第 4 步第 5 步第 6 步(15) 已知函数f(x) =x2- ax的图象在点.口k值为s=2，k =3；s= 6, k = 4;s= 15, k = 5;s= 31, k = 6;s= 56,退出循环，此时 k=62 .一 一.A(1,f(1)处的切线丨与直1线x 3 y -1 = 0垂直，记数歹U -f(n)的前n项和为Sn,则S2016的值为答案：202017解析：依题意知函数f(x) =X2-ax的图象在点 A(1,f(1)处

10、的切线斜率=f (1) = 2 _a =3二a二-1，故1=1 1f(n) n(n 1) n1丄11丄HI丄11S2016=1_223201620171 2016-1-2017一20177(16)已知梯形 ABCD 中, AD/BC,. ABC = 90：,AD=2, BC=1,P 是腰 AB 上的动点，贝U | PC PD |的最小值为.答案：解析：小值,3| j如图以 PC PD 为邻边作平行四边形 PCQD 贝U PC +PD =PQ只需|PE|取最小值，因 E 为 CD 的中点，故当=2忑，要|PQ|取最PE _ AB时，| PE |取最小值，这时 PE 为梯形的中位线，即|PE|mi

11、n=1(| BC | |AD |3,2 2故|PQ|mi3.Q三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 12 分）已知如图 4,A ABC 中，AD 是 BC 边的中线，ZBAC =120，且AB AC=-15.2(I )求厶ABC的面积；(n )若AB =5，求AD的长.AC= -15, AB AC2A解析：解：（I ） ABC即AB AC =15,-315二4- SABC=AB AC sin. BAC号15 #(n )解法 1：由AB =5得AC =3,延长 AD 到 E,使 AD=DE 连结 BE,/ BD=DC,四边形 ABEC 为平行四边形， ABE =

12、60：,且BE = AC = 3设AD =x，则AE =2x，在 ABE 中，由余弦定理得：(2x)2二AB2BE2-2AB BEcos ABE = 25 9-15 = 19,-10 分分C分分解得1919x，即 AD 的长为22由AB =5得AC =3,12【解法 2 :在厶 ABC 中，由余弦定理得：BC2=AB2AC2-2AB AC cos BAC =25 9 15 =49, 得BC =7,89由正弦定理得：BCABsin ./BAC sin / ACD得sin . ACDAB sin ./BACBC5.314- 9 0： ：. ACD :：: 90 cos. ACD = _1sin2.

13、ACD在厶 ADC 中,AD2二AC2CD2-2AC CD cos. ACD11- 10分1449c c71119=9-23 42144t解得AD二-19.-2【解法 3:由AB =5得AC =3，在厶 ABC 中，由余弦定理得：BC2二AB2AC2-2AB AC cos BAC =25 9 15 =49, 得BC =7，12AC2BC2-AB29 49 -25在厶 ABC 中，cos ACB二- - -2AC BC2X3X7222在厶 ADC 中，由AD二AC CD -2AC CD cos ACD1114分】解得AD二1192=9坐一2 3 7 11=里42 144，12分】(18)(本小题

14、满分 12 分) 某人租用一块土地种植一种瓜类作物， 量数据，得到年产量频率分布直方图如图 点值作为该区间的年产量图 5年产量低于 450kg时， 单位售价为 12 元/kg,当年产量不低于0.0015450kg(I)(n)解析：解: (I)根据以往的年产5 示，以各区间中 ,得到平均年时，单位售价为 10 元/kg. 求图中a、b的值； 估计年销售额大于3600 元小于 6000 元的概率.由100(a 0.0015 b 0.004) =1,得100(a b) =0.45,由300 100a 400 0.4 500 100b 600 0.15 =455,得300a500b =2.05 , -

15、4频率/组距已00040 -产量为 455k订当年产量/kg00 650106分811（19）（本小题满分 12 分）如图 6,已知四棱锥 P-ABCD 的底面PA=PB=、.2.（I）求证：平面PAB_平面ABCD;（n）求点 D 到平面 APC 的距离.解析：解：（I ）取 AB 得中点 O,连结 PO CO -1 由 PA=PB=2, AB=2 知厶PAB 为等腰直角三角形, POL AB又 AB=BC=2- ABC =60；知厶 ABC 为等边三角形，CO3-3 又由PC=2 得PO2CO2二PC2, POL CQ - 4 分 POL平面 ABC -5又PO二平面 PAB 平面PAB_

16、平面ABCD-（n）设点 D 到平面 APC 的距离为 h ,由（I）知厶 ADC 是边长为 2 的等边三角形， PAC 为等腰三角形， 由1 13SPAC巾nS.ADCPOS.ADC解得a =0.0010,b =0.0035；-（n）由（i）结合直方图知，当年产量为 300kg 时，其年销售额为当年产量为 400kg 时，其年销售额为当年产量为 500kg 时，其年销售额为当年产量为 600kg 时，其年销售额为3600 元，4800 元，5000 元，6000元,因为年产量为 400kg 的频率为 0.4 ,即年销售额为 4800 元的频率为 0.4， 分而年产量为 500kg 的频率为

17、0.35，即年销售额为 5000 元的频率为 0.35， 分故估计年销售额大于 3600 元小于 6000 元的概率为：0.35+0.4=0.75,分-91012S.PAC. PC2-（；PA）210VD-PAC=VP_DCABCD 为菱形，且 三ABC=60；, AB=PC=2FPO=1C分分12h一ADCPO2 212 21，即点 D 到平面APC的距离为丁 一12分.3 1=丄212 分)2 2SPAC(20)(本小题满分已知椭圆G:爲与=1(a b 0)与抛物线C2: x y 1有公共弦a b边)，AB=2,C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k(kH0)的直线别交于点M N(均

18、异于点AB).(I)求Ci的方程；(n)若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围.解析：解：(I)：抛物线y = x2-1的顶点为(0, -1)，即椭圆的下焦点为(0, -1)c = 1AB(A在B左i与G、C2分-1分由AB=2 知XB=1 ,(n)依题意知直线I2联立才X2代入抛物线得B(1,0)，得b=1,2Cl的方程为与x1；的方程为y =k(x -1),-2 2 2 2消去y得：(k 2)x -2k x k - 2 = 0,.2 2则XM，XB，得XM= .2，y 2-，-k 2k 2k 2由忆仪；1),得x2-kx k-1=0,x y 1由J：= k?则 XN XB二k -1

19、，得 XN二k -1,-4(k-1)=(k-2)20，得k =2,y”=k(k_2)，- Tn:：AM,AN0,乡,点A在以MN为直径的圆外，即JF/I AMAN 0，又A( -1,0),it-I TAM AN=(XMVM) (XNly”)二10解得 k : 4，综上知(21)(本小题满分2 22k2k-4k (k-2) 2k (4-k) k2+2k(：,0) U(0,2) U(2,4).-12 分)k22k22- 12已知函数f(x)ln(x -1)(x 2).x -2f (x)的单调性；(I )判断函数(n)若存在实数a，使得f(x) : a对-(2, ：)均成立，求a的取值范围.1314

20、记g(x)=x 2ln(x -1)x 1g(x)二2(x-1)2x-1-3Tx 2g (x) : 0，即函数g(x)在(2, ：)上单调递减,g(x) g(2) =0,从而得f (x) 2)，g()x即g(x)在(2,：)上单调递减，g(x)：g(2) =0从而f x(：),f(x)【解 法 2(2,v)上的单调x _ 2f(x) =Eln(x-1)(x-2)2(X 一2)_ 2 -x(x-1)2分减.立15综 上 得： 要 使f(x)：a对x(2, ：)均成 立a1十.厂-盟- 12分16【解法 2:f(x)：a对-xw(2, ：)均成立,等 价 于In(x _1)：a(x _2)对- 5分

21、记h(x)=l n( x1)a(x2),则11 +a -aa相八xh&(x -)-a6分x _1x_1 x_1 ah(2) =0，令h(x) =0得x=口 ,2 2= 0 .a 1,aa(1 )当a岂0时，对-x (2：),h(x)0，即函数h(x)在(2：)单调递增，故h(x) .h(2)=0，即I x-(a )x-(，不符合题意；-8分a(2)当0：a r(I ) 若BC=2,BD=4，求AB的长；(n )若 A(=3，求AE的长.解析：解：(I)由弦切角定理得BAC二/BDA , -1 分BAD = BCA,- 2分AB _ BCBD AB- 4-x = (2：)均 成 立所以A

22、BACs- 3 :BDA分图 7172AB-BC BD -8,AB=2-2；- -5分(n)连接EC,AE =CA,18ACE二ABE二BAD ADB -7 分 . AEB =/BAD , BAC =/BDA=.BEC ,-8分 . AEC =/ACE -9分AE=AC=3.- 10 分(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程已知椭圆C的普通方程为：2 2xy1.94(I)设y =2t，求椭圆C以t为参数的参数方程;(II)设C与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴的交点分别为A、B,点 P 是C上位于第一象限的动点，求四边形 AOBF 面积的最大值.(其中0为坐标原点)x二_3 1-t2(3cos2sin旳a 兀(0 )2贝U1 1二 SBPOSOPAJ 2 3COS2 3 2sin =L兀兀= 3sin v 3cos v - 3 2 sin(一) ,(0)-427T*_当sin( )=1，即 时，四边形 AOBF 面积取得最大值，其值为3. 2.-1044(24)(本小题满分 10