空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案[2]

1、空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1.能够利用共线向量、共面向量、空间向量根本定理证实共线、共面、平行及垂直问题；2,会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题;3.培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的水平；【知识梳理】空间向量的运算1、向量的几何运算(1)向量的数量积:向量一,那么.-叫做一的数量积,记作即atb|Prcs5M空间向量数量积的性质：aeacos(2)向量共线定理：向量 a(aW0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数乙,使 b=/a.2、向量的坐标运算tt.AiX,V,AR=fx-Tv-v7(1)假设,那么 e1,“乃乃

2、,勺ZV.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.、空间向量在立体几何中的应用利用空间向量证实平行问题对于平行问题,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证实.利用空间向量证实垂直问题(1)线线角的求法：设直线 AB、CD 对应的方向向量分别为0(2)线面角的求法:7.利用空间向量求距离(1)平面的法向量的求法：设 n=(x,y,z),利用 n 翱平面内的两个不共线的向其一组解,即得到平面的一个法向量(如图)a,b 垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取I(4)两点间的距离公式：假设AB|=对于垂直问题,一般是利用akb6.利用空间向量求角度

3、设 n 是平面的法向量,的方向向量,那么直线UL与平面所成的角为 aicsjiiABn(3)二面角的求法：设 ni,n2分别是二面角其补角的大小(如图)一.的两个面,=arccos就是二面角的平面角或4.5.a、b,那么直线 AB 与 CD 所成的角为arccos(线线角的范围,900)2利用法向 M 求空间距离(a)点A到平面仪的距离：d=ABn,其中8a是平面a的法向量.(b)直线a与平面仪之间的距离:(c)两平行平面之间的距离:【经典例题】【例【例11(2021全国卷1 理正方体(A)ABftlABn,其中Aea.Bea,n是平面口的法向量.Aea.BE$,力是平面比的法向量.AJABC

4、D-ABCD中,BBl与平面ACDi所成角的余弦值为(C)23(D)(3【解析】【解析】D【例【例 2】2021 全国卷2 文三棱锥SABC底面ABCSA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(B)1例31=泛 012BAA1(C)4(D)全国卷三棱柱B为边长等于ABCABC111中,底面边长和侧棱长都相等,-CAA160,那么异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【例 4】(20I2 重庆)如图,在直三棱柱 ABC-AiBiCi中,AB=4,AC=BC=3D 为 AB 的中点.(I)求异面直线 CCi和 AB 的距离;( 口 ) 假设ABiAiC,求二面角 Ai-CD-Bi的平面角的

5、余弦值.【例 5】 (20i2 江苏)如图,在直三棱柱ABC-AiBiCi中,ABi二AiCi,D,E分别是棱BC,CCi上的点(点D不同于点 C),且ADDDE,F为BC的中点.求证:(1)平面ADE平面(2)直线AiF/平面ADE.ECADHCi例6AEBD,(20I2 山东)在如下图的几何体中,四边形CB=CD=CFBABCD 是等腰梯形,AB/CD,(I)求证：BD,平面(II)求二面角 F-BD-C错误！未指定书签.AED;的余弦值.【解析】二面角 F-BD-C的余弦值为/DAB=60【例 7】(2021 江西)在三棱柱影是线段BC的中点O.(i)证实在侧棱AA上存在一点i,、C,平

6、面 ABCD,ABCABC中,ABACAAiiiiE,使得OE平面BBiCiC,并求出AE的长;(2)求平面XBiC上平囱BBiCiC夹角的余弦值.30I04,点A在底面ABC的投C(I)证实：平面ABC_L平面ABC；iii(n)设D是ACi上的点,且AiB平面BiCD,求AD:DCi的值.6、Q0i0 全国文)如图,直三棱柱 ABC-AiBiCi中,AC=BC,AAi=AB,D 为 BBi的中点,E 为 ABi上的一点,AE=3EBi(I)证实：DE 为异面直线 ABi与 CD 的公垂线；(n)设异面直线ABi与 CD 的夹角为 45,求二面角 Ai-ACi-Bi的大小.*7、Q0i0 江

7、西理)如图BCD 与 4MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD 平面 BCD 入 AB 平面 BCD,AB23(1)求点 A 到平面 MBC 的距离；(2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值.8、(20i0 重庆文)四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA底面点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC 平面 BED,FB=.5a(1)证实：EB,FD(2)求点 B 到平面 FED 的距离oP-ABCD中,PDL 平面 ABCD,PD=DC=BC=,1AB=2,AB/DC,/BCD=90o13、(2021 江苏卷)如图,在四棱锥(1)求证

8、：PCBC;(2)求点 A 到平面 PBC 的距离.14、2021 上海)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,2,PA=2,求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.PAL底面ABCD,E是PC的中点.AB=2,AD=215、Q012 四川)如图,在三棱锥PABC中,APB90,PAB60,ABA16题图B(I)求直线PC与平面ABC所成角的大小;(II)求二面角BAPC的大小.16、2021 安徽长方体ABCDA1BC1D1中,底面ABC1D1是正方形,O是BD的中点,E是棱AAi上任意一点I证实：BDEC1n如果AB=2,AE=ECi,求AAi的长

9、.17、Q012 北京文如图1,在RtABC中,NC=90D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将AADE沿DE折起到AiDE的位置,使A1FCD,如图 2.(I)求证：DE/平面ACB;(n)1求证：AFBE；田线段AB上是否存在点Q,使AC阵面DEQ?说明理由图218、2021 湖南如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PAL 平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD/BC,ACBD.I证实：BDPC;口 假设AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30,求四棱锥 P-ABCD 的体积.兀19、如图,在三棱锥PABC中,PAL底面ABC,D是PC

10、的中点,/BAC=,AB2AC2求:1三棱锥PABC的体积(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)20、2021 安徽文)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD四边长为 1 的菱形,OA=2,M为OA的中点.(I)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；(II)求点 B 到平面 OCD 的距离.【课后作业】8.(2021 全国)如图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AAl2AB4,点E(I)证实：ACBED；1(n)求二面角ADEB的大小.12、(2021 湖南)四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为 1 的菱形,/BCD60PA=2.(I)证实：平面PBE

11、L平面PAB;修Bg.方遛AJ面ABCD,8MLJ_WAB_CA工CC1上且C正3EC.一I1iD1C1匕二BA11EDCAB,E是CD的中点,PAL底面ABCD,(n)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小113、2021 福建如图,在四棱锥P-ABCD中,那么面 PAD,底面ABCD,侧棱PA=P0=2,底面ABCD为直角梯形,其中BC/AD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.I求证：PO,平面ABCD;II求异面直线PD与CD所成角的大小;3田线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为X?2AQ假设存在,求出的值；假设不存在,请说明理由.QD4、2021

12、 海南、宁夏理如图,点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线1求 DP 与 CCi所成角的大小；2求 DP 与平面 AAiDD 所成角的大小BDi上,/PDA=60CO5、2005 湖南文、理如图折成直二面角,如图1,ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6,高为3的等腰梯形,嬖多折对卵风 OO,/141/ /J/2.I证实：ACBO1；/求二 I 面角冷 ACO 的大小./O1C*.O1DCDA12O(m)求三棱锥PMAC的体积139、(2006 全国I卷)如图,li、l2是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段.点 A、B在li上,C在I2上,AM=MB=MNo(I)证实 ACNB；OI2(n)假设一ACB=60,求NB与平面 ABC 所成角的余弦值.C/JF/li/H/A/=BO4IBO|16、二面角ABB1C可余弦为57、n二面角ASC3B的余弦值为338、n二面角MAC