含参函数单调性

1、含参数函数单调性 基础知识总结和逻辑关系一、函数的单调性求可导函数单调区间的一般步骤和方法：1) 确定函数的 f (x)的定义区间；2) 求 f (x)，令 f (x)0 ,解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；3) 把函数 f (x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间；4) 确定 f (x)在各个区间内的符号，由f(x)的符号判定函数 f x 在每个相应小区间内的单调性二、函数的极值求函数的极值的三个基本步骤1)求导数 f(x)；2)求方程 f (x)0 的所有实数根；3)检验 f(x)在方程 f(x)0 的根

2、左右的符号，如果是左正右负(左负右正) ，则 f(x)在这个根处取得极大(小)值 三、求函数最值1)求函数 f (x)在区间(a,b)上的极值；2)将极值与区间端点函数值f(a), f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值四利用导数证明不等式1)利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0 时，则该函数在该区间上单调递增(或递减)因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的即把证明不等式转化为证明函数的单调性具体有如下几种形式： 直接构造函数，然后用导数证明该函

3、数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增 （减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的2）利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式导数的另一个作用是求函数的最值 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构 造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得 该不等式恒成立从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题含参函数的单调性，核心是三个步骤，四个流程：1） 第一步：先求定义域，再求导；2） 第二步：准确求出导数f（X）之后，按以下四个流程依次走：【注意题目本

4、 身给定的参数范围】流程：最高次项系数如果含参数，分 “0；0；0”三种情况依次讨论该系数。（不含参就直接略过）“0”时，求出参数的值，代回f （x），写 出不含参数的f （x）的最简洁、直观的形式；“0”或“0”时，把最高次项系 数外提，化简变形（含因式分解）到最简洁、直观的形式，能直接看出根来。流程：接流程，判断方程f （x） 0是否有根。如果方程f （x） 0没有任何实根，说明f （x） 0或f （x） 0恒成立，f （x）恒定单增或单减，直接写结论；如果方程f （x） 0有实根，全部求出来，写明”，x2”然后进入流程。流程：判断由得出的根是否在定义域内。（i）定义域内没有根，写出f （

5、x），肯定有f （x） 0或f（X）0，说明函数f（X）在定义域内恒定单增或单减，直接写出结论； （ii）定义域内有且只有一 个根，对这个唯一的根进行列表，判断f（X）单调递增区间和单调递减区间； （iii）定义域内有两根（包含两等根或两异根），那么就进入流程。流程：在流程中确定二次函数型f （x） 0在定义域内有两根xpX2的情况下，讨论两根大小（“”，“”，“ ”）。然后列表，依据表格写出结论。3)第三步：(3)写综上所述。对参数的所有可能取值都要写出，对应结论相同 的时候，参数范围必须合并。【题】讨论函数f(x) xekx(k 0)的单调区间。【难度】*Ik【题】讨论函数 f (x) l

6、n(1 x) x x2的单调区间。【难度】*【点评】求单调区间的步骤(1)确定函数的定义域，(2) 求出f (x)，令f(x) o，求出根，求出在定义域内所有的根，(3)把函数的间断点在横坐标上从小到大排列起 来，把定义域分成若干个小区间，(4)确定f(x)在每个区间的正负号，求出相应的单调区间。【题】判断函数f(x) x24x alnx的单调性。【难度】*2【题】求函数f(x) x3ax2x 1的单调区间。4【难度】*【题】、求函数f(x) ex(x2ax 1)(x2,a R)的单调区间。【难度】*1【题】求函数f (x) ?x2aln x(a R)的单调区间 直接构造函数，然后用导数证明该

7、函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增 （减）【难度】*【题】讨论函数f(x) kx22x ln(2x 1)的单调性。【难度】*kx【题】讨论函数f(x)e的单调性。x1【难度】*【题】讨论函数f(x)2xa的单调性。(x1)2【难度】*【题】求函数f(x)ex(x2ax1)(x1,aR)的单调区间。【难度】*【题】求函数f(x)ex(x2ax1)(x3,aR)的单调区间。【难度】*3 利用导数研究含参变量函数的最值问题利用导数研究含参变量函数最值的基本思路和大致步骤：通常是先讨论函数的单调性，必要时画出函数的示意图，然后进行最 值的讨论。【题】已知函数f x x k ex1求f x的单调

8、区间；2求f x在区间0,1上的最小值. .【解析】：(1 1), k 1减k 1,(2 2)k 1, f xk7mina e时f (x)maxf (a) ln ak2, f xmin(1 k)e31 k2，fXmink 1e【难度】*【题】已知函数f (x)ax21(a0),g(x) x3bx当a2. . .、 t-f-ti_t、 才.4b时，求函数T (x)g(X)的单调区间，开求其在区间,1上的最大值. .【难度】*a,2a, (a 0)，试求f(x)在此区间上的最大值【难度】*(1)(1)讨论f(x)的单调性；(2)(2)求f (x)在区间a,2a上的最值. .【答案】：【题】已知函数

9、f (x)1X332x23x 1，给定区间【题】已0,函数f (x)aln xxa e时f (x)maxf (a) ln ae a2时，f (x)maxf (x)minf (a) lnaf(2a)ln2a2(i)(i)求f (x)的单调区间；若f (x)的最小值为 1 1,求 a a 的取值范围. .【答案】：a a 2 2 时，f(X)在0,)上单调递增2 a、0 0 a a 2 2 时，f (x)在0,.)上单调递减f (x)在,)上单调递增a a 2 2【难度】*【题】 已知函数：f(x) x (a 1)1 nx-(a R), ,当x 1,e时，求f(x)2 a e时，f (x)maxf

10、(e)aef (x)rIn 2anin11丿2e2a 2时，f(X)maxf(e)aef (x)min 1f(a)In a【难度】*【点评】f (X)minf(2a)【题】已知函数f(x)In 2a21 XIn (ax 1) ,x 0,a0 x的最小值；【答案】当1 a e时，f Xmina alln a 1a当a e时，f Xmine a 1e【难度】*23【题】已知函数f(x) 3x 1(a 0),g(x) x9x,若f(x) g(x)上的最大值为28. .求实数k的取值范围【难度】*32【题】已知函数f x ax3x bx(其中常数a,b R)，g x f x f x为奇函数 (1)(1

11、)求f x的表达式；讨论g x的单调性，并求g x在区间1,2上的最大值与最 小值. .【答案】f x13x2xgx在1,2上最大值为34 24，最小值一33【难度】*【题】设f (x)13_x12_x2ax. .322(1(1)若f(x)在(3,)上存在单调递增区间，求a的取值范围;16(2(2)当0 a 2时，f(x)在1,4上的最小值为 一，求3f(x)在该区间上的最大值。1【答案】a的取值范围是(,910f (x)在该区间上的最大值为一3【难度】 *【题】已知函数f(x) Inx(i)(i)求函数f(x)的单调递增区间；(2)(2)求函数f(x)在(0,a,( a 0)上的最大值. .(0,22)【答案】 当大值为In a2a时，f (x)在(0, a,( a 0)上的最22a；22时，f (x)在(0, a,( a 0)上的最大值为In 212【难度】*23【题】设函数f(x) 1(1 a)x x x,其中a 0：(1) 讨论f (x)在其定义域上的单调性；(2)x 0,1时，求f(X)取得最大值和最小值时X的值 【难度】*32【题】已知函数f(x) x ax