全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

1、下载可编辑全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角 之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线 合一”的性质解题2倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点

2、向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二 条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二 个角之间的相等。1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

3、换中的“对折”法 构造全等三角形2） 遇到三角形的中线， 倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的下载可编辑思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3） 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相 交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置 上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4） 过图形上某一点作特定的平分线，构造全

4、等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 “平移”或“翻转折叠”5） 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6） 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC 中，AB=5 AC=3 则中线 AD 的取值范围是 _

5、 .例 2、如图， ABC 中，E、F 分别在 AB AC 上, DEL DF, D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.下载可编辑例 3、如图， ABC 中，BD=DC=A, E 是 DC 的中点，求证： AD 平分/ BAE.F下载可编辑应用:1、( 09 崇文二模)以ABC的两边AB AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BAD CAE 90 ,连接DE M N分别是BC DE勺中点.探究：AM与DE勺位 置关系及数量关系.(1)_如图当ABC为直角三角形时，AM与DE勺位置关系是 _,线段AM与DE勺数量关系是_;(2)将图中的等腰 RtABD绕点 A 沿逆时针方

6、向旋转(0 AC, / 1 = / 2, P 为 AD 上任意下载可编辑一点，求证；AB-AC PB-PC应用:如圏，在四边JgAltCD申点丘毘皿1二一牛炳点.若=6(r,朋二R 处叭判断和皿T M的关系幷汕明你的结论、平移变换例 1 ADABC 的角平分线，直线 MNLAD 于 A.E 为 MN 上一点， ABC 周长记为 PA,下载可编辑EBC 周长记为PB.求证PBPA.下载可编辑例 2 如图，在 ABC 的边上取两点 D E,且 BD=CE 求证：AB+AOAD+AE.四、借助角平分线造全等1 如图，已知在厶 ABC 中，/ B=60,AABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 0,

7、求证：0E=0D(1)说明 BE=CF 的理由；(2)如果 AB=a, AC=b，求 AE、BE 的长.2、如图， ABC 中，AD 平分/ BACDGL BC 且平分 BC, DEIAB 于 E, DF 丄 AC 于F.下载可编辑F下载可编辑应用：1、如图，0P是/M0的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在ABC中，/ACB是直角，/B=60,AD CE分别是/BAG/BCA的 平分线，AD CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在ABC中，如果/ACB不是直角，而 中的其它

8、条件不变，请问，你五、旋转(1)当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF(2)若 AB=2 求四边形 DECF 的面积。例 1 正方形 ABCD 中, E 为 BC 上的一点,F为 CD 上的一点,BE+DF=EF 求/ EAF 的度数.例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点,DML DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。B下载可编辑例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形,BDC是等腰三角形，且BDC 1200,以 D 为顶点做一个600角,使其两边分别交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,连接 MN 则AMN的周长为应用:1、已知四边形ABCD中，AB A

9、D,BC CD,AB BC,ZABC120,ZMBN60,ZMBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F.当ZMBN当ZMBN绕B点旋转到AE CF时绕B点旋转到AE CF时，在图 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,你的猜想，不需证明.（如图AE CF EF.1）,易证3 这两种情况下，上述结论是否成EF又有怎样的数量关系？请写出2 和图CF,（图3）（图1）（图2）下载可编辑2、(西城 09 年一模)已知：PA=2,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD 使 P、D 两点落在 直线AB 的两侧.(1) 如图,当/ APB=45 时,求 AB 及 PD

10、的长；(2) 当/ APB 变化,且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应/ APB 的大小.60,BDC 120,BD=DC.探究：当 M N 分别在直线 AB AC 上移动时，BMNC MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系.图 1图 2图 3(I )如图 1，当点 M N 边 AB AC 上，且 DM=DN 时，BM NG MN 之间的数量关系 是 ； 此时Q；L(II )如图 2,点 M N 边 AB AC 上，且当 DM DN 时，猜想(I )问的两个结论还成立 吗？写出你的猜想并加以证明；(III ) 如图 3,当 M N 分别在边 AB CA

11、的延长线上时，若 AN=X，贝 U Q _ (用X、L 表示).3、在等边ABC的两边 AB AC 所在直线上分别有两点M N, D 为VABC外一点，且MDNa下载可编辑解：延长 AE 至 G 使 AG= 2AE,连 BG DG, 显然 DG= AC/ GDCNACD由于 DC=AC 故 / ADC=Z DAC在 ADB 与 ADG 中,BD= AC=DG AD= AD/ ADB=Z ADC 丄 ACD=z ADC+ZGDC=ZADG故 ADBAADG 故有/ BADZDAG 即 AD 平分/ BAE、倍长中线（线段）造全等参考答案与提示例 1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC 中，AB

12、=5 AC=3 则中线 AD 的取值范围是 _解：延长 AD 至 E 使 AE= 2AD,连 BE,由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范围是 1AD4例 2、如图， ABC 中，E、F 分别在 AB AC 上, DEL DF, D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.解：（倍长中线,等腰三角形“三线合一”法）延长 FD 至 G 使 FG= 2EF,连 BQ EGE显然 BG= FC,在厶 EFG 中，注意到 DEI DF,由等腰三角形的三线合一知EG= EF在厶 BEG 中，由三角形性质知EGBG+BE故：EFBE+FC例 3、如图， ABC 中，BD=DC

13、=AC E 是 DC 的中点，求证： AD 平分/ BAE.下载可编辑应用:1、(09 崇文二模)以的两边AB AC为腰分别向外作等腰ABCRtABD和等腰RtACE，BAD CAE 90 ,连接DE M N分别是BG D啲中点.探究：AM与DE的位 置关系及数量关系.(1)_如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 _,线段AM与DE勺数量关系是_;(2)将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0 90)后，如图所示，(1) 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.二、截长补短1、如图，ABC中，AB=2AC AD 平分BAC，且 AD=BD 求证：CDL AC 解：(截

14、长法)在 AB 上取中点 F,连 FD ADB 是等腰三角形，F 是底 AB 中点，由三线合一知DF 丄 AB,故/ AFD= 90下载可编辑ADFAADC( SAS/ ACD=ZAFD= 90。即：CDLAC解：（补短法，计算数值法） 在等腰 BPD 中，可得/ BDP= 40 从而/ BDP= 40=/ ACPADPAACP( ASA故 AD= AC又/ QBC= 40=/ QCB 故 BQ= QCBD= BP2、如图，AD/ BC, EA,EB 分别平分/ DAB,/ CBA CD 过点 E,求证;AB = AD+BC解：（截长法）在 AB 上取点 F,使 AF= AD 连 FEADEA

15、AFE （ SAS/ ADE=/ AFE/ ADE+/ BCE= 180/ AFE+/ BFE= 180故/ ECB=/ EFBFBEACBE(AAS故有BF= BC 从而;AB =AD+BC3、如图，已知在厶0BAC 60,C 40P, Q 分别在ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP延长 AB 至 D,使 BD= BP,连 DPABC 内,下载可编辑从而 BQ+AQ=AB+BP解：（补短法）延长 AC 至 F,使 AF= AB 连 PD ABP AFP （ SAS故 BP= PF由三角形性质知PB- PC= PF PC CD, BD 平分ABC,求证：A C 1800解：（补短法）

16、延长 BA 至 F,使 BF= BC 连 FD BDF BDC（ SAS故/ DFB=ZDCB , FD= DC 又 AD= CD故在等腰厶 BFD 中/DFB=ZDAF故有/ BAD+/ BCD= 1805、如图在 ABC 中，AB AC, / 1 =Z2, P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC PB-PCC下载可编辑下载可编辑、平移变换例 1 AD为厶ABC 的角平分线，直线 MNL AD 于 A.E 为 MN 上一点， ABC 周长记为PA, EBC 周长记为PB.求证PB PA.解：（镜面反射法）延长 BA 至 F,使 AF= AC,连 FEABC 的角平分线，MN 丄 AD知/

17、 FAE=ZCAE故有FAEACAE( SAS故 EF= CE在厶 BEF 中有：BE+EFBF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+ACRBC=例 2 如图，在 ABC 的边上取两点 D E,且 BD=CE 求证：AB+AOAD+AE.证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AMi BN,DN.A BD=CE, DM=EM,DMI EMA(SAS), DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,贝 U BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+AC

18、AD+AEEH下载可编辑四、借助角平分线造全等1 如图，已知在厶 ABC 中，/ B=60AABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 0,求证：0E=0DADC+AE =ACi证明（角平分线在三种添辅助线，计算数值法）/ B=60则/ BACyBCA=120 度;AD,CE 均为角平分线，E0则/ oAcyOCA=6度=yAOEMCOD;yA0C=12 度.在 AC 上截取线段 AF=AE 连接 OF.又 AO=AOyOAEyOAF.则 / OAEAOAF(SAS),B -DC0E=0F;AE=AF;/AOFMA0E=6 度.则/ COFMA0C-ZA0F=60 度=ZC0D; 又 C0=C0

19、；0CDN0CF.故/0CDAOCF(SAS), OD=OF;CD=CF.0E=0DDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC 中，AD 平分/ BAC DGL BC 且平分 BC, DEI AB 于 E,（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a, AC=b，求 AE、BE 的长.解：（垂直平分线联结线段两端）连接 BD, DCDG 垂直平分 BC,故 BD= DC由于 AD 平分/ BAC DE 丄 AB 于 E , DF 丄 AC 于 F,故有ED= DF故 RT DBE RT DFC ( HL)故有 BE= CFoAB+AC= 2AEAE=( a+b) /2BE=(a-

20、b)/2DF 丄 AC 于F.F下载可编辑应用：1、 如图，0P是/M0的平分线， 请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三(1)(2)五、旋转例 1 正方形 ABCD 中, E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点,证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形BE+DF=EF 求/ EAF 的度数.(第 23 题图),AD CE分别是/BAG/BCA的FE与FD之间的数量关系；(1)中的其它条件不变，请问，你角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题:如图，在ABC中，/ACB是直角，/B=60 平分线，AD CE相交于点F。 请你判断并写出 如图

21、， 在ABC中，如果/ACE不是直角，而下载可编辑贝 U GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE AF=AG所以三角形 AEF 全等于 AEG所以/ EAF2 GAEMBAE+ZGABMBAE+ZDAF又/ EAF+ZBAE+ZDAF=90所以ZEAF=45 度例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMLDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF(2)若 AB=2,求四边形 DECF 的面积。下载可编辑D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，故有 CDL AB, CD= DACD 平分/ BCA= 90,/ ECD=Z

22、DCA= 45由于 DMLDN 有/ EDN= 90由于 CD 丄 AB,有/ CDA= 90从而/ CDE=/ FDA=故有 CDEAADF (ASA故有 DE=DF(2)SAABC=2,S四DEC=SAACEFI以 D 为顶点做一个600角，使其两边分别交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,连接 MN 贝 UAMN的周长为_;解：（图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法）AC 的延长线与 BD 的延长线交 于点 F,在线段 CF 上取点 E,使 CE BM/ ABC 为等边三角形， BCD 为等腰三角形，且/ BDC=120 ,/ MBD/ MBC/ DBC=60 +30 =90,/ DCE=180 - / ACD=180 - / ABD=90 ,又 BM=CE BD=CDCDEABDM例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形,BDC是等腰三角形，且BDC 1200,下载可编辑/ CDE/ BDM DE=DM下载可编辑/NDE 玄 NDC#CDE=/ NDC 丄 BDM2BDC-ZMDN=12-60=60,在 DMN DEN 中,DM=DE/MDNMEDN=60DN=DNDMN DEN MN=NE在 DM/和叱 DEF 中,DM=DE/ MDA=6 -/ MDB=6 -/ CDE=/ EDF （/ CDE=/ BDM）/DAMNDFE