初等数论知识点汇总

1、第一节整数的p进位制及其应用正整数有无穷多个,为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数,人们创造了进位制,这是一种位值记数法.进位制的创立表达了有限与无限的对立统一关系,近几年来,国与国际竞赛中关于“整数的进位制有较多的表达,比方处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等.在本节,我们着重介绍进位制及其广泛的应用.根底知识给定一个m位的正整数A,其各位上的数字分别记为ami,am2,a0,那么此数可以简记为：AaAamia am2a ao其中am10o由于我们所研究的整数通常是十进制的,因此A可以表示成 1010 的 m m1 1 次多项式,即Aami10m1am210m2ai10a.,其中

2、ai0,1,2,9,i1,2,m1且生活中,通常将下标 1010 省略不写,并且连括号也不用,记作们所讲述的数字,假设没有指明记数式的基,我们都认为它是十进制的数字.但是随着计算机的普及,整数的表示除了用十进制外,还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示.特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣,究其原因,主要是二进制只使用 0 0 与 1 1 这两种数学符号,可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断,所以二进制除了是一种记数方法以外,它还是一种十分有效的数学工具,可以用来解决许多数学问题.为了具备一般性,我们给出正整数A的p进制表示：Aam1pm1am2pm2a1pa0,其中

3、a0,1,2,p1,i1,2,m1且am10.而m仍然为十进制数字,简记为Aam1am2a0p.第二节整数的性质及其应用1根底知识整数的性质有很多,这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性,质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用.1.1.整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明,我们所涉及的数都是整数,所采用的字母也表示整数.定义：设a,b是给定的数,b b0,假设存在整数c,使得 abcabc 那么称 b b 整除a,记作b|a,并称 b b 是a的一个约数因子,称a是 b b 的一个倍数,如果不存在上述c,那么称 b b 不能整除a记作 b b 卡a.由整除的定义,

4、容易推出以下性质：1 1假设b|c且c|a,那么b|a传递性质；(2)(2)假设b|a且b|c,那么b|(ac)即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭.假设am10,像这种 1010 的多项式表示的数常常简记为A(am1am2a10.在我们的日常Aam1am2a0,以后我反复运用这一性质,易知b|a&b|c,那么对于任意的整数u,v有b|(aucv).更一般,假设na1,a2,an都是 b b 的倍数,那么可斜a7an).或着a|bi,那么a|cb其中i1GZ,i1,2,n；(3)(3)假设b|a,那么或者 a a0,或者|a|b|,因此假设b|a且a|b,那么 a ab；(4)

5、(4)a,b互质,假设a|c,b|c,那么ab|c；(5)(5)p p 是质数,假设p|aa2an,那么 p p 能整除a1,a2,an中的某一个；特别地,假设 p p 是质数,假设p|an,那么p|a;(6)(6)(带余除法)设2笛为整数,b b0,0,那么存在整数 q q 和r,使得abqr,其中0 0rbrb, ,并且 q q 和r由上述条件唯一确定；整数 q q 被称为a被 b b 除得的(不完全)商,数r称为a被 b b 除得的余数.注意：r共有 b b 种可能的取值：0,1,b b1 1.假设0,0,即为a被 b b 整除的情形；aa易知,带余除法中的商实际上为 a a(不超过 9

6、 9 的最大整数),而带余除法的核心是关bb于余数r的不等式：0 0rbrb.证实b|a的根本手法是将a分解为 b b 与一个整数之积,在较为初级的问题中,这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生,下面两个分解式在这类论证中应用很多,见例 1 1、例 2 2.假设n是正整数,那么xnyn(xy)(xn1xn2yxyn2yn1)；假设n是正奇数,那么xnyn(xy)(xn1xn2yxyn2yn1)；(在上式中用y代 y)y)nm(7)(7)如果在等式aa中取去某一项外,其余各项均为c的倍数,那么这一项也是c的1 11k1倍数；(8)(8)n个连续整数中,有且只有一个是n的倍数；(9)

7、(9)任彳sin个连续的整数之积一定是n!的倍数,特别地,三个连续的正整数之积能被 6 6整除；2 2. .奇数、偶数有如下性质：(1)(1)奇数奇数= =偶数,偶数偶数=偶数,奇数偶数=奇数,偶数偶数=偶数,奇数偶数=偶数,奇数奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数,奇数个奇数的和、差仍为奇数,偶数个奇数的和、差为偶数,奇数与偶数的和为奇数,和为偶数；(2)(2)奇数的平方都可以表示成 8m8m1 1 的形式,偶数的平方可以表示为 8m8m 或 8m8m4 4 的形式；(3)任何一个正整数n,都可以写成n2ml的形式,其中m为负整数,l为奇数.(4)(4)假设有限个整数之积为奇数,那

8、么其中每个整数都是奇数；假设有限个整数之积为偶数,那么这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根假设是整数,它必为偶数.3 3. .完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数,简称平方数.平方数有以下性质与结论：(1)(1)平方数的个位数字只可能是 0,1,4,5,6,9;0,1,4,5,6,9;(2)(2)偶数的平方数是 4 4 的倍数,奇数的平方数被 8 8 除余 1,1,即任何平方数被 4 4 除的余数只有可能是 0 0 或 1;1;(3)(3)奇数平方的十位数字是偶数；(4)(4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是 6;6;(5)(5)不

9、能被 3 3 整除的数的平方被 3 3 除余 1,1,能被 3 3 整数的数的平方能被 3 3 整除.因而,平方数被 9 9 也符合的余数为0,1,4,7,0,1,4,7,且此平方数的各位数字的和被 9 9 除的余数也只能是 0,1,4,7;0,1,4,7;(6)(6)平方数的约数的个数为奇数；(7)(7)任何四个连续整数的乘积加 1,1,必定是一个平方数.(8)设正整数a,b之积是一个正整数的 k k 次方哥(k k2),假设(a,b)=1,那么a,b都是整数的 k k 次方哥.一般地,设正整数a,b,c之积是一个正整数的 k k 次方哥(k k2),假设a,b,c两两互素,那么a,b,c都

10、是正整数的 k k 次方哥.4 4. .整数的尾数及其性质整数a的个位数也称为整数a的尾数,并记为G(a).G(a)也称为尾数函数,尾数函数具有以下性质：(1) G(G(a)G(a)；(2)G(aa?an)=GG(Q)G(a?)G(an)；(3)G(aa2an)GG(a)G(a2)G(an)；(4)G(10a)0；G(10ab)G(b)；(5)假设 ab10c,ab10c,那么G(a)G(b)；(6)G(a4k)G(a4),a,kN；G(a4kr)G(ar),k0,0r4,a,k,rN；G(a),当b1为奇数,b2是偶数b2bn(8)G(ab1)G(a4),当b1为偶数,b2为奇数或b1,b2

11、同时为偶数时G(ab),当b1,b2同为奇数时同样,如果对于多个不全为零的整数,可类似地定义它们的最大公约5 5. .整数整除性的一些数码特征即常见结论1 1假设一个整数的未位数字能被 2 2或 5 5整除,那么这个数能被 2 2或 5 5整除,否那么不能；2 2一个整数的数码之和能被 3 3或 9 9整除,那么这个数能被 3 3或 9 9整除,否那么不能；3 3假设一个整数的未两位数字能被 4 4或2525整除,那么这个数能被 4 4或 2525整除,否那么不能；4 4假设一个整数的未三位数字能被 8 8或 125整除,那么这个数能被 8 8或 125整除,否那么不能；5 5假设一个整数的奇

12、位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是 1111 的倍数,那么这个数能被 1111 整除,否那么不能.6 6. .质数与合数及其性质1 1 . .正整数分为三类：1 1单位数 1;1;2 2质数素数：一个大于 1 1 的正整数,如果它的因数只有 1 1 和它本身,那么称为质素数；3 3如果一个自然数包含有大于 1 1 而小于其本身的因子,那么称这个自然数为合数.2 2. .有关质素数的一些性质1假设aZ,a1,那么a的除1以外的最小正因数q是一个质素数.如果qa,那么qO;2假设p是质素数,a为任一整数,那么必有p|a或a,p=1;3 3设备包昌为门个整数,p p 为质素数,且p|aa2an,

13、那么 p p 必整除某个 aN1inaN1in；4 4算术根本定理任何一个大于 1 1 的正整数 a a, ,能唯一地表示成质素因数的乘积不计较因数的排列顺序；5任何大于1的整数a能唯一地写成apjp；2pak,i1,2,k的形式,其中pi为质素数pipjij.上式叫做整数a的标准分解式；6假设a的标准分解式为,a的正因数的个数记为fa,那么fa41a21a1.第三节整数的性质及其应用2根底知识最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念,这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等根本概念与性质.定义 1.1.最大公约数设不全为零,同时整除的整数如称为它们的公约数.由于不全为零,

14、故只有有限多个,我们将其中最大一个称为的最大公约数,用符号表示.显然,最大公约数是一个正整数.当=1 1即的公约数只有时,我们称与互素互质.这是数论中的非常重要的一个概念.两两互素；但反过来,假设两两互素,那么显然有=1.由最大公约数的定义,我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变的符号,不改变的值,即；可以交换,=;作为的函数,以为周期,即对于任意的实数,有=等等.为了更详细地介绍最大公约数,我们给出一些常用的一些性质：1设是不全为0的整数,那么存在整数,使得；2裴蜀定理两个整数互素的充要条件是存在整数,使得；事实上,条件的必要性是性质1的一个特例.反过来,假设有使等式成立,不妨设

15、,那么,故及,于是,即,从而.3假设,那么,即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数；4假设,那么；5假设,那么,因此两个不互素的整数,可以自然地产生一对互素的整数；6假设,那么,也就是说,与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭.并由此可以推出：假设,对于有,进而有对有.7设,假设,那么；整数的 k k 次方哥.一般地,设正整数a,b,c之积是一个正整数的 k k 次方哥k k2,假设a,b,c两两互素,那么a,b,c都是正整数的 k k 次方哥.定义2.设是两个非零整数,一个同时为倍数的数称为它们的公倍数,的公倍数有无穷多个,这其中最小的一个称为的最小公倍数,记作,对于多个非零实数.假设

16、)=1,那么称互素.请注意,此时不能推出8设正整数a,b之积是一个正整数的k k 次方哥k k2 2, ,假设a,b=1,那么a,b都是a,b,c,可类似地定义它们的最小公倍数a,b,c.最小公倍数主要有以下几条性质：(1)(1)与的任一公倍数都是的倍数,对于多于两个数的情形,类似结论也成立；(2)两个整数的最大公约数与最小公倍满足：(但请注意,这只限于两个整数的情形,对于多于两个整数的情形,类似结论不成立)；(3)假设a,b,c两两互素,那么a,b,c=|a,b,c|；(4)假设,且a,b,c两两互素,那么a,b,cI.第四节同余同余式性质应用非常广泛,在处理某些整除性、进位制、对整数分类、

17、解不定方程等方面的问题中有着不可替代的功能,与之密切相关的的数论定理有欧拉定理、费尔马定理和中国剩余定理.根底知识三个数论函数对于任何正整数均有定义的函数,称为数论函数.在初等数论中,所能用到的无非也就有三个,分别为：高斯(Gauss)(Gauss)取整函数凶及其性质,除数函数d( (n) )和欧拉(Euler)(Euler)函数和它的计算公式.1 1 . .高斯(Gauss)(Gauss)取整函数设是实数,不大于的最大整数称为的整数局部,记为;称为的小数局部,记为.例如：0.5=0,等等.由的定义可得如下性质：性质 1.1.; ;性质 2.2.; ;性质 3 3.设,那么；性质 4.4.；性

18、质 5.5.; ;性质 6 6.对于任意的正整数,都有如下的埃米特恒等式成立：为了描述性质 7,7,我们给出如下记号：假设,且*,那么称为恰好整除,记为.例如：我们有等等,其实,由整数唯一分解定理：任何大于 1 1的整数a能唯一地写成apa1pa2p：k,i1,2,k的形式,其中pi为质素数PiPjij.我们还可以得到：.性质 7 7.假设,那么请注意,此式虽然被写成了无限的形式,但实际上对于固定的,必存在正整数,使得,因而,故,而且对于时,都有.因此,上式实际上是有限项的和.另外,此式也指出了乘数的标准分解式中,素因数的指数的计算方法.2 2. .除数函数dn正整数的正因数的个数称为除数函数

19、,记为dn.这里给出dn的计算公式：dn=,为素数唯一分解定理中的指数.为了表达地更加明确,我们组出素数唯一分解定理.算术根本定理素数唯一分解定理：任何一大于 1 1 的整数均可以分解为素数的乘积,假设不考虑素数乘积的先后顺序,那么分解式是唯一的.例如：.当一个整数分解成素数的乘积时,其中有些素数可以重复出现.例如在上面的分解式中,2 2 出现了三次.把分解式中相同的素数的积写成哥的形式,我们就可以把大于 1 1 的正整数写成1 1此式称为的标准分解式.这样,算术根本定理也可以描述为大于 1 1 的整数的标准分解式是唯一的不考虑乘积的先后顺序.推论 1 1.假设的标准分解式是1 1式,那么是的

20、正因数的充要条件是：2 2应说明2 2不能称为是的标准分解式,其原因是其中的某些可能取零值也有可能不含有某个素因数,因而推论 2 2.设,且,假设是整数的次方,那么也是整数的次方.特别地,假设是整数的平方,那么也是整数的平方.3.3.欧拉EulerEuler函数设正整数 0,1,0,1,中与互素的个数,称之为的欧拉函数,并记为.假设的标准分解式是,那么的计算公式是：例如：；. .以下我们讲述同余的概念：同余的概念是高斯GaussGauss在 18001800 年左右给出的.设是正整数,假设用去除整数,所得的余数相同,那么称为与关于模同余,记作,否那么,称为与关于模不同余.定义 1.1.同余设,

21、假设,那么称和对模同余,记作；假设不然,那么称和对模不同余,记作.例如：,当时,那么称是对模的最小非负剩余.由带余除法可知,和对模同余的充要条件是与被除得的余数相同.对于固定的模,模的同余式与通常的等式有许多类似的性质：性质 1.1.的充要条件是也即.性质 2 2.同余关系满足以下规律：反身性对称性假设,那么(3)(3) 传递性假设,那么(4)(4) 同余式相加 假设,那么(5)(5) 同余式相乘 假设,那么反复利用4 45 5, ,可以对多个两个的模相同的同余式建立加、减和乘法的运算公式.特别地,由5 5易推出：假设, ,为整数且,那么是我们却有以下结果:,由此可以推出,假设,那么有,即在与

22、互素时,可以在原同余式两边约去而不改变模(这一点再次说明了互素的重要性).现在提及几个与模相关的简单而有用的性质：(7)(7)假设,I,I,那么；(8)(8)假设,那么；(9)(9)假设,那么,特别地,假设两两互素时,那么有；性质 3 3.假设,那么；性质 4 4.设是系数全为整数的多项式,假设,那么.这一性质在计算时特别有用：在计算大数字的式子时,可以改变成与它同余的小的数字,使计算大大地简化.如例 3 3.定义 2 2.设,是使成立的最小正整,那么称为对模的阶.在取定某数后,根据同余关系把彼此同余的整数归为一类,这些数称为模的剩余类.一个类的任何一个数,都称为该类所有数的剩余.显然,同类的

23、余数相同,不同类的余数不相同,这样我们就把全体整数根据模划分为了个剩余类：.在上述的个剩余类中,每一类任意取一个剩余,可以得到个数,称为模的一个完全剩余系.例如关系模 7,7,下面的每一组数都是一个完全剩余系：0,1,2,3,4,5,6;0,1,2,3,4,5,6;-7,8,-7,8,16,3,16,3,-10-10,40,20;,40,20;-3-3, ,-2-2, ,-1-1,0,1,2,3,0,1,2,3.显然,一组整数成为模的完全剩余系只需要满足两个条件(1)1)有个数；(2)(2)各数关于模两两不同余.最常用的完全剩余系是最小非负完全剩余系及绝对值最小完全剩余系.模的最小非负完全剩余

24、系是：0,1,2,0,1,2,；即除数为时,余数可能取到的数的全部值.当为奇数时,绝对值最小的完全剩余系是：；但是同余式的消去律一般并不成立,即从未必能推出(6)(6)假设当为偶数时,绝对值最小的完全剩余系有两个：以上只是我们个人对同余及剩余类的理解,念给出,希望大家好好地研究：定义 3.3.同余类设模的同余类.说明：整数集合可以按模来分类,确切地说,假设和模同余,那么和属同一类,否那么不属于同一类,每一个这样的类为模的一个同余类.由带余除法,任一整数必恰与 0,1,0,1, ,中的一个模同余,而 0,1,0,1, ,这个数彼此模不同余,因此模共有个不同的同余类,即例如,模 2 2 的同余类共

25、有两个,即通常说的偶数类与奇数类,这两类中的数分别具有形式和为任意整数.定义 4 4.剩余类设是正整数,把全体整按对模的余数分成类,相应的个集合记为：,其中,称为模的一个剩余类.以下是几条常用性质：且；每一个整数仅在3 3对于任意,那么的充要条件是.定义 5.5.完全剩余系一组数称为模的完全剩余系,如果对任意有且仅有一个是对模的剩余,即.换一种说法更好理解：设为模的全部剩余类,从每个中任取一个,得个数组成的数组,叫做模的一个完全剩余系.说明：在个剩余类中各任取一个数作为代表,这样的个数称为模的一个完全剩彼此模不同余,例如 0,1,2,0,1,2, ,是模的一个完系,这称作是模完系.性质：1 1

26、个整数构成模的一个完全剩余系两两对模不同余；2 2假设,那么与同时跑遍模的完全剩余系.第五节初等数论中的几个重要定理余系,简称模的完系.换句话说,个数称为模的一个完系,是指它们为了方便大家研究,我们把有关材料上的具体概,每一个这样的类为的最小非负根底知识定义欧拉EulerEuler函数一组数称为是模的既约剩余系,如果对任意的且对于任意的=1,=1,那么有且仅有一个是对模的剩余,即中和互质的数的个数,称为欧拉Euler函数.这是数论中的非常重要的一个函数,显然引理：中与互素的数的个数,比方说是素数,那么有可用容斥定理来证证实略定理 1:1:欧拉EulerEuler定理设=1,=1,那么证实：取模

27、的一个既约剩余系考虑互质,故仍与互质,且有,于是对每个都能找到唯一的一个,使得,这种对应关系是的,从而o证毕.分析与解答：要证,我们得设法找出个相乘,由个数我们想到中与互质的的个数：也是与个数,且两两余数不这是数论证实题中常用的一种方法,余系来解决问题.使用一组剩余系,然后乘一个数组组成另外一组剩定理 2 2：费尔马FermatFermat小定理对于质数及任意整数有设为质数,假设是的倍数,那么.假设不是的倍数,那么由引理及欧拉定理得,由此即得.定理推论：设为质数,是与互质的任一整数,那么定理 3:3:威尔逊WilsonWilson定理设为质数,那么分析与解答：受欧拉定理的影响,我们也找个数,然

28、后来对应乘法.证实：对于中, 必然有一个数除以对于从而对己配对,这时那么好是的一个剩余系去 0 0.,使得O即对于不同的对应于不同的中数可两两配对,其积除以然后有,使外,别的数可两两配对,为整系数多项式积除以余 1 1.故,我们把含有的一组同余式称为同余方组程.特别地,当均为的一次整系数多项式时,该同余方程组称为一次同余方程组.假设整数同时满足:其中称为同余方程组的一个解,写作定理 4:4:中国剩余定理设是两两互素的正整数,那么对于任意整数,一次同余方程组必有解,且解可以写为:,以及满足即为对模的逆.中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解,而对于解的形式并不重要.定理

29、5:5:拉格郎日定理设是质数,是非负整数,多项式是一个模为次的整系数多项式即$ $,那么同余方程至多有个解在模有意义的情况下.定理 6:6:假设为对模的阶,为某一正整数,满足,那么必为的倍数.以上介绍的只是一些系统的知识、方法,经常在解决数论问题中起着突破难点的作用.另外还有一些小的技巧那么是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用,有时也会起到意想不到的作用,如：只介绍几个较为直接的应用这些定理的例子.下面我们着重对 FetmatFetmat 小定理及其应用来举例：例 3 3.求证：对于任意整数, ,证实：令,那么只需证由 3,53,5 是素数及 FetmatFetmat 小定理得而3

30、,53,5=1,=1,故,即例 4 4.求证：为任意整数.证实：令,那么所以含有因式由 FetmatFetmat 小定理,知 13|7|13|7|又 13,7,5,3,213,7,5,3,2 两两互素,所以 2730=2730=例 5 5.设是直角三角形的三边长.如果证实：不妨设是直角三角形的斜边长,那么O O 这里我们是一个整数.是 1515 的倍数即可.,那么是 1515 的倍数.所以是整数.能整除.是整数,求证：可以被 3030 整除.这里假设 2 2 卡,咻,2 2* *c c, ,那么所以 2|2|. .假设 3 3* *,3,3 卡,外 c,c,由于,矛盾！从而 3|3|,又由于矛

31、盾！,那么,又假设 5 5* *,5,5X X,5,5* *c c, ,由于, ,所以或 0(mod5)0(mod5)与矛盾!从而 5|5|. .又(2,3,5)=1,(2,3,5)=1,所以 30|30|. .下面讲述中国剩余定理的应用例 6.6.证实：对于任意给定的正整数,均有连续个正整数,其中每一个都有大于 1 1 的平方因子.证实：由于素数有无穷多个,故我们可以取个互不相同的素数由于显然是两两互素的,故由中国剩余定理知,上述同余组有正整数解.于是,连续个数分别被平方数整除.注：(1)(1)此题的解法表达了中国剩余定理的一个根本成效,它常常能将“找连续个正整数具有某种性质的问题转化为“找

32、个两两互素的数具有某种性质,而后者往往是比拟容易解决的.(2)(2)此题假设不直接使用素数,也中以采用下面的变异方法：由费尔马数两两互素,故将中的转化为后,相应的同余式也有解,同样可以导出证实.例 7.7.证实：对于任意给定的正整数,均有连续个正整数,其中每一个都不是哥数.分析：我们来证实,存在连续个正整数,其中每一个数都至少有一个素因子,在这个数的标准分解中仅出现一次,从而这个数不是哥数.证实：取个互不相同的素数,考虑同余组由于显然是两两互素的,故由中国剩余定理知,上述同余组有正整数解.对于由于,故,但由式可知卡,即在的标准分解中恰好出现一次,故都不是哥数.例 8.8.设是给定的偶数,且是偶

33、数.,而考虑同余证实：我们先证实,当为素数哥X X 且：假设中有一对满足要求.是的一个标准分解,上面已经证实,对每,而由中国剩余定理,有解,同余式有解.现不难验证解符合问题中的要求：因卡,故人于是,又由知故.注：此题的论证表现了中国剩余定理最为根本的作用:为为素数哥的问题,而后者往往是比拟好处理的.第六节不定方程所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些(如要有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组.不定方程也称为丢番图方程,是数论的重要分支学科,也是历史上最活泼的数学领域之一.不定方程的容十分丰富,与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系.不定方程的重要性在数学

34、竞赛中也得到了充分的表达,每年世界各地的数学竞赛吉,不定方程都占有一席之地； 另外它也是培养学生思维水平的好材料,数学竞赛中的不定方程问题,不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解,而且更需要讲究思想、方法与技巧,创造性的解决问题.在本节我们来看一看不定方程的根底性的题目.根底知识1 1 . .不定方程问题的常见类型：(1)(1)求不定方程的解；(2)(2)判定不定方程是否有解；(3)(3)判定不定方程的解的个数(有限个还是无限个).2 2. .解不定方程问题常用的解法：(1)(1)代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；证实：存在整数使得时结论成立.实际上,能够证实,存在使,那么条

35、件说明为偶数,此时可取假设,那么与一般情形下,设个存在整数使得 X X 且同余式将一个关于任意正整数的问题,化2 2不等式估算法：利用不等式等方法,确定出方程中某些变量的围,进而求解；3 3同余法：对等式两边取特殊的模如奇偶分析,缩小变量的围或性质,得出不定方程的整数解或判定其无解;4 4构造法：构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证实方程有无穷多解;5 5无穷递推法.以下给出几个关于特殊方程的求解定理：一二元一次不定方程组为任意整数.定义 1 1.形如不同时为零的方程称为二元一次不定方程.定理 1 1 方程有解的充要定理 2 2.假设的一个解,那么方程的一切解都可以表示成定理 3.

36、3.元次不定方程有解的充要条方法与技巧:1 1. .解二元一次不定方程通常先判定方程有无解.假设有解,可先求一个特解,从而写出通解.当不定方程系数不大时,有时可以通过观察法求得其解,即引入变量,逐渐减小系数,直到容易得其特解为止；2 2 . .解元一次不定方程时,可先顺次求出.假设那么方程无解；假设|,那么方程有解,作方程组:求出最后一个方程的一切解,然后把的每一个值代入倒数第二个方程,求出它的一切解,这样下去即可得方程的一切解.3 3 . .个元一次不定方程组成的方程组,其中去了个不定方程,将方程组转化为一个,可以消去个未知数,从而消元的一次不定方程.二高次不定方程组及其解法1.1.因式分解法：对方程的一边进行因式分解,另一边作质因式分解,然后比照两边,转而求解假设干个方程组；2.2.同余法：如果不定方程有整数解,那