专题训练倒数法与分式方程题库

1、例题精讲倒数法【例【例1】：X1=,求X2十工的值.XX12121【解析】【解析】x=#,.x+F2=7,.x+F=9XXX【稳固】：a2+:=3,求a的值.aa111.191【斛析】【斛析】-a+2=3,a+22=1,即(a-)=1,a-=土aaaa【稳固】X为实数,且X+1=2,那么X4+=.XX41212I12【解析】【解析】x+F=(x+)-2=.(x+)-2一2=2.XXX设x=.5,求x+工的值.XX.1一2_1_122_11_.x=45,-x2+=5,-(x+)=x+2=9,所以x+=3XXXXX【稳固】假设1a=1,求工+|a的值.aa解析d_a)2=-21a|+|a2=1,分

2、析可得a0,1+a0,aaaa贝U(1a)2=4-21a+|a2=0,x+=I+22,故x+xxx湖北黄冈市初级数学竞赛.a00,x#0,42xx12x=x21-2-1x-mx1由条件知x00,633x-mx13x3x6363x-mx-1设=1显然不成立3x那么一4x1+xx12二(x)x12lx-xx.21x2x1X2-125150一万=a,其中11,即a11+x.2-1=(-1)-1二的值.2x2xdxx-mx12因而x1313二x-mx1二 223m-21,=-1,a1-2a2x2x1一12a-2a1=1,即x+=mx1311二(x)-3x(x)2二3m【例【例5】【解析】:2,、,、x

3、-7x+1=0,求x+1；(I)-x2-7x1,x#0,xx2-7x1-1=0,即x+-=7x.x2x4=47x1八八+2=49,xx1=47x4141x+2=2209,x+=2207xx【稳固】【解析】【稳固】【解析】:a2-5a+1=0,求a a+1+1 的值.a21由a5a虫=0,可知a00,得a-5+-=0,即aa4a21:aa二52112=a1-=(a-)21aa2.21.x3x+1=0,求x+2的值.x21-x3x+1=0,x#0,x+=3,x=24.x2+工+2=9,x【补充】【解析】【解析】【例【例6】【解析】【解析】【稳固】【解析】【解析】【例【例7】【解析】【解析】【稳固】

4、【解析】【解析】【补充】【解析】【解析】_3x1x32xx=0,那么KZTT-3x1故原式板块四x3C1-2=0=x-=3=xilx222-132xx2上海市高中理科实验班招生试题1由条件知：a1=1,a第17届江苏省竞赛题a2+4a+1=0,且由可得a+1=-4,a:-a_42_.c.c 口口2a-3xa21=0,J132a2xa-a出,求x的值.1122(a21(a)2xa42a-ma-1=53a,ma,3a42a-maT323ama3aa是x23x+1=0的根,求.里,即1122(12)-3x9321a1-ma13(a)ma_54_3_2a-5a2a-8aa21由于a是x23x+1=0的

5、根,所以a23a+1=0所以2232a5-5a42a3-8a2a|2a(a1)-5a-8a利用条件a广西竞赛题x42x112x14,m=51121解得x-51012m2-的值.解得37m=2a21a2113.=-(a3-8a)=-(3a-9a)=a-3a-1:=0的各个变形,对分式进行整体降哥是解题的关键4_24x2x1x-x-1=0,求5x(x1)22x12x(x1)2利用条件x-x-1Jx=启a分式方程x24x2_x14x2_5x32=-2x(x2x1)x(3x2)3x2x=0的各个变形,对分式进行整体降哥是解题的关键1一一二二x2ax24xx2.x24x_x2(x2-yx24xx2x24

6、xx2-x24x5x3二二15x32x2)-41a-a1a-a11aaaa11a(a)aa2a万一a以下方程中哪些是分式方程?3x_1x=0 x1x2x9=7x-3-1x,-=3x29.7=0a为字母系数a1a,c11一xx-1=9232二2x=133(6)3y一73y12.ca1a一x-3x(10)3=x3-x程有、( (10)点评：判断分式方程关键要看分母中是否有未知数中没有分母,是整式方程；中虽然有分母,但分母中不含未知数,所以仍为整式方程；是整式方程,分母中不含未知数；不是方程,所以也不是分式方程；不是分式方程,虽然分母中有字母a,但a不是未知数,所以仍为整式方程此方程是否为分式方程：

7、x+1=2+1?xx为分式方程,不能看化简以后的结果,由于它的化简不等价,取值范围发生变化.总之,只要分母上含有未知数即为分式方程！此方程是否为一元一次方程：x2+2=x2+x是,这个要看化简以后的结果,它的化简是等价的.对于整式方程,要看化简以后的结果!(西城区各校期中测试题) )解关于 x x 的方程：5+*5+*+丝二 1=21=2 二1 1x-164-xx4原方程可化为5(x+4)(x-4)+96(3x-1)(x+4)=(2x-1)(x-4)(x4)(x-4)(x4)(x-4)(x4)(x-4)(x4)(x4)通分整理为 2x=16,2x=16,所以 x=8,x=8,经检验 x=8x=

8、8 是原方程的解,原方程的解是 x=8x=8解方程：(1+-)2+(1-)2y-2y-2y-2将方程展开,得2+2父(二一)2=且y-2y-2去分母得,2(y-2)28=2y(y-2)整理得,Ty=-16,解得y=4经检验y=4不是原方程的增根,原方程的解是y=4解关于x的方程：冬上m+R=2(m+n#0)【解析【解析】 思路与技巧分式方程首先应为方程,然后还必须满足有分母,并且分母中含有未知数.其中分式方【例【例8】=3(a为字母系数)【稳固【稳固】【解析【解析】【稳固【稳固】【解析【解析】【例【例9】【解析【解析】【稳固【稳固】【解析【解析】5x-723 ZZZZ 二 7 7T Tx-3x

9、2x-1x-2方程两边同时乘以(x-1)(x-2)约去分母,得 5x-7=5x-75x-7=5x-7.检验,当x=1,x=2时,(x1)(x2)=0所以x=1,x=2是增根,.原方程的解是除了1和2的任何实数.假设分式方程,+3=-二1有增根,求它的增根x-2x-2【解析】=2x-nx-m2222mnx=m2mnn=(mn)2pcmnmn又m+n#0,x=AL=2mn2经检验,x=mH是原方程的解.,原方程的解为x=mn.22【稳固】【解析】【例例10】【解析】【稳固】【解析】求x为何值时,代数式坦_2的值等于2.x3x-3x,一一2x912333由题意,得丝上2=2,解这个分式方程,得x=,

10、经检验,x=是原方程的根.,当x=x3x-3x222事,代数式2A9-的值等于2.x3x-3x解方程：一_+_3_=0 xxx-xx-1一、一.234.一.一原方程变形为：一2一十4=0,去分母解得x=-1,x(x1)x(x-1)(x1)(x-1)经检验,x=-1x=-1 是原方程的增根.原方程无解.解方程6T+x-2=x+24-xx2x-2原方程化为16x-2x2-=2x2-xx2x-2方程两边同时乘以(x+2(x-2),约去分母,22得-16x-2=x222整理得x-4x-12=x4x4解这个整式方程,得 x=-2x=-2检验：把 x=-2x=-2 代入( (x x+ +2 2f fx x

11、- -2 2),),得(-(-2 2+ +2 2j j-2-2-2-2 户 0 0所以 x=-2x=-2 是原方程的增根,原分式方程无解.点评：解分式议程的步骤为:去分母,化为整式方程解整式方程 T 佥验写出原分式方程的解【例例11】【解析】解方程:【解析】移项,得=与,即上上=4,4,2=32=3,原方程的增根是 x=2x=2x-2x-2x2x2【例【例13】a为何值时,关于x的方程二+2ax=3 会产生增根.x-2x-4x2【解析】【解析】去分母可得：2x+42x+4+ +ax=3xax=3x6,6,如果产生增根,那么增根为*=2*=2 或*=二,而增根满足化简后的整式方程,将 x=2x=

12、2 代入可得 a=M,a=M,将*=二代入可得 a=6.a=6.当 a a=/或 a a=6=6 时,均产生增根.解分式方程组还有一种重要的方法,换元法,我们在初一下,学习二元一次方程组的时候介绍过【稳固】关于x的方程+2ax=JL有增根,求 a a 的值x3x9x3【解析】【解析】方程两边同时乘以(x+3)(x(x+3)(x3)3)得,3(x3(x+3)+3)+ +ax=4(xax=4(x-3),-3),即(a(a1)x1)x=-21.=-21.假设方程有增根,那么 x x= =：3,3,把 x x=3=3 代入中可得 a a= =-6-6, ,把 x x= =3 3 代入中可得 a a=8

13、,=8,当 a a= =-6-6 或 a a=8=8 时,原方程会产生增根.【稳固】关于x的方程二匚十二2二5=月二1有增根1,求m的值.xfxxxx-1【解析】原方程去分母,整理得,(x+1)+(m+5)(x-1)(m1)x=0把 x=1x=1 代入上面方程,解得 m=3m=3【例【例14假设方程+=0无解,求t的值x-2x2【解析】【解析】去分母,得(x+2)+t(x-2)=0,整理关于x的一次方程,得(t+1)x=2(t-1),当乂=2或乂=-2时,原方程有增根,原方程无解分另1 1J J 将x=2,x=-2代入方程当 x=2x=2 时,无解；当 x=x=2,2,解题 t=0t=0.11

14、一综上,当 1=-11=-1 或 1=01=0 时,方程+=0=0 无斛.x-2x2t1=02(t-1)=0即t=-1时,原方程无解当X1=2时式成为0(kk2)=12无解2、当乂2=/时,式成为4(kk)=,得:.当ki#_1且k2#2时,原方程不会产生增根的方法证实这个猜测.2把关于X的方程x-x1=a+x-1a-1方程的解是xi=c,22验证：去分母,得cx-(c+1X+c=0,(cx-1Ix-c)=0.1-X1=-,X2=c.c按方程的形式变形为11x-1+=a1+.x-1a-1,、1【例例16】阅读并完成以下问题：1111万程x+=2的解是X1=2,X2=_;方程x+_10一一的解是

15、整=3,31X2=3观察上述方程及解,可猜测关于11X的万程X+=c+的解是;用求出方程的解k1-1,k2=2L L 变为方程的形式是进一步猜测方程x+m=c+m的解是Xc,直接写出方程2x-x2X-1=a+2的解是a-1aX2=a-1-mX1=c,X2=一；cXia1=a,X2=a-1令x-1=a-1或x-1=,便可得方程的斛为x1=a,【例例17】【解析】【稳固】【解析】(2005年五羊杯)方程(x-1)(x2)(x2)(x5)(x3)xx-3x方程两边乘3,拆项、化简得:(“祖冲之杯竞赛题)解方程、,1方程六匚十力x2XX2111X1色 ,213x2x2故xx4=21=x(x5)(x8)

16、1X111_x21(x8)(x11)3x-324x=-32x3x21-的解为22一x5x6x7x1221,4-,2+-:=上可化为:x5x6x7x1221x421x421+4x21=0,即(x3+7)=044(x1)(x5)(x(x7)(x3)(x7)=(x1)(x5)经检验 x=Yx=Y 不是原方程的增根,原方程的解是 x=Kx=K【例例19】【解析】五羊杯数学竞赛解方程:5x-96x-84x-192x-21x-19x-9x-6x-8(5即:1155-)+(1+-)=(4+-)+(2-),0,m6,所以当m6,程有一个正数解.所以 6 6-m-mmHmH3 3 时方学习好资料欢送下载【稳固】

17、当m为何值时,关于x的方程上口_二=竺四的解为负数?x2x3(x2)(x3)【解析】去分母得5x=m-3,解得x=m-3,令乂=吧0,0,解得 m3m355当 m m36_m0 0 且 6_m6_m 是整数 .m.m66 且 m m 是整数 当m取小于6的整数时,原方程有一个正整数解【例【例26】关于x的方程1+=盟一的解也是不等式组2 2-xx-4-xx-4【解析】【解析】由1十一x=2m去分母得x2-4-x(x+2)=2m2fx4由题意知x#也,m-20也,即m.口,且mr01-xx-2解不等式组22得xM-2,即-m-202(x-3)0【例【例27】关于x的两个方程x2-x-2=0与=二一有一个解相同,那么a=x-2xa2.一、一一12,一【斛析】【斛析】方程x-x-2=0的解为=-1*2=2,x=2不是方程=的斛x-2xa.共同的解是x-11-xx-22的