高考专栏――数学

1、.高考专栏数学第三讲数列一、知识结构：            二、基本知识点：1数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想2等差、等比数列中，a、n、d(q)、“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法3求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想4数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等5.等差数列相关公式：（1）；（2）通项公式：；（3

2、）前n项和公式：；（4）通项公式推广：6.等差数列的一些性质：（1）对于任意正整数n，都有；（2）的通项公式；（3）对于任意的整数，如果，那么；（4）对于任意的正整数，如果，则；（5）对于任意的正整数n>1，有；（6）对于任意的非零实数b，数列是等差数列，则是等差数列（7）已知是等差数列，则也是等差数列（8）等都是等差数列；（9）是等差数列的前n项和，则仍成等差数列，即； （10）若，则（11）若，则（12），反之也成立7.等比数列相关公式：（1）定义：；（2）通项公式：（3）前n项和公式：；（4）通项公式推广：8.等比数列的一些性质：（1）对于任意的正整数n，均有；（2）对于任意的正整

3、数,如果，则；（3）对于任意的正整数，如果，则（4）对于任意的正整数n>1,有；（5）对于任意的非零实数b，也是等比数列；（6）已知是等比数列，则也是等比数列；（7）如果，则是等差数列；（8）数列是等差数列，则是等比数列；（9）等都是等比数列；(10)是等比数列的前n项和，当q=1且k为偶数时，不是等比数列.当q1或k为奇数时，仍成等比数列9.数列前n项和公式：；等差数列中，；等比数列中，；裂项求和：；（）三、巩固训练（2004年高考试题）1.（浙江文理(3) ）已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=（ ）(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 2.（全国卷四文理6）等差

4、数列中，则此数列前20项和等于 A160B180C200D2203.（天津卷理8.） 已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的（ ）A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.（全国卷四文18）已知数列为等比数列，（）求数列的通项公式；（）设是数列的前项和，证明解：（I）设等比数列an的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4. 依题意，得方程组a1q=6, a1q4=162.解此方程组，得a1=2, q=3.故数列an的通项公式为an=2·3n1（II） 5.（全国三文（4）等比数列中，则的前4项和为A. 81 B.

5、120 C. 90 D. 1926.（全国三文）设公差不为零的等差数列an，Sn是数列an的前n项和，且,，求数列an的通项公式. 解：设数列an的公差为d(d0),首项为a1，由已知得：.解之得：，或（舍）7.（全国卷三理）设数列是等差数列，Sn是数列的前n项和，则（ ）A.S4S5 B.S4S5 C.S6S5 D.S6S58.（全国卷三理(22)）已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n1.写出求数列an的前3项a1,a2,a3；求数列an的通项公式；证明：对任意的整数m>4，有解：当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；当n=2时,有：S2=a1

6、+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：，化简得：上式可化为：，故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故 数列的通项公式为：由已知得：. 故，( m>4) 9.（天津卷文20.） 设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，成等比数列。（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式证明：因，成等比数列，故，而是等差数列，有，于是 ，即，化简得 （2）解：由条件和，得到，由（1），代入上式得，故 ，10.（浙江卷文（17）已知数列的前n项和为（）求；（）求证数列是等比数列解: (

7、)由,得，又,即,得.()当n>1时,得所以是首项,公比为的等比数列11.（北京文理（14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_，且（文：这个数列的前21项和的值为_）（理：这个数列的前n项和的计算公式为_（ 3 ；（文：52）理：当n为偶数时， ；当n为奇数时，）12.（湖南文20） 已知数列an是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4 成等差数列.（I）证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列；（II）求和T

8、n=a1+2a4+3a7+na3n （）证明 由成等差数列， 得，即 变形得 所以（舍去）.由 得 所以12S3，S6，S12S6成等比数列（）解：即 ×得： 所以 13.（江苏卷15）设数列an的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n1)，且a4=54，则a1的数值是_214.（江苏卷20）设无穷等差数列an的前n项和为Sn.()若首项，公差，求满足的正整数k；()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有成立 解：（1）；（2）或或15.（上海卷理12）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设an是公比为q的无穷等比数列,下列an的四组量中,一定能成为该数列“基

9、本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)S1与S2; a2与S3; a1与an; q与an.其中n为大于1的整数, Sn为an的前n项和.（、）16.（全国卷一理22）已知数列，且a2k=a2k1+(1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式 解：（I）a2=a1+(1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.(II) (II)          

10、60;       a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1, a3a1=3+(1). 所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1)=(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1), 由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1,于是a2k+1= a2k= a2k1+(1)k=(1)k11+(1)k=(1)k=1 an的通项公式为： 当n为奇数时，an=当n为偶数时，17.（全国卷一文17）等差数列的前n项和记为S

11、n.已知（）求通项；（）若Sn=242，求n 解：（）由得方程组 解得 所以 （）由得方程解得18.（全国卷二理（19）数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn（n1，2，3，）证明：()数列是等比数列；()Sn14an 证（I）由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，)，知a2=S1=3a1, ,又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，),则Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3，)，nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，).故数列是首项为1，公比为2的等比数列 证（II） 由（I）知，于是Sn+1=4(n+1)·=4an(n)又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n1都有Sn+1=4an 19.（全国卷二文（17）已知等差数列an，a29，a5 21 ()求an的通项公式；()令bn，求数列bn的前n项和Sn 解：a5-a2=3d,d=4,an=a2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1；