2016年)概率常考题型解析

1、1概率知识点及考点分析开封高中王国平(高中数学开封市高中数学二坊)本章主要研究随机事件、互斥事件及概率的意义，并会计算互斥事件的概率；掌握古典概型、几何概型的概率计算一知识点解读1.随机事件和确定事件(1) 在条件 S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件.(2) 在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件.(3) 必然事件与不可能事件统称为确定事件.在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A, B, C表示.2 .频率与概率(1) 在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件A 是否出现

2、，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nAnA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A) = n为事件 A 出现的频率.(2)对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率.3斥事件与对立事件(1) 互斥事件：若 AQB为不可能事件(AAB= ?)，则称事件 A 与事件 B 互斥，其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中不会同时发生.(2) 对立事件：若 AAB为不可能事件，而 AUB 为必然事件，那么事件 A 与事件 B 互为对立事件，其含 义是：事

3、件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生.4 .概率的几个基本性质(1) 概率的取值范围：OWP(A) 5频数605030302010上年度出险次数01234 5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a4(1)记 A 为事件： “一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P(A)的估计值；(2)记 B 为事件： “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%” .求 P(B)的估计值;(3)求续保人本年度的平均保费的估计值解(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于2,由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60需0= 0.55，故 P(A)的估计值为

4、0.55.(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于1 且小于 4,由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为200= 0.3,故 P(B)的估计值为 03(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的 200 名续保人的平均保费为O.85ax0.30+ ax0.25 + 1.25aX0.15+ 1.5aX0.15 +1.75aX0.10+2aX0.05=1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.跟踪训练 2. (2016 合肥一模)某城市有连接 8 个小区 A，B，

5、C，D，E，F，G，H 和市中心 O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示.某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区 H，则他经过市中心 O 的概率为()A 前往小区 H 的所有最短路径为：ATBTCTETH，ATBTOTETH，ATBTOTGTH，ATDTOTETH，ATDTOTGTH , ATDTFTGTH，共 6 条.记 “此人经过市中心O”为事件 M，则 M 包含的基本事件为：ATBTOTETH，ATBTOTGTH，42一一 2ATDTOTETH，ATDTOTGTH，共4个，所以P(M)= 4 = 3，即他经过市中心的概率为 3.考点 3.互斥事件、对立事件

6、的概率(1)判断两个事件是否为互斥事件，就是判断它们能否同时发生，若不能同时发生，则是互斥事件,不然就不是互斥事件若两个事件互斥，且必有一个发生，则其为对立事件.解析：选 B 由题意知，此人从小区两个事件互斥未必对立,5但对立一定互斥.6(2)至少 3 人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件 A ,“1 人排队等候”为事件 B,“2 人排队等候”为事件 C,“3 人排队等候”为事件 D ,“4 人排队等候”为事件 E,“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F ,则事件 A, B ,C, D, E, F 互斥.(1) 记“至多 2 人排队等候”为事件 G,贝 UG=AUBUC,所

7、以 P(G) = P(AUBUC)=P(A)+ P(B) + P(C)=0.1 + 0.16+ 0.3= 0.56.(2) 法一：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则H=DUEUF,所以 P(H)= P(DUEUF)=P(D) + P(E) + P(F)=0.3 + 0.1 + 0.04= 0.44.法二：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G,所以 P(H)= 1 P(G) = 0.44.跟踪训练 3。(2015 湖北黄石二模)某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购 多得.1000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖

8、 50 个.设 1 张奖 券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C,求：(1) P(A), P(B), P(C);(2) 1 张奖券的中奖概率;排队人数012345 人及 5 人以上概率0.10.160.30.30.10.04(2)互斥事件的概率加法公式必须在各个事件彼此互斥的前提下使用，即+ P(B) ； A，B 对立，P(A) = 1 P(B).例 3. (2016 洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下:求：(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？A B 互斥，P(A + B) = P(A)7(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.1 1 1故

9、事件 A, B, C 的概率分别为 1000,而，20.(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.1解：(1)P(A)=而,P(B) =10 =丄1 000= 100,P(C)=50 =丄1 000= 20.8设“ 1 张奖券中奖”为事件 M,则M=AUBUC. A, B, C 两两互斥，P(M)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=（3）设“ 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N,由对立事件概率公式得P(N)_1-P(AUB)11989+ _-1 000+1001 000-考点 4。简单古典概型的求法求古典概型的概率时，应注意试验结果的有限性和所有结果的等可能性.

10、（1）反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意；（2）判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；（3）利用列举法求出总的基本事件的个数 n 及事件 A 中包含的基本事件的个数 m；例 4.（2016 新课标全国I, 3）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是解析 将 4 种颜色的花种任选两种种在一个花坛中， 余下 2 种种在另一个花坛，有（红黄）、（白紫）,（白紫）、（红黄）,（红白）、（黄紫）,（黄紫）、（红白）,（红紫）、（黄白）,（黄白）、（红 紫）共 6 种种法，其中红色

11、和紫色不在一个花坛的种数有 （红黄）、（白紫）,（白紫）、（红黄）, （红白）、（黄紫）,（黄紫）,（红白），共 4 种，故所求概率为 P_4_彳，选 C.答案 C故 1 张奖券的中奖概率为611000-1 + 10+ 50_ 611 000 _ 1 000-故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 0002 2 5-65-69跟踪训练 4.2.（2016 新课标全国IH,5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得10第一位是 M , I, N 中的一个字母，第二位是 1, 2, 3, 4, 5 中的一个数字，则小敏输入一次 密码能够成功开机的概率是()A8JA不B.81

12、 1C 不D.30解析 第一位是 M , I,N 中的一个字母，第二位是 1, 2, 3, 4, 5 中的一个数字，所以总的1基本事件的个数为 15,密码正确只有一种，概率为 15，故选 C.答案 C考点五。古典概型的交汇命题古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖， 考查知识全面，能力要求较高归纳起来常见的交汇探究角度有以下几种：探究一古典概型与平面向量相结合例 5. (2016 威海一模)从集合2,3,4,5中随机抽取一个数a,从集合1,3,5中随机抽取一个数b，则向量 m = (a, b)与向量 n = (1, - 1)垂直的概率为()1 1

13、A.6B.311C.4D.2解析：由题意可知 m= (a, b)有:(2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,3), (3,5), (4,1) , (4,3) , (4,5) , (5,1), (5,3), (5,5),共 12 种情况.因为 m 丄 n ,即 m n = 0 ,所以 ax1 + bx( 1) = 0,即 a = b ,满足条件的有(3,3) , (5,5)共 2 个，故所求的概率为 T.6答案：A跟踪训练 5. (2015 陕西质检)连掷两次骰子得到的点数依次为m 和 n ,若记向量 a= (m , n)与向量 b=(1 , 2)的夹角为0,贝U B为锐角

14、的概率是 _ 解析：依题意，0为锐角，则 a b0,则 m-2n0 , m2n 连续掷两次骰子的所有可能结果为36 种,答案：6其中满足 m 2n 的有(3 , 1) , (4 , 1) , (5 , 1) , (5 , 2) , (6 , 1) , (6 , 2),共 6 种，所以所求概率为_63616.11探究二古典概型与直线、圆相结合例 6.(2015 洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a, b,则直线 ax+ by = 0 与圆(x 2)2+ y2=2 有公共点的概率为 _.解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a, b)有(1,1), (1,2), (

15、1,3),，(6,6),b)有(1,1), (1,2), (1,3) , (1,4),，(6,6)，共 6 + 5 + 4+ 3 + 2 + 1= 21 种，因此所求的概率等于答案：右跟踪训练 6. (2016 年创新方案)设集合 P = 2, 1,0,1,2, x P 且 y P,则点(x, y)在圆 x2+ y2= 4内部的概率为_ .解析：以(x, y)为基本事件，可知满足x P 且 y P 的基本事件有 25 个.若点(x , y)在圆 x2+ y2= 4 内部，则 x , y 1,1,0,用列表法或坐标法可知满足x 1,1,0且 y 1,1,0的基本事件有 9 个.所9以点(x ,

16、y)在圆 x2+ y2= 4 内部的概率为 注探究三古典概型与函数相结合例 7. (2016 烟台模拟)在区间0,1上任取两个数 a, b,贝 U 函数 f(x)= x2+ ax+ b2无零点的概率为()1231B3 C4D.解析：选 C 要使该函数无零点，只需a2 4b20 ,即(a + 2b)(a 2b)0 ,Aa2b0.0 a 1,作出 0wbw1,的可行域(如阴影部分所示),a2bv0跟踪训练 7. (2016 宁波一模)已知实数 a 满足一 3a4 ,函数 f(x) = lg(x2+ ax + 1)的值域为 R 的概率为P1,定义域为 R 的概率为 P2,则()共 36 种，其中满足直线ax+ by= 0 与圆(x 2)2+ y2= 2 有公共点，即满足21=736 = 12答案:925易得该函数无零点的概率1X142 2 312B. P1= P2D . Pl与 P2的大小不确定32 一一 2 43.若 f(x)的定义域为 R，贝 U = a2 40 ,得一 2a2，故 P2=4所以 PiP2C . Pl 90勺概率解。如图,i iAAi矩形ABCDAAIS矩形ABCDi6.解析：根据几何概型知识，概率为体积之比，即P=*43i8.设事件 M = “动点在三棱锥ii如果点 M 位于以 AB 为直径的半圆内部