2017年中考数学复习一元二次方程专练一元二次方程之根与判别式专项练习60题

1、一元二次方程之根与判别式1 已知关于 x 的一元二次方程 x2+ (2m- 1) x+mi2=0 有两个实数根 xi和 X2.(1) 求实数 m 的取值范围；(2) 当，-!.;时，求 m 的值.2.关于 x 的方程 2x2-( a2- 4) x - a+仁 0,(1) 若方程的一根为 0,求实数 a 的值；(2) 若方程的两根互为相反数，求实数 a 的值.3 .已知关于 x 的方程 x2-( k+1) x+k+2=0 的两个实数根分别为 xi和 X2，且 Xi2+X22=6，求 k 的值?24.已知关于 x 的方程 kx +2 ( k+1) x - 3=0.(1) 请你为 k 选取一个合适的

2、整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根;(2) 若 k 满足不等式 16k+3 0,试讨论方程实数根的情况.25 .已知方程 2 ( m+1 x +4mx+3m=2 根据下列条件之一求 m 的值.(1) 方程有两个相等的实数根；(2) 方程有两个相反的实数根；(3) 方程的一个根为 0.一2 2 116.已知a,3是关于 x 的一兀二次方程 x + (2m+3 x+m=0 的两个不相等的实数根，且满足 + =- 1，求 m 的a p值.7.已知 X1, X2是关于 x 的一元二次方程 x2-( 2m+3 x+nf=0 的两个不相等的实数根，且满足 一：厂，求 m 的 值._ 22&已

3、知关于 x 的一元二次方程 x +2 (2 一 m x+3 - 6m=0.(1) 求证：无论 m 取何实数，方程总有实数根；(2) 若方程的两个实数根 xi和 X2满足 xi+x2=m 求 m 的值._ 29.已知关于 x 的一元二次方程 x -( 8+k) x+8k=0(1) 求证：无论 k 取任何实数，方程总有实数根；(2)若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长.10.已知关于 x 的一元二次方程 x2- 2 (1 - m) x+nf=0 的两根为 xi, X2.(1) 求 m 的取值范围；2 2(2) 若 X1+12m+x=10,求 m 的值.1

4、1.已知：关于 x 的一元二次方程 kx2+ (2k+1) x+k- 2=0 的两个实数根是 X1和 X2.(1) 求 k 的取值范围；(2) 若 X12=11 - X22,求 k 的值.12 .已知关于 x 的一元二次方程 x2+5x - m=0 有两个实数根(1) 求 m 的取值范围；(2) 若 x=- 1 是方程的一个根，求 m 的取值及方程的另一个根.13.已知关于 x 的一元二次方程 x2-( m+2 x+m- 2=0.(1) 求证：无论 m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根.(2)若方程的两实数根之积等于ni+9m- 11,求JL；的值.314. 一元二次方程 x2+kx-(

5、k- 1) =0 的两根分别为 xi, X2.且 xi2- X22=0，求 k 值.2 _16 .关于 x 的方程 4kx+4 ( k+2) x+k=0 有两个不相等的实数根.(1) 求 k 的取值范围.(2)是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.17 .已知关于 x 的二次方程 a2x2+2ax+仁-3x 的两个实数根的积为 1，且关于 x 的二次方程 x2+2 (a+n) x - a2=4 - 6a -2n 有小于2 的正实根，求 n 的整数值.18.关于的方程 2x3+ (2- m x2-( m+2) x - 2=0 有三个实数根

6、分别为a、B、xo,其中根 xo与 m 无关.(1) 如(a+B) xo= - 3，求实数 m 的值.4a-m 4b-n(2)- 女口a vavbv B，试比较：与的大小，并说明你的理由.a2+l b2+l22_.15在正实数范围内，只存在一个数是关于2x 的方程 Ln的解，求实数x_1k 的取值范围.419.已知 X1, X2是关于 x 的一元二次方程 x + (3a- 1) x+2a - 1=0 的两个实数根，其满足(3x1- X2)(X1- 3x2)=- 80 .求实数 a的所有可能值.52 220.已知关于 x 的方程 x+ (2m- 3) x+m+6=0 的两根 xi, X2的积是两

7、根和的两倍，求 为两根的一元二次方程.21.已知关于 x 的方程 x2-( 2k- 3) x+k2+1=0.问：(1 )当 k 为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两实数根xi、X2，满足|xi|+|x2|=3，求 k 的值.22.已知，关于 x 的方程 x2- 2mx=- ni+2x 的两个实数根2 223 .设 m 为整数，且 4vmK40，方程 x - 2 (2m- 3) x+4m - 14m+8=0 有两个整数根，求 m 的值.24.已知关于 x 的方程(k - 1) x2+ (2k - 3) x+k+1=0 有两个不相等的实数根 X1, X2.(1) 求 k 的取值范围；(2)

8、是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.25 .已知关于 x 的一元二次方程 x2- mx+2n-仁 0 的两个实数根的平方和为23，求 m 的值.2 226.已知关于 x 的方程 x+2m 的值；求作以一xi、X2满足|xi|=x2，求实数 m 的值.6( m- 2) x+m+4=0 有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求 m 的值.7_ 2 2 _ .27.已知关于 x 的一元二次方程 x+ (2m- 1) x+m=O 有两个实数根 xi和 X2.(1) 求实数 m 的取值范围；(2) 当(xi+X2)? ( xi- X2)

9、=0 时，求 m 的值.28.关于 x 的方程：.y-(| 一+-有两个不相等的实数根.(1) 求 k 的取值范围；(2)已知关于 x 的方程 x2-( k+1) x+k+2=0 的两个实数根的平方和等于6，求 k 的值._ 2 2_ _ ,29 .已知 X1、X2是方程 4x-( 3m- 5) x - 6m=0 的两根，且30.已知关于 x 的方程! -亠-有两个不相等的实数根.(1) 求实数 k 的取值范围；(2)设方程的两实根为 X1和 X2(X1x2),那么是否存在实数 k，使 2 二 2 成立？若存在，请求出 k 的值；若不X1x2存在，请说明理由.231 .已知：关于 x 的方程

10、x +kx+k -仁 0(1) 求证：方程一定有两个实数根；(2) 设 X1, X2是方程的两个实数根，且(X1+X2) ( X1- X2)=0,求 k 的值._ 2 232 .设关于 x 的二次方程(a +1) x - 4ax+2=0 的两根为 X1, X2,若 2X1X2=X1- 3x2,试求 a 的值.33.已知关于 x 的一元二次方程(a- 1) x2-2x+1=0 有两个不相等的实数根 xi, X2,238 .已知：关于的方程 x - kx - 2=0.(1) 求证：无论 k 为何值时，方程有两个不相等的实数根.(友情提示：若 xi, x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (0)

11、的两根，则:8(1) 求 a 的取值范围；(2) 若 5x 计 2xiX2=2a- 5x2；求 a 的值._ 234 .已知 关于 x 的一元二次方程 x -( 2k+1) x+4k - 3=0.(1) 求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当 Rt ABC 的斜边长 a= 三，且两条直角边 b 和 c 恰好是这个方程的两个根时，求 ABC 的周长._235.一元二次方程 8x -( m- 1) x+m- 7=0,(1) m 为何实数时，方程的两个根互为相反数？(2) m 为何实数时，方程的一个根为零？(3) 是否存在实数 m,使方程的两个根互为倒数?_ 236.已

12、知一元二次方程 kx +x+1=0(1)当它有两个实数根时，求k 的取值范围；(2)问：k 为何值时，原方程的两实数根的平方和为 3?37.关于 x 的方程为 x2+ ( m+2 x+2m- 1=0.(1) 证明：方程有两个不相等的实数根.(2)是否存在实数 m,使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m 的值及两个实数根；若不存在，请说明理 由.(2)设方程的两根为 X1, X2，若 2 (X1+X2) X1X2，求 k 的取值范围.92 239 .已知：关于 x 的方程 x - 2 ( m+1) x+m- 3=0.(1) 当 m 为何值时，方程总有两个实数根？(2) 设方程的两实根分别为

13、 Xi、X2，当XI3+X22-XIX2=78时，求 m 的值.40.已知 Xi, X2是关于X的方程 X2-( 2m+3) x+nf=0 的两个实数根，且 -亠 =1 时求 m 的值.41 .已知关于 x 的方程 x2+ ( m+2 x+2m- 1=0.(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；(2) 若方程有一根为 2,求 m 的值，并求出此时方程的另一根.42 .关于 x 的一元二次方程 x2- mx+2m- 1=0 的两个实数根分别是 X1、X2,且 X12+X22=7 .求(X1- X2)2的值.43.已知方程X2+2( k-2) x+k2+4=0 有两个实数根，且这两个实数根的平方和

14、比两根的积大 两个根.44.若关于 x 的一元二次方程 4kx2+4 ( k+2) x+k=0 有两个不相等的实数根，是否存在实数之和等于 0?若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由.2246.已知 xi、X2是方程 x - 2mx+3m=0 勺两根，且满足(xi+2) (X2+2)=22 - m,求 m 的值.2345.已知关于 x 的一元二次方程 x + ( k+3) x+k=0 的一个根是 x= - 2,求 k 的值以及方程的另一根.21,求 k 的值和方程的k,使方程的两个实数根1047.已知关于 x 的一元二次方程 x2-( k+1) x+2k- 2=0.( 1)求证：无论 k

15、 为何值时,该方程总有实数根；( 2)若两个实数根平方和等于 5,求 k 的值.48 .若关于 x 的方程 x2+ ( m+1 x+m+4=0 两实数根的平方和是 2，求 m 的值.49. m 为何值时，方程 2x2+ (nf-2m- 15) x+m=0 两根互为相反数?50.已知 ABC 的两边 AB AC 的长度是关于 x 的一元二次方程 x2-( 2k+2) x+k2+2k=0 的两个根，第三边长为 问 k 为何值时， ABC 是等腰三角形？并求出这个等腰三角形的周长.51 .已知关于 x 的一元二次方程 x2- 2 ( k- 1) x+k2=0( 1 )当 k 取什么值时,原方程有实数

16、根；( 2)对 k 选取一个合适的数,使方程有两个实数根,并求出这两个实数根的平方和.2252.已知 xi, X2是关于 x 的方程 x + (2a - 1) x+a =0 的两个实数根, ( 1 )当 a 取何值时,方程两根互为倒数？(2)如果方程的两个实数根 X1、X2满足|x1|=x2，求 a 的值.53已知关于 X 的方程丄】：.二(1)若方程有两个相等的实数根，求 m 的值，并求出此时方程的根；(2) 是否存在正数 m 使方程的两个实数根的平方和等于 224.若存在，求出满足条件的 m 的值；若不存在，请说 明理由.10,1154.已知一元二次方程8X4-(2m+1) x+m- 7=

17、0,根据下列条件，分别求出m 的值:(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为 1 .55.已知关于 X 的一元二次方程(a- 1)X2-(2a- 3) x+a=0 有实数根.(1) 求 a 的取值范围；(2) 设 X1, X2是一元二次方程(a- 1)X2-(2a - 3) x+a=0 的两个根，且 x/+X22=9，求 a 的值.56.已知一元二次方程 8y -( m+1) y+m- 5=0.(1) m 为何值时，方程的一个根为零？ m 为何值时，方程的两个根互为相反数？(3) 证明：是否存在实数 m 使方程的两个根互为倒数.57.已知一元二次方程(m+1

18、X2- x+m2- 3m- 3=0 有一个根是 1，求 m 的值及方程的另一个根.59 .已知 ABC 的一边为 5，另外两边恰是方程 x2- 6x+m=0 的两个根.(1) 求实数 m 的取值范围.(2) 当 m 取最大值时，求 ABC 的面积.60.已知等腰三角形的一边长a=1，另两边 b、c 恰是方程 x2-( k+2) x+2k=0 的两根，求 ABC 的周长.4 258 .若关于X的方程(a - 3)X- 2 (a - 2)X+1=0的两个实数根互为倒数，求a 的值.=0 ,12一元二次方程之根与判别式60 题参考答案：1 解：(1)根据题意得 = (2m- 1)2-4vm 0,解得

19、 me ;4(2)根据题意得 xi+X2=-( 2m- 1), xi?X2=nf,I _ :-_- I，2/( x 计 X2) - 2xi?X2= 7,2 2( 2m- 1)- 2m=7,整理得 m - 2m- 3=0,解得 m=3, m=- 1, me _4 m=- 12.解：(1)把 x=0 代入原方程得-a+仁 0,解得 a=1;a2-4(2)设方程两个为 X1,X2，根据题意得 X1+X2=0,2解得 a= 2, 当 a=- 2 时，原方程化为2X2+3=0,此方程无实数解，a=23.解：由根与系数的关系可得：X1+X2=k+1, X1?X2=k+2,_2222又知 X1+X2= (

20、X1+X2) -2X1?X2=( k+1) - 2 (k+2) =6 解得：k= 3./ =b2- 4ac= ( k+1)2-4 ( k+2) =k2- 2k - 7 0, k= - 34 .解：(1 )比如：取 k=3，原方程化为 3x +8x - 3=0.(1 分)即：(3x - 1) (x+3) =0,解得：X1= - 3, X2=;(23分)(2)由 16+k 0,解得 k -.(316分)当 k=0 时，原方程化为 2x- 3=0;解得：x=当 k=0 时，方程有一个实数根 ( 4 分)32当 k -且 kz0 时，方程 kx +2 (k+1) x- 3=0 为16一元二次方程，2=

21、2(k+1)-4XkX( -3)=4k2+8k+4+12k2=4k +20k+4=(2k)2+2X2kX1+1+(16k+3)=(2k+1) +16k+3,-( 5 分)a+3=-(2m+3, a 3=m,1,132 ( 2k+1) 0, 16k+30, = (2k+1) +16k+3 0.( 6 分)当 k-_L 且 kz0 时，一元二次方程 kx2+2 (k+1) x16-3=0 有两个不等的实数根2 25.解:(1) =16m-8(m+1) (3m- 2) =- 8m-8m+16, 而方程有两个相等的实数根，2 =0,即-8m - 8m+16=Q求得 m=- 2, m=1;(2)因为方程

22、有两个相等的实数根，所以两根之和为 0 且 0,则-匸一 =0,2 (nH-1)求得 m=0(3 )方程有一根为 0, 3m- 2=0, m=36 .解：根据条件知：+ =-CLpa-(2时3)=-12 , U12即：m - 2m- 3=0,解得：m=3 或-1,当 m=3 时，方程为X2+9X+9=0,此方程有两个不相等的实数根，当 m=- 1 时，方程为 x2+x+仁 0,此方程无实根，不合题 意，舍去， m=3 7 .解：根据题意得 =( 2m+32- 4ni 0,解得 m-;4根据根与系数的关系得 X1+X2=2m+3,则 2m+3=m，整理得吊吊-2m 3=0,即(m 3) ( m+

23、1 =0,解得 m=3, m=- 1,则 m=38. (1)证明：方程根的判别式=2(2-m)2-4X1X(3-6m)=4(4-4m+rm)-4(3-6m)=4 (4 - 4m+m 3+6m) =4 (1+2m+$ =4 (m+12(4 分)无论 m 为何实数，4 (m+12 0 恒成立，即 0 恒 成立.(5分)无论 m 取何实数，方程总有实数根；(6 分)=0 ,14(2) 解：由根与系数关系得 Xi+X2=- 2 (2- m) (7 分) 由题知 Xi+X2=m, m= 2 ( 2- m) ( 8 分)解得 m=4.9.解：(1)v=(8+k)-4x8k=(k - 8)2,2( k -

24、8) , 0,0,无论 k 取任何实数，方程总有实数根；(2)解方程 x2-( 8+k) x+8k=0 得 xi=k，X2=8，1当腰长为 5 时，则 k=5 ,周长=5+5+8=18;2当底边为 5 时， X1=X2, k=8,周长=8+8+5=212 210 .解：() =2 (1 - m) - 4m=4 -8m方程有两根， 0,即卩 4 - 8m0,. m=1,又 m 0,解得：k- 且 k 工 0,12 k 的取值范围：k- 且 kz0.122(2)：元二次方程 kX + (2k+1) X+k - 2=0 的两个实 数根是 X1和 X2,.亠2k+l.X1+X2=-,:/ X12= 1

25、1 - X22,： X12+X22=11 ,2 ( X1+X2) - 2X1X2=11,匚-2 ()=11 , kk解得：k=-或 k=1,9/k-且 kz0,. k=11212 .解：(1)：方程X+5X- m=0 有两个实数根, =25+4m 0,(2)将 x= - 1 代入方程得：1 - 5 - m=Q 即 m= 4 , 方程为X2+5X+4=0,设另一根为 a , - 1+a= - 5 ,即 a= - 4 ,则 m 的值为-4 ,方程另一根为-413 .解：(1)由题意得： = -( m+2)2-4 ( m- 2)=ni+12 ,无论 m 取何值时，m0, ni+12 120即厶 0

26、恒成立，无论 m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程两根为 X1, X2,由韦达定理得：X1?X2=m- 2 ,由题意得：m- 2=m+9m- 11 ,解得：m= - 9 , m=1,i-F二甘了14.解：X12- X22=0 , ( X1+X2) (X1- X2)=0 , X1+X2=0 或 X1- X2=0 ,当 x 计 X2=0 ,贝UX1+X2= - k=0 ,解得 k=0 ,原方程变形为2X +1=0 ,此方程没有实数根，当 X1- X2=0 ,则厶=k2- 4 ( k - 1) =0 ,解得 k1=k2=2 , k 的值为 2., 215.解：原方程可化为 2x -

27、 3x -( k+3) =0 ,(1 )当厶=0 时，一一：,. 满足条件；呂1A2 4(2)若 x=1 是方程的根，得 2x12- 3X1 -( k+3)=0, k= - 4;此时方程的另一个根为，故原方程也只有一根-2 2(3 )当方程有异号实根时，.，. ，得2k- 3,此时原方程也只有一个正实数根；(4) 当方程有一个根为 0 时,k= - 3,另一个根为：,2此时原方程也只有一个正实根.综上所述，满足条件的 k 的取值范围是一 -:或 k=-呂4 或 k- 316.解：(1 )由厶=4 ( k+2) - 4x4k?k 0 , k - 1又/ 4kz0,X1X2=I解得：m-25I；1

28、5 k 的取值范围是 k - 1,且 kz0；(2 )不存在符合条件的实数k理由：设方程 4kx +4 (k+2) x+k=0 的两根分别为 X1、X2, 由根与系数关系有：k+2o1X1+X2= -, X1?X2=- k= - 2 ,由(1)知，k= - 2 时， 0, a=122关于 x 的二次方程 x +2 (a+n) x- a =4 - 6a- 2n 可化简为：2x +2 (1+n) x+ (1+2n) =0 X1= - 1, X2=- 1 - 2n,关于 x 的二次方程 x +2 (a+n) x- a =4- 6a- 2n 有小于 2 的正实根， 0v-1-2nv2,n 的整数值为-

29、13218.解：(1)由 2x + (2 - m x - (m+2) x- 2=0 得(x+1)2(2x - mx- 2) =0,二 xo= - 1 , ( 2 分)a、B 是方程 2x2- mx- 2=0 的根|：,/2T( a+B) xo=- 3，所以 m=6 (4 分)、5 4b_m(2)设 T= 一 -2 X1+X2=-(3a-1),X1?X2=2a-1,T(3x1-X2) (X1-3x2)=-80,即卩 3(X1+X2)-10 x1X2=-80,2 3(X1+X2)-16x1x2=-80,2 2 3(3a-1)-16(2a-1)=-80,整理得，5a2+18a - 99=0, ( 5

30、a+33) (a- 3) =0,解得 a=3 或 a=-,5当 a=3 时， =9- 6X3+5=- 4v0,故舍去，当 a=-:时，=(- )2-6X(-1)+6=()55552+6X+60,5实数 a 的值为-二520.解：(1 )原方程有两实根22耳 = (2 m- 3) - 4 ( m+6) =- 12m- 150 得亍二 -2(3 分) X1+X2=-( 2m- 3) X1X2=m+6 (4 分)又 x1X2=2 (X1+X2),2 m+6=-2(2m- 3)整理得 m+4m=0 解得 m=0 或 m=- 4( 6 分)17由知 m=- 4( 7 分)a+l ( a+1)( b+l)

31、(4 -4ab+ma+Db)分)2 2/avb, b-a0,又 a +10,b +10,(a+1)( b+l) 0 (6 分)2 2设 f(x) =2x mx- 2，所以a、B是 f(x) =2x mx- 2 与x 轴的两个交点，/a vavbv Bff (a) 0f 2a2 _ma 20，即*f (b) 02b2-rob- 2 2a +2b - 4 (8 分)24 - T 0，即4b_m 4a_mb2+la2+l19 .解：TX1, X2是关于 x 的一元二次方程 x2+ (3a - 1) x+2a2-仁 0 的两个实数根， 0,即(3a- 1)2- 4 (2a2- 1) =a2- 6a+5

32、 0所以 a 5 或 aw1.-( 3 分)11- - -,/( 11 分)K1s2xlx2D2+62218:.=4 ( m+12- 4ni 0,解得 m-;2 |Xi|=x2,/. X1=X2或 X1= - X2, 当 Xi=X2，则 =0,所以 m=-丄2当 Xi= - X2,即卩XI+X2=2( m+1 =0，解得 m= 1,而 m -,所以 m=- 1 舍去，2m 的值为-223 .解：Ta=1, b=- 2 (2m- 3), c=4m - 14m+8,2 2 2/ =b - 4ac=4 (2m- 3) - 4 (4m - 14m+8 =4 (2m+1).方程有两个整数根，=4 (2m

33、+1 是一个完全平方数， 所以 2m+1 也是一个完全平方数./ 4vm40, 9 0,可解得:且 kz1；(2)假设存在两根的值互为相反数，设为/ X1+X2=0,2k- 3: :, ,又且 kz112-k 不存在25.解：设关于 X 的一元二次方程 x2- mx+2n- 1=0 的两个实数根分别为 X1, X2,则：X1+X2=m, X1?X2=2m 1,关于 X 的一元二次方程 X2- mx+2m- 1=0 的两个实数根的平方和为 23, xj+X22=(X1+X2)2- 2x1?X2=m - 2( 2m- 1)=吊-4m+2=23, 解得：m=7, m；=- 3,当 m=7 时， =m

34、- 4 (2m- 1) =- 3 0, m=- 326 .解：设 X 的方程 X +2 ( m- 2) x+m+4=0 有两个实数 根为X1, X2,2 X1+X2=2 (2 - m) , X1X2=m+4,这两根的平方和比两根的积大21, X12+X22- X1X2=21 ,2即：(X1+X2) - 3X1X2=21,2 2 4 ( m- 2) - 3 (m+4) =21,解得：m=17 或 m=- 1,22/ =4 ( m- 2) - 4 ( m+4) 0,解得：me 0 .故 m=17 舍去， m=- 127.解：TX 的一元二次方程 X + (2m- 1) x+m=0 有两 个实数根

35、X1和 X2,2 2 = (2m- 1)- 4m=1 - 4m 0,解得：me ;4(2) /X的一元二次方程 X2+ ( 2m- 1) x+m=0 有两个实 数根 X1和 X2, X1+X2=1 - 2m, X1X2=m, ( X1+X2)?(X1- X2)=0,当 1 - 2m=0 时，1 - 2m=Q解得 m=(不合题意).2当 X1=X2时，2 2 2(X1+X2)- 4x1X2=4m - 4m+1- 4m=0,解得：m=.4故 m 的值为：42L28 .解：(1)依题意得厶=(k+2)2- 4k? 0,4解之得 k- 1,又 kz0, k 的取值范围是 k - 1,且 kz0;(2)

36、设方程的两个实数根分别为X1, X2,则 X1+X2=k+1, X1?X2=k+2,222X1, X2,19 X1+X2= (X1+X2)-2X1X2=6,即(k+1)2- 2 ( k+2) =6, 解得：k= 3,当 k=3 时， =16- 4X5 0, k= - 329 .解：Ta=4, b=5 - 3m c= - 6ml,=(5-3m)2+4X4X6mi=(5-3m)2+96mi,/ 5 - 3m=0 与 m=0 不能同时成立.20 X1+X2=0 或 X1- X2=0 ,当 X1+X2=0,则-k=0 ,解得 k=0 ,当 X1- X2=0 ,则厶=0 ,即(k-2)2=0 ,解得 k

37、=2 , k 的值为0 或 232 .解：关于 X 的二次方程（a2+1） X2- 4ax+2=0 的两根为 X1, X2, 2X1X2=X1- 3X2, 2X1X2+ (X1+X2) =2 (X1- X2),平方得 4 (X1X2) +4X1X22(X1+X2) =3 (X1+X2) - 16X1X2,- r_ 33m - 5三辺+七=一_ 3_ 3rn2，飞辺“厂-丁解得：m=1, 02=530解：（1）由.，0,4解得 k - 1,又 k 工 0, k 的取值范围是 k- 1 且 kz 0；（2）不存在符合条件的实数 k, 理由如下：:I：T解得 经检验 k=-是方程的解.将式、代入后，

38、解得a=3 , a=- 1,22当 a=3 时，原方程可化为10X-12X+2=0, =12 - 4X10X2=640,原方程成立；当 a=- 1 时，原方程可化为2X2+4X+2=0, =42- 4X2X2=0 ,原方程成立. a=3 或 a= - 1 33.解：（1）根据题意得 a - 1z0 且厶=4- 4（ a- 1） 0 ,解得 av2 且 az1 ；(2)根据题意得 X1+X2= , X1?X2= ,a-1a1 5X1+2X1X2=2a- 5x2, 5 (X1+X2) +2x1X2=2a ,+=2a ,a- 1 a-1整理得 a2- a- 6=0 ,解得 a1=3 , a2= -

39、2 , av2 且 az1, a= 234 .解：(1)关于 x 的一元二次方程 x2-( 2k+1) x+4k-3=0 , o 2 =( 2k+1)2- 4( 4k - 3) =4k2- 12k+13=4 L ：+4*0 恒成立，故无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；则厶 ABC 的周长=a+b+c=，$l+7._ _ 235.解：(I)：一 元二次方程 8x -( m- 1) x+m- 7=0 的两个根互为相反数，xi+X2=- =0，8解得 m=1；(2)：一元二次方程 8x2-( m- 1) x+m- 7=0 的一个根 为零，3m-5a +1 =( 5 - 3m2+9

40、6m o则：XiX2 0,_ _ 3rn引七_巧k+2心二2,由(1)知，当-时，0,即 0 ,方程一定有两个实数根；(2)根据题意得 X1+X2=- k , X1?X2=k - 1 , ( X1+X2) (X1- X2)=0 ,（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31因为两条直角边 b 和 c 恰好是这个方程的两个根，整理得：4k2+4k+1 - 8k+6 - 31=0 ,即 k2- k- 6=0 , 解得：k1=3 , k2= 2 （舍去），则 b+c=2k+1=7 ,又因为 a=,21.Xi?X2=_=0,3解得 m=7;2(3)设存在实数 m,使方程 8x -( m- 1) x+m

41、- 7=0 的 两个根互为倒数，则X1?X2= =1,8解得 m=15则原方程为 4x2- 7x+4=0, =49 - 4X4X4= - 15V0，所以原方程无解，这与存在 实数 m,使方程 8x -( m- 1) x+m- 7=0 有两个根相矛 盾故不存在这样的实数 m36.解：(1)：方程有两个实数根，=1 - 4k0 且心 0.故 kw且 kz0.4(2)设方程的两根分别是 X1和 X2，则:X1+X2=丄，X1X2=J12 2 2X1+X2= (X1+X2)- 2x1X2,-3,2整理得：3k +2k- 1=0,(3k - 1) (k+1) =0,k1,k2=-1.(2)存在实数 m

42、使方程的两个实数根互为相反数.由题知：X1+X2= -( m+2) =0,解得：m=- 2,将 m=- 2 代入 x + (m+2) x+2m-仁 0, 解得：x=丄 m 的值为-2,方程的根为 x=士；38 .解：(1)证明：由方程 x2- kx - 2=0 知a=1, b=- k, c= - 2 ,2 =b - 4ac2=(-k)-4X1X(-2)=k2+8 0 ,无论 k 为何值时，方程有两个不相等的实数根；(2 方程 x - kx - 2=0 .的两根为 X1, X2, X1+X2=k , X1X2=- 2 ,又：2 (X1+X2) X1X2, 2k- 2,即 k- 139. 解：(1

43、 )0 时，一元二次方程总有两个实数 根，2 2=2(m+1)-4X1X(m-3)=8m+160,m-2,所以 m- 2 时，方程总有两个实数根.2 2(2) ： X1+X2- x1X2=78 ,2 ( x 计 X2) - 3x1X2=78 ,/ X1+X2=- , X1?X2=_aa22-2(m+D -3X1X(m-3)=78,解得 m=5 或-13 (舍去)，故 m 的值是 m=540. 解：关于 x 的方程 x2-( 2m+3) x+m=0 有两个实 数根， 0 ,2 2即(2m+3)- 4m 0 ,解得：m-,/ kw且 k 工 0,4 k(舍去).故 k= - 12 237. (1)

44、证明： =(m+2) - 4 (2m- 1) =m - 4m+8=( m 、2-2)+4,( m- 2)20,2 ( m- 2) +4 0,方程有两个不相等的实数根.巧巳2 2m+3=m,2 m - 2 m- 3=0 , m=3 , m= - 1 (舍去).故可得 m=341.(1)证明：= ( m+22- 4X1X(2m- 1)2=(m- 2) +4 0 ,方程有两个不相等的实数根.(2)解：把 x=2 代入方程，得 22+2 ( m+2 +2m- 1=0解得 m=-4设方程的另一根为 X1,则 2X1=2X(-)- 1，解得 X1=- 4442. 解：Tx 计 X2=m, xiX2=2m-

45、 1,2 2 2 2/ X1+X2= (X1+X2) -2X1X2=m - 2 (2m- 1) =7;解可得 m=- 1 或 5;当 m=5 时，原方程即为 X2- 5x+9=0 的厶=-11v0 无实 根，当 m=- 1 时，原方程即为 x2+x - 3=0 的厶=1+12=13 0, 有两22根，2 2则有(X1- X2) = (X1+X2) 4X1X2=13. 答：(X1- X2)2的值为132 243. 解：方程 x +2 (k- 2) x+k +4=0 有两个实数根，2 2=4 ( k - 2) - 4 ( k +4) 0, kw 0,设方程的两根分别为 X1、X2, X1+X2=-

46、2 (k- 2)，X1?X2=k2+4，这两个实数根的平方和比两根的积大21 ,即 X12+X22=X1?X2+21,即(X1+X2)-3X1?X2=21,22把、代入得，4( k - 2) - 3 (k +4) =21, k=17 (舍去)或 k=- 1, k= - 1,原方程可化为 x2- 6x+5=0,解得 X1=1, X2=544. 解：不存在实数 k，使方程的两个实数根之和等于 0.理由如下：设方程两个为 X1, X2，贝yX1+X2= - -一 4k一元二次方程 4kx2+4 (k+2) x+k=0 有两个不相等的实数根， 4k 工 0 且厶=16 ( k+2)2- 4X4kXk

47、0, k 的取值范围为 k- 1 且 kz0,当 X1+X2=0,4 (k+2)-=0,4k k= - 2,而 k- 1 且 k 工 0,不存在实数 k，使方程的两个实数根之和等于045.解：把 x= - 2 代入原方程得 4 - 2 ( k+3) +k=0,解 得 k=- 2,所以原方程为 x2+x - 2=0, 设方程另一个根为 t, 则 t+ (- 2) =-1,解得 t=1 , 即 k 的值为-2，方程的另一根为 146 .解：TX1、X2是方程 x2- 2mx+3m=0 的两根， X1+X2=2m, X1X2=3m.2又(X1+2) (X2+2) =22- m,2 X1X2+2 (x

48、 计 X2)+4=22 - m,23m+4m+4=2 m,2m+7m- 18=0,(m- 2) ( m+9)=0,m=2 或-9.当 m=2 时，原方程为 x2- 4x+6=0，此时方程无实数根，应舍去，取 m=- 947.(1)证明： = ( k+1)2- 4 (2k- 2)2=k - 6k+92=(k-3),2( k - 3) 0，即 0,无论 k 为何值时，该方程总有实数根；(2)解：设方程两根为 X1, X2,则 X1+X2=k+1, X1?X2=2k- 2,2 2/ X1+X2=5,2 ( X1+X2) -2X1?X2=5,2 ( k+1)- 2 ( 2k- 2) =5, k1=0,

49、 k2=248.解：设方程的两根为 X1, X2, X1+X2=-( m+1), X1?X2=m+4,而 X12+X22=2,2 ( x 计 X2)-2X1?X2=2, ( m+12- 2 ( m+4 =2,解得 m=3, m=- 3,当 m=3 时，方程变形为X2+4X+7=0/=16-4X7v0,此方程无实数根；当 m=- 3 时，方程变形为 x2- 2x+仁 0/ =4-4X1=0,此方程有实数根， m=- 349.解：若两根互为相反数，则厶 0, X1+X2=0,于是(m - 2m- 15) - 4X2m 0,又TX1+X2=0,in2- 2m- 15门-=0，2即 m- 2m- 15

50、=0,解得，m=3 或 m=5.当 m=3 时，(3 - 2X3 - 15) - 4X2X3=1200,符合题意；当 m=5 时，(52- 2X5- 15)2- 4X2X5=- 40V0,不符合题意.故答案为：350.解：/ ABC 的两边 AB AC 的长度是关于 x 的一元二次方程 x2-( 2k+2) x+k2+2k=0 的两个根，则 AB+AC=2k+2 ACX AB=k+2k,分为三种情况：1若 AB=AC 寸，贝 U 2AB=2k+2, AB=k2+2k,AB=k+1,代入得：(k+1)2=k2+2k,此方程无解，即 AB AC;2若 AB=BC=10 贝 U 10+AC=2k+2

51、, 10AC=K+2k,即 AC=2k+2- 10,23代入得：10 (2k+2 - 10) =k2+2k,解得：ki=10, k2=8, AC=12 或 8,3若 AC=BC=10 时，与同法求出 k=10 或 8,当 AC=12 AB=10, BC=10 时， ABC 的周长=12+10+10=32,当 AC=8 AB=10, BC=10 时， ABC 的周长=10+10+8=28,.当 k=10 或 k=8 时， ABC 为等腰三角形， ABC 的周长为 32 或 2851. 解：(=4 ( k- 1)- 4k =4 ( k - 2k+1)- 4k =-8k+40,故当 kw二时，原方程有实数根；2(2)选 k=0,则原方程化为：x2+2x=0, 设两实数根为：X1, X2,由根与系数的关系：X1+X2=- 2, X1X2=0, X1+X2= (X1+X2) - 2x1X2,=4 - 0=452解：(1)方程两根互为倒数，根据根与系数的关系X1?X2= 1 ,即 a2=1,a= 1,当 a 为 1 或-1