重积分(教师用)

1、个人收集整理_仅供参考学习请九章重积分一74页第一节重积分的概念与性质 74页(中值定理)设、重积分的概念与性质f(x,y)在闭区域D上连续，二为D的面积，那么在D上至少存在一点(,),使 I I f x,y d；二 f ',匸D补例确定积分11 arcs in x y d；的符号，其中DD:OEx 乞1，0 乞y El_x.解：由于 0 y <1，二 0 乞arcsin x - y ；因此 11 arcs in x y dD习题8-2二重积分概念与性质64页2根据二重积分的性质，比拟以下积分的大小：(1) ln x yd二与 lnx yfd 二,D 是顶点分别为(1,0), (

2、1,1), (2,0)的三DD角形区域 解:在 D 上,1 _ x y _ 2, 0 込 In(x 亠 y)込1,故. ln(x y) I I ln(x - y)2DD(2) i iln x - y d；与 | | x y fd二,其中 D 是矩形区域：3 _x _5,0 _y _1.DD解:在 D 上,3 _ x y _ 6, In(x y) 1,故！ ln (x y)d；： l n(x - y)2dc5 求 lim 211 f x,y dxdy，其中r x2 -y.2DD解：t f(x,y)连续，由中值定理，在D内至少存在一点(),使f x,y dd=f ,r：-2D解：D : x2 _4

3、x 0令y2 _2y| 兰2x2 _2xy2 _2x * 兰 2 卜2y2利用二重积分定义证明:(1) i|d；(其中；为D的面积)D证：令 f (x,y) =1，那么3: I勺|!2+9甲，其中D是园形闭域：x22兰4解:令，在D上，m =f (0,0) =9, * f (x,y) =x2|_y2|_3y2 ±9 兰3y电 13,M =f (0,2) =25,；-4二，故 36-： I 100二.4设I1(x2 y2)3dxdy,其中Di是 矩形闭 区域：-1乞x乞1,-2乞y乞2，I2 =D2D1(x2 y2)3dxdy，其中D2矩形闭区域：0x1,0y2 ；试用二重积分的几何意

4、义说明1与I 2的关系。:由对称性知：曲顶柱体的体积 11是曲顶柱体的体积I2的4倍，所以第三节二重积分的计算64页利用直角坐标计算二重积分下用几何观点来讨论二重积分f x,y dxdy的计算，假设D为X型区域，即D可表为：i(x) _y _ 2(x)， a _x _b (特点：过D且平行于y轴的直线与D边界相交不多于两点)，文档收集自网络，仅用于个人学习有:b $(x) f(x,y)=a»D1f (x,y)dydx上式右端的积分叫做先对y,后对x的二次积分，即先把 x看作常数，把f(x,y)只看作y,的函数，并对y,从1(x)到l(x)定积，然后把算得的结果(是b 申2(x)、x的

5、函数)再对x计算在区间a,b上的积分，也记为：.dx.：()f (x,y)dy文 档收集自网络，仅用于个人学习因此有：.P 恐(x)b 恐(x )! f(x,y)d .：f (x,y)dydxdx .：f(x,y)dya 半(X)a屮 1(x)D11类似地，假设 D 为 Y型：r(y) _y _ 2(y),c_y _d2 x2 y2 xi ixyd； xydydx = x 1 dx = D21= 18法2 :先x，后y,那么：恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤在重积分的计算中也可利用对称性，下面举例说明补例计算I二yd匚，其中D :D2 2x2 y2 -2Rx E0解：法一极坐

6、标得D :<0 <2I 20 _ r _2Rcos)y奇，故将二重积分化法二 直角坐标：区域 D关于x轴对称，被积函数关于df x,y dx那么！ ！ f x, y dxdy = dyD假设D既是X型区域又是Y型区域，那么两种积分顺序都能计算二重积 分由此得到二次积分交换积分顺序的公式：文档收集自网络，仅用于个人学习(4)特别，假设 f x,y = fi x f2 y ，D为矩形区域：a乞x乞b, c乞y乞d,贝U补充例计算 xyd二，其中D由直线Dy =1,x =2，及y =x所围闭区域。法1:画D，先y，后x，那么:为二次积分且先对 y积分时，将是奇函数在对称区间上的积分，/

7、I =0文档收集自网络，仅用于个人学习一般地，设区域D对称于x轴，其在x轴上方的局部为D1，假设被积函数f x, y关于变量y为奇函数，即f x, -y - -f x,y，那么.1.1 f x, y d；- 0 ;假设被D函数f x,y关于变量y为偶函数，即f x,-y二f x, y，那么文档收集自网络，仅用于个 人学习iif x,y d；：- =2h f x, y d二.DD1同理，设区域D对称于y轴，其在y轴右方的局部为 Di，假设f x,y关于变量x奇，即 f (x,y Af (x, y )，那么 JJ f(x, yd=0 : 假设 f (x, y )关于变量 xD为偶，即 f _x,y

8、 = f x,y，贝V f x, y d c2文档收集自网络，仅用于个人学习补例：以下等式是否成立，并说明理由其中D: x2 y2乞1 ；2 2Di : x - y 乞 1,x _0, y _0, I ixln x y d；:=0D解：成立因为积分区域 D对称于y轴，被积函数对 x是奇函数，故积分 值为0. ！! 1 _x2 _y2 d;- 4 I I J _x2 -yd 二DD1解：成立.因D对称于x和y轴，被积函数对x和y都是偶，故可用D1上的 四倍表示. xydxdy =4xydxdyDD1解：不成立.D虽然对称于x和y轴，但被积函数对 x和y均为奇，所以,原式=0.补例：计算 I ：

9、m xzdv!为 z=h , h .0，Qz =x2 y2所围区域.解：】关于xoz平面和yoz平面对称，被积函数关于x奇函数，关于y是奇函数，贝U I ： h i xdv亠h i ydv亠h i zdvQ Q Q 补例 计算I二X y d匚，其中D是抛物线Dy =x2 , y =4x2及直线y =1所围成的区域.，其中D是:解：D对称于y轴，被积函数关于x和y 奇，因此，先x后y积分时有：习题8-3利用直角坐标计算二重积分73页1.化二重积分I二f x, y de为二次积分D分别列出对两个变量先后次序不同的二次积分2 2 2由x轴及x y二r y _0所围；o oo or 宅 r _xr r

10、 _y解：网 =厅0©ydypdyJ Mxy dxD-(3) 由直线y =x及抛物线y (2)计算I = ey亠cos(1 xfldxdy,其中D是由x=°, y=x,y=1所围成的区域。 =4x所围闭区域;y4y2 f x，ydx= 0dx2 xf x,y dxx2画出积分区域，并计算二重积分: ex y，其中 D是由Dx - y _1所确定的闭区域解:D1=( x, y) -x-1乞y込x4一1空x 乞0,D2=(x,y) |x-1乞y 辽1 -x, 0 辽x 乞011 lx2 ：-y2 x dx， D是由y=2， y=x及y =2x所围成的闭区域D2y2322 ,解:

11、22x2x、y.,24 3 3 2、丄13原式= dy (x y x)dx(y x) y dy = ( yy )dy -032 y- 19860 y202补充.xy2d；,其中D是由圆周x2今2=4及y所围成的右半闭区域。D解:2 2,.xy d一/Dy2dy "J0122264n(4-y)dy=65-sin13 ( 1) 计算I = sinx dxdy ， D是由直线y =x及抛物线y =x2所围区域;x xD解：因 沁dX不能用有限形式表示出其结果,x故先y后x积分.1 sin x x 14.变 以下 二 次的 积分秩序0dx (2dy = (1 -x Sinxdx = 11 .

12、 1 _y2f(X, y)dx ；-y22x21严2f x，ydy°dy 2补充1:补充2:补充3:ln x1 edx0f “dy-.ody.eyf x,ydx1 y ody.o1 1f (x,y dx= RdxJ f(x,y)dyo x2 2y4x0 dy y2 f X,y dx = 0dx r f x,y dy25平面薄片所占区域D由x y =2 , y =x和x轴所围，密度： :ix, y =x2 y2 ,求质量.12 _y1解:M =(x2 y2)d；-二 dy (x2 - y2)dx 二(_8 y3 4y24y -)d-333D0 y07 证明：°dy o em(

13、a " f (x)dx = o(ax)em(a "f (x)dx.证明：0 _x _yx _y _aD:(0<y<a-(0<x<a，所以:补例计算以下二次积分：3dxey2dy ；2解：因ey dy不易积分，改变积分次序爲臭2作出D的草图原式ey dyy 1dx =° yey dy 冷 e412(2)因ey dy不易积分,改变积分次序由烂：；2：作出D的草图，原式_y2y1.：y21)e dy 丄dx 石 ° dy =壬补例 计算I =d -,其中D为y =2x , y =x , x = 2 , x =4所围成的平面xD区域解：作

14、D的草图法一直角坐标系，先y后x积分把D投影在x轴上，那么4 1 2x2 - dxx ydy .dx3 4亠=9先x后y积分，把D投影在y轴上，那么：Di:4 <<8D2：4 y 184 148I ydy j -dx 亠 i ydy y dx y ln y -ln 2 dy 亠 i y 3ln2 -In y dy -22 x 4' x 242=8ln2 _3 亠12-8ln2 =9练习册1改变积分次序:解：如图(2) IDxdy, D ： x -1,0xcos(x y) dxdyjdx °xcos(x y)dy = ,sin(x y) 0dx解：记： 0乞yx2,

15、|x 1； D2 : x2题图3.化二重积分1 -为二次积分分别列出D对两个变量先后次序不冋的二次积分，其中D是：1由 y =x , x =2 及 y =-(x >0)所围；x4:计算由四个平面x =0, y =0,x =1, y =1所围成的柱体被1题图极坐标与直角坐标的关系为：D :, ri 日崔r兰2日，a兰日兰P;x =r cosO=r si nO，面积元素d；- rdrd v那么 f x,yd珂；Df (rcosr sin ) rdr在极坐标系下将二重积分化为二次积分，主要以极点O的位置来划分.一般情况下积分顺序为先 r后r.个人收集整s _仅供参考学习补例：计算 I = JJ

16、 x2+y2 _4 dcr , D：x2+y2 兰9 D解：作D的草图x2亠y2 =9，令x2亠y2 _4=0 ,园把D分为两局部D1: ： x2 y2乞4 D2： 4 x2 y2乞9I =4 x2 y2 d；x2 y2 _4 d二(极坐标)DD 2补充： 求由曲面z =x2亠2y2及z=62x2y2所围成的立体的体积解：投影区域 Dxy ：0乞x2 - y2乞2, D : 0乞r乞.2, 0：宀：2二z2 二 2 2 2 二 2 V =3 d'：(2 r )rdr =3 (r 0 -0-06d2f OX1744习题8-4利用极坐标计算二重积分79页1画出积分区域，将积分I = f x

17、,yd；二化为极坐标下的2 2 2 次积分,X其中y 是>y补充：D二(x,y) x2 y2 岂2x)解：D :0-r _2cos v,，故：I =2 22a cos日df(rcosv,rs in v)rdr2补充:=( x, y) a2 _x2 y2 _b2,其中 0 :：: a :b;)“"2 兀b解：I = f x,y ddf(rcosv,rsin v)rdrD2a 唁 2ax2 222计算以下积分(1) 0 dx 0x2 y2 dy ；JI2 2acos 4解：原式二 drr3dr = 2 I；acos£0400 0i.iarctg -d，D 是由圆周 x2

18、- y2 =4，x2 - y2 =1 及直线 y =0, y = x所围成 xD的在第一象限内的闭区域42解：原式=d r ：rdr3640 14.求由平面y=0,y=Kx(k 0),0以及球心在原点、半径为 R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体体积补充:a a2 _y2-*(x2n cy2 dx ;解：原式=。彳d v oa r2rdrad2y2Xe D(其中 D : x2 y2 乞 4 )2兀2 r 21解：I 心 0 rer dr ：r2亠1°d v -二(e4 一1).补充:2与卄，其中D是由直线x =2, y = x及及曲线xy =1所围成的闭区域 y解：原式=2 x x

19、237dx 1 2 d = (x3 _x)dxy.4x1补充：求xoy面上的圆周x2 y2 =ax(a .0)围成的闭区域为底，而以曲面2 2z=x2 - y2为顶的曲顶柱体的体积.解 投影到 xoy 面得x2 y2 二 ax(a . 0)内 部0 _r _a cos t1故 V =(x2 y2)dxdyD练习册5把积分fflf (x, y)d x d表为极坐标形式的二次积分，其中DD是：0兰y兰x2,0兰x <1.y =x2化为极坐标 ：rsin v - r2 cos2 t1, : r =tan vsecv.x =1化为极坐标:rcos j -1, : r =secn皿 f(x,y)d

20、Ddrs26 (1) msin#x岡y dxdy, D 是:2i JD2 2 2y _4二.-0_(sinr)rdr = ( _r cosr+sin 竹岸屈-二 _6二2(2)，其中D是由直线x=2, y二x及曲线xy =1所围成的闭区域厶入x解：原式2xx22 21ly = jx2(T2；dx = j(x3x)dx =9.x 14DD :sin v,32(R2 -r2)2|Rsid.=3R3)d vR3 二=2r3332 (1 -cos2 v)d cos-71r2 _x2 y2dxdy,D 由圆周 x2 yRx 所围.7求心形线r =2(1 ("co輕|与圆r =2所围图形的(在园

21、外局部)的面积。&由螺线r =越与直线El=围成一平面薄片D，密度"x, y =x2y2，求质第五节三重积分 80 页直角坐标下 假设'J :zi x, y空z乞Z2 x, y , yi x岂y空y2 x , a空x空b小Z2 fx, y 贝V f x, y,z dv 11 dxdyf x, y,z dzzi x,yQDxy' jby2 xz2 x,ydx dyf x, y, z dz其中Dxy为门在xoy平面上的投影.ayi xzi x,y补充例：计算三重积分：i .i .ixdxdydz,l】为三个坐标面及平面x2yz=1所围Q闭区域。1 _ x解：将门投

22、影到xoy面上，得投影区域Dxy =( x, y) 0乞y空二一,0空x乞1,该直线过z =0穿入I】内,在Dxy内任取一点(x, y),过此点作平行于z轴的直线,然后过平面z =1-X _2y穿出I】外，于是:in xdxdydzQ1= “dx,20o1 _x1 _x _2 y1dyxdz 二-0 - 01_xI(1 X2y) dy1_2y -zxdx)1 1 2 3 1G(x-2x x)dx2 ；(或先 X，二，0dz02 dy 0有时，我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分，再计算个定积分，假设1 =( x, y, z) (x,y) Dz,c _z _d,即 I 】介于平面 z

23、 = c 与 z = d 之间，过 z轴上区间C,d 1内任一点z作垂直于z轴的平面截门得平面区域Dz (图4-8 )d贝Vf x, y, z dxdydz dz f x, y, z dxdy-c -QDzDz通常与z有关.此法也称为“先二后一法或“截面法。习题8-5 利用直角坐标计算三重积分86页 1.化三重积分I = JJJ f (x,y,z dxdydz为三次积分，其中 。分别是(1)由z=x2+y2与z=1所围成的闭区域。1Ji _x21解：原式=.dx jxzdy x2 y2 f x,y,zdz(3)化I ： m f x, y, z dxdydz为三次积分，门为由曲面Qz =x2 -

24、 y2,y =x2,y =1及z =0 所围。解军：；-1：0 乞zx 亠y ,x 乞y 乞1,-1 乞x：S1 ,11x2 护故：1异x/y.of(x,y,z)dz3 计算 i n zdxdydz，由Qh .一x2 y2 与 z=h(R 0,h 0)所围. R(放到习题86为妥)RV' R2 _x2原式=dx dy* _R22R,x2 -y2hzdz -RR2上dx止 t：R 2 n21-(h22h2 2R2xH y2dyR223R 2 h3 zrdr(h2r r3)2dr =*0Rx2 2y22 -x2f x, y, z dz计算dxdydz，其中I】为由，x = 0, y = 0

25、, z =0及x y z =1所围成2兀R h法2 :(柱坐标)原式二 dr dr h 0*0_rR=-R2h法 3:过 z - (0, h)作 xoy 面的截面：Dz ： x2 y2 乞(R z)2老练习册19页习题8-5利用直角坐标计算三重积分86页1.化三重积分I钏f卜y, zRxdydz为三次积分，其中團分别是:由z =X2 +2y2与z =2 x2所围闭区域。3球心在原点，半径为 R的球，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量。应放到下一节：柱坐标或球坐标计算關x, y, z =k JxyJz2 =kr24.计算恤xzdxdydz，其中曆为由z=0,z =

26、 y,y=1及抛物柱面y =x所围成的 d闭区域。11 y1 y3xzdxdydz xdx x2 dy o zdz= / x ；1 161 2 dxxdx=°x266法2:被积函数关于x奇，所以：i11 xzdxdydz = 0'.O.第六节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分87页一柱坐标x =r cos 日，柱坐标：y =rsinB,体积元素 dv=rdrd6dz ,贝V 111 f x, y, z dv = F r, v,z rdrd :dz ,其中 F r, v, z = f rcosv,rsin v, z。在柱QQ面坐标系下通常采用的积分顺序为先z后r再h.当门是园柱

27、体，柱的一局部，或锥体，或由旋转抛物面，锥面等所围成的；被积函数的形式为f x2 y2,z或f d,z时，用柱坐标计算三重积分简便文档收集自网络，仅用于个人学习补充例：计算1=zdv/ 1为z=4,z=x2，y2所围区域.3利用球面坐标下计算三重积分x =r s i 蚯 oTs球坐标：y=rsi%i6h， 体积元素z = r c o:s2hi f x,y,z dv 二 F r, ：r sin drd -dQQ其中 F r, ,v - f rsin cosjrsin sinv,rcosdv = r2 sin drd d n当门是球体或球体的一局部；被积函数的形式为f x2 y2 z2时，通常采用

28、球面坐标计算三重积分补例.计算 I = zdv ,其中 I : x2 y2 z2 _1, z 亠0.解：法一直角坐标系，先z后y再x积分，那么121 2邛"y3曲213 dx =4 1 -x2 2dx 令 x=sint3 _3 0方法二先二后一法；平行于yoz面的平面截】，Dz : x2 - y2 _1z2,0 _z _1，所以:法三：柱坐标由x = r cosy = r si nd 得】： lz = z0岂二岂2二<r <10 兰 z 兰¥1 -r2法四球坐标x =r cossin ®y =r sin日sin申得。 Z =r cos®0 乞

29、 V <27：0<20乞r岂1补例计算I1x2 y2 z2 乞2z解：f x2 y2 z2型，区域是球体，球坐标由x = r cossin y =r sinsin ® 得。： z- r cos ：。兰日<2n0 <cp<2120 兰r 兰2cos®例 将I ： hi f x, y,z dv化为柱面坐标的三次积分，I】由z2=x2y2 , z =1及Qz=4所围成的区域.解：I】是由两个平面和锥面所围成的区域.由x=rcosv， y=rsinv， z=zb兰日兰2兀0兰8兰2兀2 2 2得z=x+y为z=rz：>0，分0为两局部：01：竹兰

30、r兰1;02：1兰兰41兰z兰4J兰z兰4其中 Fr,n,z =frcosv,rsi nv,z在三重积分的计算中也可利用对称性。一般地，设积分区域 门关于xoy平面对称，其在xoy平面上方的局部为11,假设被积函数f x, y,z关于变量z为 奇函数，即 f x,y,_z 二 _f x,y,z，那么 111 f x,y,z dv =0 ; 假设被积函数 f x, y,zQ关于变量z为偶函数，即f x,y,-zi=f x, y,z，那么文档收集自网络，仅用于个人学习ill f x, y, z dv =2 in f x,y,z dv . 同理可得积分区域Q.关于yoz平面、xoz QQ平面对称的结

31、论.补例：以下等式是否成立，并说明理由.其中I】:x2 y2 zR2 ；1 : x2y2z2 _R2， z _0 ;IS : x2 y2z2_ R2 , z _ 0, x _0, y _0 111 xdv=0， ii I zdv = 0QQ解：两个等式均成立.因门对三个坐标面均对称，被积函数第一个是关于x的奇函数，第二个是关于z的奇函数，因此积分值为 0.文档收集自网络，仅用于个人学习 xdv =4 JJJ xdv，JjJ zdv=4 JJJ zdv12 T J个人收集整s _仅供参考学习解：在第一个等式中，1对称于yoz平面，而被积函数 x在上是关于x的奇函数，故 xdv=0.而IS是汕的第

32、一卦限局部，其上自变量全部取正值,故有mxdv 0，所以虽然"是2的四倍，但等式不成立第二个等式中，被 1积函数是关于x、y的偶函数，而积分区域又对称于xoz平面和yoz平面，故等式成立文档收集自网络，仅用于个人学习 f xydv = ff yzdv = jj zxdv =011 '.1解：等式成立因为1对称于xoz平面和yoz平面，而被积函数或是关于x的奇函数xz，或是关于y的奇函数yz，或是关于x、y均为奇函数xy，故积分值均为0.文档收集自网络，仅用于个人学习计算三重积分95页再看一下习题8-5的第3题：计算ill zdxdydz，Qz=h(R 0,h0)所围R R2

33、_x2RR2 2h原式=dx dy zdz = dx企4R1 2 -(h2 一 2Jh2 2R2xh2 y2dyR2R 2 h2 3zrdr(h2rr3)2dr =*0R，一2兀R h法2 :柱坐标原式d dr h、0*0一rR鼎 2 2-R2h2法 3:过 z- (0, h)作 /xoy 面的截面：Dz : x2- ( z)2补充：利用柱面坐标计算以下三重积分(1) ii|Zdv，门由不等式Z=.2_x(2 + -y2及Z=x2y2所围闭区域。Q解：丿z2z =x2 2 2 2解：柱坐标:=X2 y2dv，Q为曲面x2 y2=2z与平面z=2围成的区域.2r22rdr r2 dz =2*.2

34、r32 r2 、2丿16dr =n3_x2 _y 匕 x2 +y2 =1, x =rcosdy =rsin<3,z =z贝V： -y ,2005r2r3(5 - 5 r)dr =8二.21利用球面坐标或柱面坐标计算以下三重积分(3)计算iiJx2 y2 dv ,门是由4z2 =25 x2 y2及平面z = 5所围区域.Q5Q =d(r,az)|r 兰z 兰5,0 兰r 兰2,0 兰日 <2n补充 1 ：111 (x2y2)dv , ;-1: 0 ： _ - x2 y2z2 _A,z _ 0.Qji2 二 5 A球坐标：原式 = d h d? i r2sin2 r2 sin dr =

35、2:0补充2 :计算解：球坐标:2-0=x2 y2 - z2 dv，其中 I (1 cos2)(-d cos)x2 y2z2 乞 1r2 r2 sin dr 二 2二！-cos0 -A5 a554 =jl5补充：ill xydv,其中闭区域 门为柱面Q所围成的在第一卦限内的闭区域。2 2:x y 1,及平面 z =1, z = 0, x = 0, y =022 z2 12彳于 1 dv，其中门是由球面X2 y2 z2 =1所围成的闭区域解：法用球坐标，原式2,： 1dsincos d：；-100 032r ln( r T)2r 1dr =0.法二：由于被积函数关于 z是奇函数，门关于xoy面对

36、称，故原式=0.3.利用三重积分计算以下由曲面所围成立体的体积2 2 2 2 2 2(1) X y - z =2aza 0 及 x - y 二z (含有 z 轴的部份)；解：在球坐标下,二(rj, )0 _r_2acos ：,02 -42 a cos故 V = dv = dv sin d： jr2dr =a3补充：z =6 -x2 -y2,及z = x2 亠y2 :解：柱坐2 2z =6 xy一 2 2=x y 4.2-26_r2v。 dn2rdz =2 二3r232=Ji3补充：求半径为a的球面与半顶角为:-的内接锥面所围成立体的体积。解：设球面通过原点 O，球心在z轴上，又锥面的顶点在原点

37、 O。那么球面r = 2a cos，锥面=<曲-x2：2-x2-y2'y dx.Z dy. x2 y2 ：0 _r _2acos :,0 _ - :-,0乞2二，所以：补充：球心在原点，半径为 R的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量。练习册习题8-6 利用极坐标和球计算三重积分1填空：设展由球面z=*；2-x2-y2与锥面z =JxFy2 围成，那么三重积分直角坐标系下:f(,. x2y2 z2)dzf C. x2 y2 z2 )d xd y c在E三种坐标系下分别可化为三次积分如下:0 -0'2f(r)r2sin -dr球面坐标系下

38、：I =用樹4 d解:(3)y2 z2dv ,为： x2 亠 y2 亠z2二；2 -x -yx2 y2 =1, x = rcos n,y 二rsin 二z = z 贝V：z=x2 y2,V 2解：被积函数是nlB-yz2型积分区域是球体，球坐标,x =r costs in 由 y =r sin vs in得z =r cosu ii i zdv/ 1 由不等式：x2 y2 (za)2 _a2,x2 y2 _z2所确定。:球坐标下,) 0 _r _2acos20 _ 蔦,0_2二2：42acos Czdv = d: cos's in d" ir3dr00 0x2 y2.3.利用三

39、重积分计算以下由曲面所围成立体的体积x2yD22 2 z = x y 及 Z 二x y1rV=Urdr鼬z#0 0r2(2)由曲面:柱坐标,2 2z=、：fx yz = x y222X-x-y2 (A .a .0),z0所围匀质物体的重心。解:由对称性显见：x=0, y =0.M =dv|(A3 a3)(大半球体积减小半球体积)。总习题八96页一、填空题 2、选择以下各题中给出的四个结论中正确的结论：2(1)设空间区域 J : x2 y2 z2 _R2,z _0.，门2 : x2 y2 z2 _ R2，x _0,y _0,z _0.，那么( C)(A) hi xdv = 4 111 xdv ；(B) III ydv =4 III ydv ；a q(C) i n zdv = 4 i l l zdv ；(D) -(2)设平面闭区域