2016高考数学3.6简单的三角恒等变换练习

1、-1-课时提升作业（二一）简单的三角恒等变换舊血组基础达标练盏i nk II ! in ! M- - I-* J d 4 亠亠.4 亠 4 4 4 d 亠a亠亠、选择题（每小题 5 分,共 35 分）j. 4【解【解析】选 A.角2是4的 2 倍,41 - cos 1 -.2：25sin2- 51 -cos：A.sin2aB.tan2aC.sin22D.tan22【解题提示】用二倍角公式化简2si n2JI因为(0,2n),所以4(0,），所以.1010asin4=2化简：1 COS :=( )2a1 +(2cos2-1)【解【解析】选 D.原式=22a2cos2=ta n2故选 D.（25

2、分钟 50 分）1.(2015 长治模拟)已知 COS25,a (0,2n)，则 sin4=( )101().3帀匕1（）10所以丄10-2-3.(2015 长沙模拟)函数 f(x)=sinx-cos(x+6)的值域为()-3-4.（2015 哈尔滨模拟）设函数 f(x)=sin(2x+4)+cos(2x+4),则(【解析】选 D.因为 f(x)=sin(2x+4)+cos(2x+4)2sin(2x+4+4)=2cos2x,所以 f（x）在（0,2）内单调递减，且图象关于 x=2对称.3 :【加固训练】(2014 郑州模拟)已知函数 f(x)=sin(4-x)- 3cos(x+4),x R,则

3、 f(x)()A.周期为n，且图象关于点（12,0）对称A.-2,2B.-3C.-1,13D.C.31【解析】选 B.f(x)=sin x-2cos x+2sin x長1=3(2sin x-2cos x)= -3sin(x-6).nx R,所以 x-6 R,所以 f(x) 卜73,73，故选 B.JiA.y=f(x)在(0,2）内单调递增，其图象关于直线x=4对称B.y=f(x)在(0,2）内单调递增，其图象关于直线x=2对称C.y=f(x)在(0,2）内单调递减，其图象关于直线x=4对称JTJTD.y=f(x)在(0,2）内单调递减，其图象关于直线x=2对称-4-B. 最大值为 2,且图象关

4、于点(12,0)对称兀C. 周期为 2n，且图象关于点(-12,0)对称5二D. 最大值为 2,且图象关于 x=12对称3二二【解析】选 B.f(x)=sin(4-x)-、3cos(x+4)=sin=2n因为 x R,所以 x-12 R,兀所以-1 sin(x-12) 1,则 f(x)的最大值为 2.2二因为3=1,所以周期 T=1=2n.当 x-12=kn(k Z)时,f(x)图象关于某一点对称，7131所以当 k=0 时，求出 x=12,即 f(x)图象关于(12,0)中心对称，故选 B.x:卄运 7f(-),f(-),f(-)5.(2015 临沂模拟)已知函数 f(x)=sinx+2 3

5、cos22,设763,则 a,b,c 的大小关系是=2品(才+亍)于.=2sin12-5-( )A.abcB.cabC.bacD.bca【解题提示】先化简函数f(x)的解析式，再利用其单调性比较大小.-6-【误区警示】解答本题易误选A,出现错误的原因是不化简函数解析式小.兀6.(2015 郑州模拟)设函数 f(x)= 3cos(2x+ $ )+sin(2x+ $ )(g|2)，且其图象关于直线x=0 对称,则(兀B. y=f(x)的最小正周期为n，且在(0,2)上为减函数TtKC. y=f(x)的最小正周期为2，且在(0,4)上为增函数D. y=f(x)的最小正周期为2，且在(0,4)上为减函

6、数【解析】选 B.f(x)=-3cos(2x+ $ )+sin(2x+ $ )=22cos(2x+ $ )+2sin(2x+ $ )兀=2cos(2x+ $ -6),2二因为3=2,所以 T=2=n,又函数图象关于直线x=0 对称，JIjr所以 $ -6=kn(k Z),即$ =kn+6(k Z),31JI又 |$ |2,所以 $ =6,sin x 2【解析】选 B.f(x)=cos x2=sin x、3cos x 3 = 2sin(x)：J3,3兀因为函数 f(x)在0,6上单调递增，所以JlHJI叮八兀)而C=f(3)=2sin3+、3=2sin3+3=f(0)f(7)，所以 cab.,直

7、接由自变量的大小判断a,b,c 的大A.y=f(x)的最小正周期为n,且在(0,2)上为增函数-7-所以 f(x)=2cos 2x,-8-令 2knW2xW2kn+n(k Z),解得:knWxWkn+2(k Z),兀所以函数的递减区间为kn,kn+2(k Z),JITt又(0,2)Ukn,kn+2(k Z),所以函数在(0,2)上为减函数，JI则 y=f(x)的最小正周期为n，且在(0,2)上为减函数，故选 B.【解【解析】选 D.因为 f(x)=3sin 2x+cos 2x-m_31=2(2sin 2x+2cos 2x)-m =2sin(2x+6)-m,JI因为 x 0,2,二 二7二所以

8、2x+6 6,6,1二所以-2Wsin(2x+6)W1,兀所以-1W2sin(2x+6)W2,JI因为 f(x)=x 3sin 2x+cos 2x-m 在0,2上有两个零点 x1,x2,7.(2015 赤峰模拟)已知函数 f(x)=、3sin 2x+cos 2x-m 在0,兀2上有两个零点X1X2x1,x2,则 tan2的值为-9-兀所以 x1+x2=3,Xt+x2兀J3tan-= ta n =,所以263故选 D.二、填空题（每小题 5 分,共 15 分）8.函数 y=sin42x-cos42x 的最小正周期是【解析】y=si n42x-cos42x=(s in 22x+cos22x)(s

9、in22x-cos22x)=-cos 4 x,2二JI所以最小正周期T=42兀答案：2xX二1cos()9.（2015 长春模拟）函数f(x)=2sin22 6 2的最大值为2sinx . 3x1 . x、1(cos一 -sin )【解析】因为 f（x）=2 222 22八3sinxcosx-sin2x 12 2 2 2sin x21 - cos x 1- r 2上有两个交点，如图:-10-JI二sin(x ),6-11-所以 f（x）max=1.答案：1x【加固训练】（2015 咸阳模拟）函数 y=4cos24+1,x 卜n,n的最小值是彳丄x1 cos钳【解析】y=因为 x -n,n,所以

10、2所以 ymin=3.答案：31.（5 分）（2015 铜陵模拟）已知a为第二象限角cos 2a=()A.【解析】选 A.因为 sina+cosa=3尸仁2cosf310.(2014 南宁模拟)设 a=sin 14 +cos 14 ,b=sin616 +cos 16 ,c=2则 a,b,c 按从小到大的顺序排列【解析】a=sin 14 +cos 14 =、2sin 59 ,b=sin 16 +cos 16 2sin 61 ,c=2八2sin 60 .因为 59 60 61 ,所以 sin 59 sin 60 sin 61 答案:acb,所以 ac0,兀3TL所以 2kn+2a2kn+4(k Z

11、),3二所以 4kn+n2a0,COSa0,（Sin：-cos：）2所以 Sina-COSa=1 -2sin: cos：1573+715Sina =- ,6cos.得.6J5所以 COS 2a=2cos2a-1=-3.e【加固训练】（2014 六安模拟）已知 2sin0=1+cos0，则 tan2等于（ ）1B.2. 3sin：亠cos ,3TT5 sin：-cos：3A.2-14-C.2或不存在【解析】选 C.当 1+cos0=0 时,tan2不存在.x1+x2+x3=【解析】设 f(x)=sin x+3cos x=2 sin(x+3),Jt Tt31因为 x 0,2n,所以 x+3 3,2

12、n+3,兀根据方程恰有三个解，结合三角函数图象易得x 仁 0 ,x2=3,x3=2n1：.所以 x1+x2+x3=37 7：答案：33.(5分)(2015 西安模拟)设当 x=0时屈数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值，则 cos0=.【解题提示】用辅助角公式求解，注意辅助角0的正、余弦值.n【解析】f(x)=sin x-2cos x= -5sin(x+0),其中 tan0=-2,当 x+0=2kn+2时，函数 f(x)取得最大值2、5+2-0.所以 cos0=cos(2-0)=sin0，又因为 tan0=-2,0在第四象限 所以 sin0=-5，即 cos02、5答案:-5D.

13、不存在当 1+cos0丰0 时,etan2sin匸sin cos-2 2 22si n=上osE2 2sinr 12.(5 分)(2014 上海高考0 cos2cosbos#2 2嗨上叫1 co2)设常数a 使方程 sinx+3cos x=a 在闭区间0,2n上恰有三个解x1,x2,x3,则，即0=2kn2, 5=-5-15-x xX4.(12 分)(2015 保定模拟)已知函数 f(x)=sin2cos2+cos 22-1.(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间.-16-求函数 f(x)在4，T上的最小值x x 1 cos x【解析】(1)f(x)=sin2cos2+2-11 1

14、1=2sin x+2cos x-2.2匸丄=2sin(x+4)-2.所以函数 f(x)的最小正周期为2n.由 2kn+2Wx+4W2kn+2,k乙得 2kn+4WxW2kn+4则函数 f(x)的单调递减区间是2kn+4,2kn+4,k 乙3- 二由4WxW2，得2Wx+4W4则当 x+4=2，即 x=4时,f(x)取得最小值2【加固训练】已知函数f(x)=cos 4x-2sin xcos x-si n4x.(1) 求 f(x)的最小正周期.(2) 求 f(x)的单调区间.若 x 0,2,求 f(x)的最大值及最小值.【解析】(1)f(x)=(cos 2x-s in 2x)(cos 2x+sin

15、 2x)-sin 2x=cos 2x-s in 2x所以最小正周期 T=2=(2)由 2kn-nW2x+4W2kn,k乙cos (2x+4),-17-5二得 kn-8nWxWkn-8,kZ, 所以函数 f(x)的单调增区间为51kn-8 n,kn-8 n(k Z).兀由 2knW2x+4W2kn+n,kZ.13得 kn-8nWxWkn+8n,k乙所以函数 f(x)的单调减区间为13kn-8n,kn+8n(kZ).二 二二5二因为 OWxW2,所以4W2x+4W4,兀近所以-1Wcos (2x+4)W2,所以-、2Wf(x)W1.所以当 x=0 时,f(x)有最大值为 1,3当 x=8n时,f(

16、x)有最小值为 八2.5.(13 分)(能力挑战题)某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=253米,为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将 在这块草坪内铺设三条小路OE,EF 和 OF 考虑到小区整体规划，要求 0 是AB 的中点，点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上，且 OE 丄 OF,如图所示.(1) 设/ BOE=a試将 OEF 的周长 I 表示成a的函数关系式，并求出此函 数的定义域.(2) 经核算，三条路每米铺设费用均为400 元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.【解题提示】(1)由题意可知/ OFA=a，利用直角三角形中边角的关系列式，结合图形求定义域.(2)利用换元法求最值，要注意a的范围.25【解析】(1