八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析

1、初二数学第十一章全等三角形综合复习切记： “有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定 全等。例 1. 如图，A,F,E,B 四点共线，AC CE，BD DF，AE BF，AC BD。求证:AC BD；由AE BF两边同时减去EF得到AF BE，又得到一个全等条件。还缺少一 个全等条件，可以是CF DE，也可以是A B。由条件ACCE,BDDF可得ACEBDF 90o,再加上AE BF,AC BD,可以证明ACEBDF,从而得到A B。证明 QACCE,BDDFACEBDF 90在Rt ACE与Rt BDF中AE BF QAC BD Rt ACE Rt BDF(H

2、L)A BQAE BFAE EF BF EF，即AF BE在ACF与BDE中AF BEQ A BAC BDACF BDE(SAS)思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还 需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结 论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例 2.如图，在ABC中，BE是/ ABC 的平分线，AD BE，垂足为D。求证:21 C。ACFBDE。思路从结论ACFBDE入手，全等条件只有思路：

3、直接证明21 C比较困难，我们可以间接证明，即找到 ，证明2且1 C。也可以看成将2“转移”到 。那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了 FBD,可以通过证明三角形全等来证明/ 2= / DFB,可以由三角形外角定理得/DFB=Z1+ / C证明：延长AD交BC于F在ABD与FBD中ABDFBDQ BD BDABDFBD(ASA2 DFBADBFDB 90又 QDFB1 C21 C思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例 3.如图，在ABC中，AB BC， ABC 90F为AB延长线上一点，点E在BC上,BE BF，连接 AE,EF 和C

4、F。求证：AE CF思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等， 关键是要找到这两个三角形。 以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置，而线段CF正好是CBF的 边，故只要证明它们全等即可。证明：Q ABC 90,F为AB延长线上一点ABC CBF 90在ABE与CBF中AB BCQ ABC CBFBE BFABE CBF(SAS)AE CF思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造

5、全等三角形。思路：关于四边形我们知之甚少， 通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。证明：连接ACQAB/CD，AD/BC12，34在ABC与CDA中1 2Q AC CA43ABC CDA(ASA)AB CD。思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例 5.如图，AP,CP 分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证:BP为MBN的平分线。思路：要证明“BP为MBN的平分线”，可以利用点P到BM ,BN的距离相等来证明， 故应过点P向BM ,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“ AP,CP 分别是MAC和NCA的平分线”，也需要作出点P到两

6、外角两边的距离。证明：过P作PD BM于D，PE AC于E，PF BN于FQAP平分MAC,PD BM于D，PE AC于EPD PEQCP平分NCA，PE AC于E，PF BN于FPEPFQPDPE，PE PFPDPFQPDPF，且PD BM于D，PF BN于FBP为MBN的平分线。思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例 6.如图，D是ABC的边BC上的点，且CD AB,ADB BAD,AE是ABD的 中线。求证：AC 2AE。延长AE至F，使EF AE。证明：延长AE至点F,使EF AE，连

7、接DF在ABE与FDE中AE FEQ AEB FEDBE DEABE FDE(SAS)B EDFQADF ADB EDF，ADC BAD B又 QADB BADADF ADCQAB DF，AB CDDF DC在ADF与ADC中AD ADQ ADF ADCDF DCADF ADC(SAS)AF AC又 QAF 2AEAC 2AE。思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例 7.如图，在ABC中，AB AC，12，P为AD上任意一点。求证：AB AC PB PC。然后证其等于AC。因此,，不妨构造出原图思路：欲证AB AC论中是差，故用两边之

8、差小于第三边来证明, 可以采用“截长”和“补短”两种方法。证明：法一：在AB上截取AN AC，连接PN在APN与APC中AN ACAP APAPN APC(SAS)PN PCQ 在BPN中，PB PN BNPB PC AB AC，即 AB ACPB PC。法二：延长AC至M，使AM AB，连接PM在ABP与AMP中AB AMQ 12AP APABP AMP(SAS)PB PMQ 在PCM中，CM PM PCAB AC PB PC。思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在 较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线

9、段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这 两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我 们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。法一图PB PC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结从而想到构造线段AB AC。而构造AB AC疋差，B同步练习、选择题:1.能使两个直角三角形全等的条件是A.两直角边对应相等C.两锐角对应相等2. 根据下列条件，能画出唯一A.AB 3,BCC.C 60,3. 如图，已知C D:A. 4 个B.D.ABC的是（8B

10、.AB AB 4D.4,CAB 45o,2,ACE。其中能使ABCB. 3 个一锐角对应相等斜边相等）4,BC 3,C 90,ABA 30o4.如图,A.C.5.如图,AD，增加下列条件：ABAED的条件有（6AE:BC ED；)D. 1 个C D,AC,BD交于E点，下列不正确的是（CBE1DAEDEA不全等于CBEB.CE DE)已知AB CD,BCA.67AD，B 23o，贝U D等于（D. 无法确定二、填空题：6.如图，在CD : AD 2:3,ABCAC中，C 90,10cm，则点D到AB的距离等于ABC的平分线BD交ACc_m；于点D,7.如图，已知AEB 100,ABADBDC,

11、AD BC,E, F是BD上的两点，且BE DF,30，贝U BCF _ -L.A BEC 90o,AC BC,AD平分BAC交BC于D,10.如图，点D,E,F,B在同一条直线上，BD 10,BF 2，贝U EF _；三、解答题：11.如图，ABC为等边三角形，点M,N分别在BC, AC上，且BM CN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。12.如图，ACB 90o,AC BC,D为AB上一点，AE CD,BF CD，交CD延长线于F点。8.CBD的大小为DEAB于E,若AB9.如图，在等腰Rt ABC中，AB/CD,AE/CF，且AE CF，若求证：BF CE。三、解答题:11.解：QABC为等边三角形AB BC，ABC C 60o在ABM与BCN中AB BCQ ABC C12.证明：QAE CD，BF CD同步练习的