《高等代数(次型与线性空间部分)》

1、数学系05级高等代数（二次型与线性空间部分）试题及答案（2006年3月27日，满分：120分）命题人：胡付高、判断题（在括号里打或“x”，每小题2分，共20分）1若向量组二，与向量组：2,川，：t都线性无关，则1，2，|I，S，：2,川，：t也线性无关；（X）2n维线性空间V中任何n个线性无关的向量都是V的一组基；（V）3对n维线性空间V中任何非零向量：，在V中一定存在n-1个向量1i2,IHn_i，使得冷，+2,川作成V的一组基；（V）4三个子空间V1,V2,V3的和V1V2V3为直和的充要条件是V2V0;（X）5 把复数域看成实数域R上的线性空间，它与R2是同构的；（V）6 线性空间V的两

2、组基1,2,l|,n到-1,-2JH,n的过渡矩阵是可逆的；（V）7V的任意两个子空间的交V,V2与并V,_V2都是V的子空间；（X）&集合w=aA壬PnYA=0作成P41的子空间；（X）9实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负；（X）10.设n元实二次型的正负惯性指数分别为s,t，则必有st空n（V）二、填空题（每小题2分，共20分）1.如果dimV|=m，dimV2=m2，dim（V1V2）=m3，则dim（yV2）=mm2-m3.2.两个有限维线性空间V1、V2同构的充分必要条件是dimV|dimV2.3两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.4设实二次型的秩为r

3、，负惯性指数为q，符号差为m，则r、q、m的关系是r二m2q.5.22级实对称矩阵的所有可能的规范型是：00、巾0、广-10、50、巾0、C10、00,00丿,0001,3到-1,-2,-3的过渡矩阵为-111、A=1-11，向量口在基1一1丿1,-2,-3下的坐标为（1,2,3），在在基：-1-23下的坐标为（4,2,0）.22210.n元实二次型f（为兀，ll|,Xn）=（a1）x（a-2）x2山（a-n）Xn正定的充分必要条件是常数a满足an.三、简述下列定义（共12分）n级矩阵A、B合同：如果存在可逆矩阵C,使得B=CAC1. 子空间的和Vj+V2=%+2囤Vi,i=1,2生成子空间L

4、Cw,。？，0）=匕。1+k刃（2+k31-川-也r4丄：，因而=,2,川，r4,r可由匕12,川2线性表出，krkrkr故向量组：筋/-2jH/r4/与：斗，2,1丨Lr斗宀等价，最后不难得到结论.五、(1)讨论：取什么值时，二次型-(x12xfX2)-(x,-x2-x3)2是正定的.(2)证明当=3时，上述二次型是半正定的.(共14分)解(1)二次型可化为(一1)片2(_1)xf(-1)xf-2x2-2x3-2x2x3,它对应的矩阵是-1-1-1、-1k1-1I_1_1九由二次型是正定的二它的矩阵的所有顺序主子式全大于零，可得到-10,(-2).0,2c-3)0，它等价于，3，即二次型是正

5、定的3.(2)当=3时，二次型可化为(N-X2)2(N-X3)2(x2-X3)2一0,故二次型是半正定的.注对(2)还可以用求二次型标准型的方法得到结论，求得它的正惯性指数为2,负正惯性指数为0.六、设A、B是两个固定的n级矩阵，证明：(1) W=xX乏Pnn,AX=XB是Pnxn的一个子空间；(2) 当A=B是主对角元两两互异的对角矩阵时，W是什么样的子空间，并求W的维数及一组基(可以只写结果，不必说明理由)(共14分)解(1)因为0W，故W-,对-X,YW，即AX=XB,AY二YB，得A(XY)=AXAY=XBYB=(XY)B，于是XYW，设kP，又由A(kX)二k(AX)=k(XB)=(

6、kX)B，得到kXW，因此WPnn的一个子空间；(2)W是所有n级对角矩阵作成的子空间，它的一组基可取为E11,E22l,Enn,dimW=n.七、设W(1,-1,3,7)，匹=(2,-1,0,1),5=(1,1,1,1)4=(121,0)(1)分别写出生成子空间LC,)与L(34)的基和维数；(2)求L(1,：2,：3/4)的一组基和维数；求LG1,厂L(3,4)的维数.(共15分)解(1)1/2为L(1,2)的一组基，34为L(3,4)的一组基，它们的维数都为2；(12_11、(12-11、(2)由1112初等行变换：0103,L12a34)的一组基可取为301100143，故它的维数为3

7、；(3)注意到L(1,2)L(34)=L(冷23,4),由维数公式即得LCi,2)L(34)的维数=22-3=1.八、补充题(共15分，本题得分可以计入总分)设Pxh表示数域P上次数小于n的多项式及零多项式作成的线性空间，aP.(1)验证Vi=f(x)f(a)=0,f(x)Pxn/是Pxn的一个子空间；(2)求V1的一组基及维数；(3)记V2-P，则V2也是数域P上的一个子空间，试证明：PxVV2.证明(1)因为OV,，所以V,式，设f(x),g(x)V,p，贝yf(a)=0,g(a)=0，且f(x)g(x)Px,因此f(a)g(a)=0,kf(a)=0，故f(x)g(x)V1,kf(x)V，即V是Pxn的一个子空间；(2) 对-f(X)Pxn,f(x)一定可以表成形式f(x)G(x-a)C2(x-a)2川Cn(x-a)n()若f(x)V1,则f(a)=c=0，即得f(x)=G(x-a)q(x-a)2川Cn(x-a)n，注意到(x-a),(x-a)2,|il,(x-a)n都属于V，且线性无关，它们构成了V的一组基，dim二n-1；(3) V2是一个一维子空间，1为它的一组基，由(“)式即得PxnV1V2，故PxV1V2,又dimV2)=dimPxn=n二dimydim/，故Pxn二V2.注对(2)式也可以用数学分析中nTaylor公式f(