2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——13.坐标系与参数方程

1、20112011 年一 20172017 年新课标全国卷 n 文科数学试题分类汇编1313.坐标系与参数方程(2017 22)选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为TCOSV - 4.(1)M 为曲线 G 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM |OP| = 16,求点 P 的轨迹C2的直角 坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为(2,)，点 B 在曲线C2上，求：OAB面积的最大值.32(201623)【选修 4-44-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方

2、程为(x+ 6)2+ y2= 25.(I)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；Jx =tcos_：1(n)直线 l 的参数方程是(t 为参数)，I 与 C 交于 A, B 两点，AB = 、10，求 I 的斜率.|y =tsi n：X = t COSH(2015 23)在直角坐标系xOy中，曲线s：(t 为参数，t丰0)其中0i ,在以 O 为=tsi n极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sinr, C3：T=2 3cosr.(I)求 C2与 C3交点的直角坐标；(n)若 C1与 C2相交于点 A, C1与 C3相交于点 B，求|AB|的最

3、大值.(2014 23)在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为卜=2cos二，)0, (I)求 C 的参数方程；(n)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线|：y=.3X 2垂直，根据(I)中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标.(2013 23)已知动点P,Q都在曲线 C：x=2cos，(t为参数)上，对应参数分别为 t 与I y = 2si nt =2：(0：2 二),M为PQ的中点.(I)求M的轨迹的参数方程；(n)将M到坐标原点的距离 d 表示为:的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点(2012 23)已知曲线 C1的参数方

4、程是 $=2誉(护为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极=3si n轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 p= 2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A, B, C, D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,二).3(I)点 A, B, C, D 的直角坐标；(n)设 P 为 C1上任意一点，求|PAf+ |PB|2+ |PC|2+ |PD|2的取值范围(201123)在直角坐标系 xOy 中，曲线 G 的参数方程为 / =( 口为参数)，皿是&上的动点,I y = 2 2sin二uuv uuvP 点满足OP =2OM, P 点的轨迹为曲线 C2.(I)求 C2的

5、方程；(n)在以 o 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线，与 C1的异于极点的交点为A,3与 C2的异于极点的交点为 B,求|AB|.20112011 年一 20172017 年新课标全国卷 n文科数学试题分类汇编1313.坐标系与参数方程(逐题解析版)(2017 22)选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G 的极坐标方程为 JCOSV - 4 .(1) M 为曲线 G 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM |OP| = 16,求点 P 的轨迹C2的直角坐标方程；(2) 设点 A

6、的极坐标为(2,)，点 B 在曲线C2上，求.OAB面积的最大值.32(2017 22)解析：(1)解法一：设P点在极坐标下坐标为几二由OM QP =16可得M点的坐标为丨！6日，代入曲线G的极坐标方程，得：f丿,化成直角坐标方程为：x2y2= 4x,由题意知T 0,所以检验得x2y2=4x(x = 0).曲线G的直角坐标方程为x = 4,因为O,P,M三点共线,化简得：x2y2=4x(x0).(2)解法一：由(1)知曲线G的极坐标方程为匸=4COST，故可设B点坐标为(4 COS w ),3TIsin(一日)=273cos。22sin日cos& = V3cos2日一sin2T+V33

7、1=2 si n(2丄旷 由-工兰日兰丄得SgB +J3，即最大值为2 + J3.322解法二：在直角坐标系中，A点坐标为(1,、.3)，直线OA的方程为3x - y = 0.V3x - y设点B点坐标(x, y)，则点B到直线OA的距离d =-解法二：设P点在直角坐标系下坐标为x, y,所以M点的坐标为4,皱I x丿，代入条件OMOP =16得：(6 +16 yyjx2+y2=16，因为xA0,，即宀他两边同乘以1SOAB=22 4co21|y3x - y所以s应AB =2 2d =-2-，又因为点B坐标满足方程(x2)2+ y2=4，由柯西不等式得:(x 2)2 yI 3( T)-、-3(

8、 x 2) y j,即卩一4一3(x2)y一4即-4 2.3乞3x y乞4 2、3(2016 23)【选修 4-44-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x + 6)2+ y2= 25 .(I)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求X二tcos：(n)直线 l 的参数方程是(t 为参数)，I 与 C 交于|y =tsi n：2 2严=(2016 23)解析：整理圆的方程得x2y2120,由cosv-x 可知，圆 C 的极坐标方程为：?2Qcosv 11=0记直线的斜率为 k ,则直线的方程为 kx - y =0 ,由垂径定理及点到直线距离公式知：

9、X = t COSH(2015 23)在直角坐标系xOy中，曲线 C1：(t 为参数，t丰0)其中0空：:：二，在以 O 为=tsi na极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：卜=2sin, C3：J =2】3cos (I)求 C2与 C3交点的直角坐标；(n)若 C1与 C2相交于点A，C1与 C3相交于点B，求|AB|的最大值.(2015 23)解析：(I)曲线C2的直角坐标方程为x2 y2-2y=0，曲线C3的直角坐标方程为x2y2-2 3-0.联立x2y/2C0，解得 5 或x+y -2V3x=0ly = 0|y坐标为(0,0)和(n)曲线 C1的极坐标方程为 V (R, 0

10、)， 其中0 J:： 二， 因此 A 的极坐标为(2si n： ,： )，B的极坐标为(2、3cos：,：)，所以|AB|=|2Sin :-23cos 4|sin(: -)|，3r5兀当时，| AB |取得最大值，最大值为4.6(2014 23)在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为=2cos丁， 丁0, .(I)求 C 的参数方程；得，SQAB_ 2 2C的极坐标方程;A, B 两点，AB =10，求 I 的斜率.2 2x yxsin v- y2 102I 2 J90，整理得宀1，则罟x =2，所以C2与C3交点的直角32由S.OAB-(

11、n)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线l : -/3x 2垂直，根据(I)中你得到的参数方程， 确定 D 的坐标.(2014 23)解析：(I)设点 M(x, y)是曲线 C 上任意一点，： 卜= 2cosv，. x22x，x =1 cos:即：(x -1)2y2=1 , C的参数方程为y =s in(H)设点 D(1+cos d sinQ , C 在 D 处的切线与直线同，二3点D的坐标为(,2(201323)已知动点P,Q都在曲线 C：x=2cos，(t为参数)上，对应参数分别为t=与 I y = 2si nt =2：(0： ：2二),M为PQ的中点.(I)求M的轨迹的参数

12、方程；(H)将M到坐标原点的距离 d 表示为:-的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点(201323)解析：(I)依题意有 P(2cos a, 2sin a), Q(2cos 2 a, 2sin 2 o),因此 M(cos a+ cos 2a, sin a+ x =co旳+cos2asin 2 a . M 的轨迹的参数方程为(a为参数，0V aV 2 n)y =si na +s in 2a(n) M 点到坐标原点的距离 d = , X2 y2= 2 2cos(0 V aV2 n .)当 a= n时，d= 0,故 M 的轨迹过坐标原点.x - 2cos(2012 23)已知曲线 C1的参数方程是彳

13、(护为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极=3si n轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是 p= 2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A, B, C, D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2).，3(I)点 A, B, C, D 的直角坐标；(n)设 P 为 C1上任意一点，求|PAf+ |PB|2+ |PC|2+ |PD|2的取值范围(2012 23)解析：(I)依题意，点 A, B, C, D 的极坐标分别为(2,?),(2，如),(2，竺),(2,垃).3636所以点A,B,C,D的直角坐标分别为(1,75)、(-73,1)、(1,)、(75,1).y二3x 2垂直

14、，直线 CD 和 I 的斜率相sin =3!j，cos二一I2cos-).2(n ) 设P 2cos ,3s in,贝V |P A|P2B| |P CF -|P D| ( 122 c os2)(- 3-2COS)2(1-3sin )2(-1-2cos )2(- 3-3sin )2( 3-2cos )2(-1-3sin )2=16cos2：36sin2：16=32 20sin232,521.所以|PA|2 |PB |2 |PC |2 |PD |2的取值范围为132,521.(2011 23)在直角坐标系 xOy 中，曲线 Ci的参数方程为x=2c3a(a为参数)，M 是 Ci上的动点,y =2 2sin :uuv uuvP 点满足OP =2OM，P 点的轨迹为曲线 C2.(I)求 C2的方程；(H)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线二二与 C1的异于极点的交点为 A,3与 C2的异于极点的交点为 B,求|AB|.xI M(-,).由于 M 点在 C1上，所以