线段的最大值与最小值的解题策略

1、14-5 线段最大值与最小值的解题思路回顾：1 线段公理一一两点之间，线段最短；2 对称的性质一一关于一条直线对称的两个图形全等；对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3 三角形两边之和大于第三边；4.三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短一、两点之间线段最短、垂线段最短线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。例 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，LABC三个点的坐标分别为A -6,0,B 6,0,1C 0,4.3，延长 AC 到点 D,使 CD=-AC,过点 D 作 DE/ AB 交 BC 的延长线于点

2、 E.2（1） 求 D 点的坐标； （2） 作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF,若过 B 点的直线y二kx b将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线y二kx b与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G点的位 置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。（要求：简述确 定 G 点位置的方法，但这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径:简化图形T转化题意T由果索因T画图说

3、理 课堂练习：1如图，在ABC中,AC=BC=2/ACB=90, D是BGi的中点，E是AB边上一动点，贝U EC+E的最小值是看数据的特殊性，30P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍.2在锐角ABC 中，AB=4、2,BAC=45BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别P点在GH上运动速度等于它在 直线 GA 上运动速度.是 AD和 AB求 GH+GA 的最小值.ftti不要求证明）例 2、如图 2，正方形 ABCD 勺边长为 4,/ DCB 的平分线 CE 交 DB 于点 E,若点 P,Q 分别是CD和 CE上的动点，则 DQ+PQ 勺最小值()A.2

4、 B.2 2C.4D.42已知:在厶 ABC 中,BC=a,AC=b 以 AB 为边作等边三角形 ABD.探究下列冋题:(1 )如图1 ,当占=1D 与点 C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且/ACB=60，则CD=;(2)如图2 ,当占=1D 与点 C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且/ACB=90，则CD=;(3)如图 3， 当/ ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时， 求 CD 的最大值及相 应的/ ACB的度数.求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中， 在该三角形中，其他两边是 已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和， 最小值为其他

5、两线段之差。 在转化较难进 行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。例 1.在 Rt ABC 中，/1上 ACB=90 , tan / BAC=.点 D 在边 AC 上(不与 A, C 重合)，连2结 BD , F 为 BD 中点.(1) 若过点 D 作 DE 丄 AB 于 E，连结 CF、EF、CE，如图 1.设 CF =kEF，则 k =_(2) 若将图 1 中的 ADE 绕点 A 旋转，使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点,如图 2 所示.求证：BE-DE=2CF ;(3)若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 中图 1图 2、三角形两边之和

6、大于第三边AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BDDBDAB点，求线段 CF 长度的最大值.图 1备图先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分 10 分）【材料一】：如图，直线 I 上有A、A2两个点，若在直线 l 上要确定一点 P,且使点 P 到点A、A2的距离之和最小，很明显点P的位置可取在A和 A2之间的任何地方，此时距离 之和为A到 A2的距离如图，直线 I 上依次有A、A2、A3三个点，若在直线 I 上要确定一点P，且使点P到点A、A2、A的距离之和最小，不难判断，点P 的位置应取在点 A2处，此时距离之和为A到A的距离（想一想，这是为什么？）不难知道，如果直线 I 上依次有A、

7、A2、A、A四个点，同样要确定一点 P,使它到 各点的距离之和最小，则点 P 应取在点 A2和A之间的任何地方；如果直线 I 上依次有 A,、A2、A、A4、A五个点，则相应点 P 的位置应取在点A的位置.- AiA2图图【材料二】：数轴上任意两点 a、b 之间的距离可以表示为a-b.【问题一】：若已知直线 I 上依次有点A、A2、A3、A25共 25 个点，要确定一点P,使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 _ ;若已知直线 I 上依次有点A、A、A、A50共 50 个点，要确定一点 P,使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 _ .【问题二】：现要求 x+l|+

8、x+xl| +x2+|x 3+|+|x97 的最小值，课堂练习（西城8）如图，在ABC中，/C=90 ,AC=4,BC=2， 点A、分别在x轴、y轴上，当点上运动，在运动过程中，点A 在 x 轴上运动时，点 C 随之在 yB 到原点的最大距离是A.2.22B.2 5C。26三、线段差的问题已知两点 A、B 与直线l（AB 与丨不平行且在丨同侧） ， 动点在丨上，求|PA - PBmax 连接AB并AB二PA - PBmaxft- *- *AiA2A3根据问题一的解答思路，可知当x 值为_ 时，上式有最小值为 _ .四、几种变式变式1.如图 1 ,已为正方形 ABCD 的边 BC 上的中点，且

9、BC=2 请在对角线 BD 上找一个点P 使 PC+PE 的值最小为图 1o图 2ABCD 中,ZABC= 90PO PD 的和最小时，PB 的长为变式2.如图3,在直角梯形 P是AB 上一个动点，当变式 3、如图 3，梯形 ABCD一动点。若 BC = 6 , CE=2DE，贝U| PC - PA |的最大值是 _变式 4 如图 2，如图，CD 是OO 的直径，点 A 是半圆上的三等分点， B 是弧 AD 的中点，P 点 为直线 CD 上的一个动点，当 CD=4 时，则（1） AP+BP 的最小值为_ . （2） AP-BP的最大值为_ .变式 5.如图 3-7，正方形 ABCD 的边长为4

10、,CE= 3, CF=2 请在边 AB,AD 上找两个点 G H 使四边形EFGH 周长最小，并求出此时的周长。中，AD/BC , BE 平分ZABC，且 BE 丄 CD 于P 是 BE 上FB318变式 6、抛物线yx2X 3和y轴的交点为RM为OA的中55点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设 为点E） ,再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F坐标，并求出这个最短路程的长。变式 7、如图（1）,直线y=#3x+2与x轴交于点 C,与y轴交于占J八、 、B，点 A 为y轴正半轴上的一点，OA 经过点

11、 B 和点O,直线（1）（2）BC 交OA 于点 D。求点 D 的坐标；过O, C, D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点 P 的坐标。若不存在,之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点C图 3-7的yAOP,使线段PO与PD请说明理由。1如图，已知直线汀壬1与y轴交于点 A，与x轴交于点 D，抛物线12y x2C 两点，且 B 点坐标为(1, 0)。在抛物线的对称轴上找一点M,使| AM - MC |的值最大，求出点 M 的坐标。变式 11、如图，已知点 A(-4, 8)和点 B(2, n)在抛物线 y = ax(1)求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在

12、x 轴上找一点 Q,使得 AQ+QB 最短， 求出点 Q变式 8 如图 3-8，以矩形OABC勺顶点O为原点，y轴，建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2, BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.(1)直接写出点E、F的坐标；(2) 设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点 且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形， 求该抛物线的解析式；(3) 在x轴、y轴上是否分别存在点M N,使得 四边形MNFE勺周长最小？如果存在，求出周长的最 小值；如果不存在，请说明理由. 变式 9 ( 2010 天津市)在平面直角坐标系中，矩形 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，(I)若(H)若 F 的坐标

13、.OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为点E是AB的中点，在OA上取一点D,将P,CFB/乍ODAB3绝、OACB 的顶点 OOA= 3, OB = 4, D 为边 OB 的中点.E 为边 OA 上的一个动点，当 CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF = 2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点变式 10.bx C与直线交于 A、E 两点，与X轴交于 B、D2上.的坐标；(2)平移抛物线 y=ax2，记平移后点 A 的对应点为 A,点 B 的对应点为 B 点 C(-2, 0) 和点 D(-4, 0)是 x轴上的两个定点.1当抛物线向左平移到某个位

14、置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；2当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.作业1、(北京市竞赛题)如图(11),在矩形 ABCD 中，AB=20cm,BC=10cm,若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，求 这个最小值。2 如图(12)在菱形 ABCD 中，/ DAB=1200，点 E 平分 BC,点 P在 BD 上，且 PE+PC=1,那么边长 AB 的最大值是_ 。3、如图 13,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M ( 2,- 1)，且 P (-

15、1,-2)为双曲线上的一点， Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B.(1) 写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2)当点 Q在直线 MO上运动时， 直线 M0上是否存在这样的点 Q,使得 OBQ与 OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)如图 12,当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、0Q 为邻边的平行 四边形 OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值.()图 13P图 14图(11)(12)提高作业（利用旋转对称变换）2010宁德第25题：如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针 旋转60得到BN连接EN AM CM求证：AMBAENB当M点在何处时，AW CM的值最小；当M点在何处时，AW BM CM的值最小，并说明理由； 当AW BW CM的最小值为.3 1时，求正方形的2阅读下列材料：问题：如图 1，在正方形 ABCD 内