二次函数中的三角形问题(含答案)

1、学习好资料欢迎下载二次函数中的三角形与三角形面积例 1 1:如图，已知在同一坐标系中，直线y = kx -2-与 y y 轴交于点 P P,抛物线y = x?-2(k 1)x 4k与2x x 轴交于A(Xi,O), B(X2,O)两点。(1)求二次函数的最小值(用含 k k 的代数式表示)(2) 若点 A A 在点 B B 的左侧，且x1咲2：0。当 k k 取何值时，直线通过点 B B ； 是否存在实数 k k,使S-ABSABC?如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。例 2 2：已知抛物线y - -x2-(m-4)x 3(m-1)与 x x 轴交于 A A、B B 两

2、点，与 y y 轴交于 C C 点,(1)(1) 求 m m 的取值范围；(2)(2) 若m：0，直线y =kx_1经过点 A A，与 y y 轴交于点 D D，且AD BD =5. 2，求抛物线的解析式;(3 3)若 A A 点在 B B 点左边，在第一象限内，(2 2)中所得的抛物线上是否存在一点P P，使直线 PAPA 平分.：ACD的面积？若存在，求出 P P 点的坐标；若不存在，请说明理由。例 3 3.已知矩形 ABCDABCD 中，ABAB= 2 2, ADAD = 4 4,以 ABAB 的垂直平分线为 x x 轴，ABAB 所在的直线为 y y 轴，建立平 面直角坐标系( (如图

3、) )。写出 A A、B B、C C、D D 及 ADAD 的中点 E E 的坐标；(2)(2) 求以 E E 为顶点、对称轴平行于 y y 轴，并且经过点 B B、C C 的抛物线的解析式；(3)(3) 求对角线 BDBD 与上述抛物线除点 B B 以外的另一交点 P P 的坐标；PEBPEB 的面积SPEB与厶PBCPBC 的面积SPBC具有怎样的关系？证明你的结论。112例 4.4.如图 1 1，已知直线yx与抛物线y x26交于A,B两点.24(1) 求A B两点的坐标；(2) 求线段AB的垂直平分线的解析式；(3) 如图 2 2,取与线段AB等长的一根橡皮筋， 端点分别固定在A B两

4、处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一 个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时由.二与三角形形状2例 5.5.如图，抛物线y二ax -5ax 4经过 ABC的三个顶点，已知BC / x轴，点A在x轴上，点C在C C 是抛物线的顶点。C C图 1 1图 2 2学习好资料欢迎下载y轴上，且AC =BC(1) 求抛物线的对称轴；(2) 写出A, B, C三点的坐标并求抛物线的解析式；(3) 探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形若存在， 求出所有符合条件的点P坐标；不存

5、在，请说明理由.界 y y例 6.6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(31)，二次函数y = x2的图象记为抛物线h.(1)平移抛物线h，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：(任写一个即可).(2)平移抛物线h，使平移后的抛物线过A, B两点，记为抛物线12，如图，求抛物线12的函数表达 式.(3)设抛物线12的顶点为C,K为y轴上一点.若SAABKABC，求点K的坐标.(4)请在图上用尺规作图的方式探究抛物线12上是否存在点P，使 ABP为等腰三角形若存在,x学习好资料欢迎下载请判断点P共有几个可能的位置(保留作图痕迹)；若

6、不存在，请说明师.例 7.7.已知：如图，抛物线y=ax2，bxc经过A(1,0).B(5,0)、C(0,5)三点.(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 若过点 C C 的直线y =kx比 与抛物线相交于点 E E (4 4, m m),请求出 CBECBE 的面积 S S 的值；(3) 在抛物线上求一点F0使得 ABPABPo为等腰三角形并写出F0点的坐标；(4)除(3 3)中所求的Po点外，在抛物线上是否还存在其它的点P P 使得 ABPABP 为等腰三角形？若存在，2x请求出一共有几个满足条件的点P(要求简要说明理由，但不证明)；若不存在这样的点P，请说明理由.学习好资料欢迎下载例 8.

7、8.如图，在直角坐标系中，点 A A 的坐标为( (一 2 2, 0)0)，连接OA，将线段OA绕原点 0 0 顺时针旋转 120120 , 得到线段0B0B.(1) 求点 B B 的坐标；(2) 求经过 A A、0 0、B B 三点的抛物线的解析式；在中抛物线的对称轴上是否存在点6 6 使B0CB0C 的周长最小？若存在，求出点 C C 的坐标；若不存在，请说明理由；如果点 P P 是中的抛物线上的动点，且在 x x 轴的下方，那么AFABFAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P P 点的坐标及PABPAB 的最大面积；若没有，请说明理由. ( (注意：本题中的结果均保留根号 ) )三.二

8、次函数与三角形相似3例 9 9:已知一次函数yx-12的图象分别交 x x 轴、y y 轴于 A A、C C 两点,4(1(1)求出 A A、C C 两点的坐标；2 2)在 x x 轴上找出点 B B,使ACB s.AOC，若抛物线过 A A、B B、C C 三点，求出此抛物线的解析式;(3) 在(2 2)的条件下，设动点 P P、Q Q 分别从 A A、B B 两点同时出发，以相同速度沿 ACAC、BABA 向 C C、A A 运动, 连结 PQPQ,使AP= m，是否存在 m m 的值，使以 A A、P P、Q Q 为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出所有 m m 的值；若不存在，请说

9、明理由。x学习好资料欢迎下载11例 10.10.如图 7 7,在平面直角坐标系中，抛物线yx2_6与直线yx相交于A, B两点.42(1) 求线段AB的长.(2) 若一个扇形的周长等于(1 1)中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积 是多少？(3) 如图 8 8，线段AB的垂直平分线分别交OM , OC, OD的长，111并验证等式222是否成立.OC2OD2OM2(4(4)如图 9 9，在RtAABC中，ZACB=90：,CD _ AB，垂足为D，设BC = a,AC= b,11 1- r - =-2 ,2,2 -AB = c.CD = h，试说明:学习好资料欢迎下载

10、a bh例 11.11.在直角坐标系中，OA A 的半径为 4 4，圆心 A A 的坐标为(2 2,0 0), O A A 与 x x 轴交于 E E、F F 两点，与 y y 轴交于 C C、D D 两点，过点 C C 作 O A A 的切线 BCBC,交 x x 轴于点 B B.(1) 求直线 CBCB 的解析式；(2) 若抛物线 y=axy=ax2+bx+c+bx+c 的顶点在直线 BCBC 上，与 x x轴的交点恰为点 E E、F F,求该抛物线的解析式；(3) 试判断点 C C 是否在抛物线上？(4)在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 AOCAOC 相似？直接写出两组这样的

11、点.图 9 9学习好资料欢迎下载例 12.12.如图 1212,以边长为2的正方形ABCD的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线y =x2 bx c经过点B且与直线AB只有一个公共点.（1 1）求直线AB的解析式.（3 3 分）（2 2） 求抛物线y =x2，bx c的解析式.（3 3 分）（3 3） 若点P为（2 2）中抛物线上一点，过点P作PM _ x轴于点M，问是否 存在这样的点P，使 PMC ADC?若存在，求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由.（5 5 分）例 13.13.如图，矩形A BC O是矩形OABC（边0A在x轴正半轴上，边0C在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，

12、0点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1,3）.2（1）如果二次函数y二ax bx c（a=0）的图象经过O,O两点且图象顶点M的纵坐标为-1,求这个二次函数的解析式；（2 2）在（1 1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得 POM为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标和 POM的面积；若不存在，请说明理由；学习好资料欢迎下载答案：例 1 1：解：(1 1)y最小值=-(k-1)2。4(2 2)解得当k时，直线过 B B;322kk学习好资料欢迎下载过 C C 作CD丄AB于 D D，则CD = (k 1)2=(k1)2，把x=0代入直线y = kx + 2，得y = 2，22

13、学习好资料欢迎下载kkX1X2= 4k0k0,.OP = 2。2211k，即一AB OP AB CD, AB . 0OP二CD，即2二(k 1)2-2211.取k_2，.当k_2时，SABSABC从以上解答中可以看出三角形面积相等作为已知条件的作用是利用三角形的面积公式，再利用同底等高 的性质推出线段相等，仅此而已。例 2.2.解：(1)m = -2;(2 2)y -X25x -6；（3 3）如图，假设在第一象限内，抛物线上存在点P P,使直线 PAPA 平分:ACD的面积，则直线 FAFA 必过 DCDC的中点 M M。521点 P P 的坐标为（2 2, 0 0）（即 A A 点）或（一，

14、）。这两点均不在第一象限。416存在点 P P,使 PAPA 平分ACD的面积。本题第（3 3）小题是存在型问题，是结论开放题，应先假设存在，然后在假设的前提下，通过计算说明在 第一象限内右 S.S.ABP =SABC1解得 & = ,k2=2,；k :：:0,此时所求的抛物线的解析式为:y = x-x-2D(0,-1),C(0,-6),M(0,-7)。令y =0，则x25x-6 = 0,2解得x1= 2, x2= 3。：A在 B B 的左侧，.A A 坐标是（2 2, 0 0）。设直线 PAPA 的解析式为y=kx + b,（kH0）F F2 2 解得2k +b=0, AMAM 的解

15、析式为y方程组77乙的解为2y=x +5x_65x2一421%晶学习好资料欢迎下载不存在符合要求的点（求出的点不在第一象限），有一定的难度，主要是这种题型学生不熟悉。学习好资料欢迎下载例 3.3.981M f(3W-4.:.1甘儿当文=3 时有 Jft 大值也“答：若便水池的总容积逓大，工应为気最大容积为 465?. . 8 分25.解】A(0, 1 八 B(0, T)C(4一 I)0(4, 1) * E(2 t).分说明主爲对 12 金给 1 分岳对 34 个堆 2 分4)设抛物线的解析式为=机文一 2F + 1 * . :.4 分V 抛物线经 U 点 B(0, -1) Au(0-2)2+

16、l = -l .解得挖=_|卜*抛物线的解析式为比=_*(工_2)十 .:. 5 分经验证，拋物线了=一寺 5_2 尸+1 螳过点 ca -1). .井说期*如果用一敖式求出解析式*苹需验 it*宜銭BD的解折式为寺工一 1，.7分.*. 9 #=g-Sjc.131=专X4X = 3,.K fE分别作PF丄BC.ElBC,垂足分别为P*氏Sg= yX2X2+ yX( y+8)Xl|-X3X-|-A(6 - 3)B 一(，4 2(2(2)作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C, D两点，交AB于M(如图 1 1)由(1 1)可知：OA =3 5 OB = 2 5AB = 5 5例 4.4. 解 (1

17、(1)解：依题意得一26解之得Xi=6yi = 3X2- -4甘210分11分J2分得虑P的坐掠*PyX学习好资料欢迎下载.OMJABOB522过B作BE 丄 x轴，E为垂足心BEO亠OCM，得：签聲,OC设CD的解析式为y = kx b(k = 0)同理：OD =22C40D 0,150 k b54旦 b2.AB的垂直平分线的解析式为：y = 2x -5.2(3 3)若存在点P使 APB的面积最大，则点P在与直线1y x m上，并设该直线与x轴，y轴交于G, H两点2AB平行且和抛物线只有一个交点的直线(如图 2 2).I 1.y x m2|1 2.y x 6I4121x x m -6 =

18、04v抛物线与直线只有一个交点,“25 p i234I 4 .丿在直线GH : y25中,24HO，525 厂GH 一 54设O到GH的距离为d,学习好资料欢迎下载 295211GHd OGOH22_ _125 51 25 25d二242 2 4.d =5527 AB / GH,P到AB的距离等于O到GH的距离d.例 5.5.解：（1 1）抛物线的对称轴-5a 5x =- -=2a 2(2)A(O,0)B(5 4) C(Q 4)21把点A坐标代入y =ax -5ax 4中，解得a =-6.-1x25x 46 63 3）存在符合条件的点P共有 3 3 个A以设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交y

19、 yB BC CM1曙x x过点B作BQ 丄 x轴于Q，易得BQ =4,A8AN =5.5,B有范RAB.以AB为腰且顶角为角A的 PA.AB2二 AQ2BQ22 2=84 =80BM在Rt ANP1中，RN,AR2_AN2二 AB2- AN280 -(5.5)2199以AB为腰且顶角为角B的厶 PAB有 1 1 个：F2AB.学习好资料欢迎下载 2952=.BP；- BM2二 AB2- BM280 - ?G 8-7295以AB为底，顶角为角P的 PAB有 1 1 个，即PjAB.在Rt BMP2中，MP?学习好资料欢迎下载画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰ABC的顶点

20、C.过点F3作P3K垂直y轴，垂足为K，显然Rt F3CK s Rt BAQ.F3K BQ 1 cK_AQ - 2 .V F3K =2.5.CK =5于是OK =1 F3(2.5,-1)例 6.6.解：(1 1)有多种答案，符合条件即可.例如y=x?T,y = x2亠x,y=(x-1)2亠2或y = x5-2x亠3,5AABC二S梯形ADEB-S梯形 ADFC_S梯形 CFEBy =(x、2 -1)2,y =(x -1 -、一2)2.(2 2)设抛物线12的函数表达式为y =x2 bx c,T点A(1,2),B(31)在抛物线l2上，1 b c = 2,9 3b c =1解得b9，11c =2

21、学习好资料欢迎下载.抛物线l2的函数表达式为宀*冒.-C点的坐标为过A B, C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D, E, F,753则AD=2,CF,BE=1,DE =2,DF,FE二一.1644延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为y = mx n,T点A(1,2),B(31)在直线AB上,(3)y224161 1Q2U27121516学习好资料欢迎下载2二 m n,i解得仁3m n.15.直线AB的函数表达式为y x 22(5 )G点的坐标为%设K点坐标为(0, h)，分两种情况:5若K点位于G点的上方，贝U KG =h -.2连结AK, BK.SAABK- SABKG-SAKG

22、3 I24 4SAABC15tSAABK1651555h _ ，解得h =21616.K点的坐标为05._1 1 h_ ” 2 丿 25若K点位于G点的下方，贝U KG =5- h.225同理可得，h =.16(4 4)作图痕迹如图所示.由图可知，点P共有 3 3 个可能的位置.例 7.7.解: ( 1 1)v 抛物线经过点A(1,0)、B(5,0), y二a(x -1)(x -5).又抛物线经过点C(0,5),- 5a =5,a =1.抛物线的解析式为y =(x - 1)(x - 5) = x2-6x 5.(2 2)v E E 点在抛物线上， m m = = 4 42 X 6+56+5 =

23、= - - 3.3.直线 y y = = kx+bkx+b 过点 C C (0 0, 5 5)、E E (4 4,4343),mJ,25n :2-K点的坐标为图学习好资料欢迎下载4k亠b - -3.设直线 y=-y=- 2x+52x+5 与 x x 轴的交点为 D D,5当 y=0y=0 时，- -2x+5=02x+5=0，解得 x=x=.5二 D D 点的坐标为(一，0 0). S=SxBDC + SBDE= =1(5 _) 5+1(5 _5) 32 2 2 2=10=10.(3)v 抛物线的顶点P0(3 , - 4)既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，点F0(3, -4)为所求满足条件的点.

24、(4)除 R R 点外，在抛物线上还存在其它的点P P 使得 ABPABP 为等腰三角形.理由如下：/AF0二BF042=2.5 4,分别以A、B为圆心半径长为 4 4 画圆，分别与抛物线交于点B、p、F2、P3、A、P4、P5、P6，除去B、A两个点外，其余 6 6 个点为满足条件的点.例& &解：(1 1)过点 B B 作 BDBD 丄 x x 轴于点 D D,由已知可得:OBOB = OA=2OA=2，/ BODBOD = 6060 在 RtRt OBDOBD中，/ ODBODB = 9090,/ OBDOBD = 3030 ODOD = 1 1 , DBDB = ,3,

25、3点 B B 的坐标是(1 1,- 3 )学习好资料欢迎下载(2(2)设所求抛物线的解析式为y二ax bx c，由已知可得:学习好资料欢迎下载c=04a -2b c =0解得：a 亠,b=2_I, c=033所求抛物线解析式为y3X2S3X33（备注：a a、b b 的值各得 1 1 分）（3 3）存在由3 2 2、33/.2 .3由yXX配万后得：y （x T）3333抛物线的对称轴为 x x = = - -1 1（也可用顶点坐标公式求出）点 C C 在对称轴 X X = = -1-1 上， BOCBOC 的周长=OB+BC+COOB+BC+CO ; OB=2OB=2，要使 BOCBOC 的

26、周长最小，必须 BC+COBC+CO 最小，点 O O 与点 A A 关于直线 X X = = -1-1 对称，有 CO=CACO=CA BOCBOC 的周长=OB+BC+COOB+BC+CO = OB+BC+CAOB+BC+CA当 A A、C C、B B 三点共线，即点 C C 为直线 ABAB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CABC+CA 最小，此时 BOCBOC 的周长最小。k b 3-2 k b = 0解得:当X = -1时，y33所求点 C C 的坐标为（一 1 1,）3_ 32 3(4 4)设 P P( X, y)(-2 X V 0,y 0)，贝Vy =X2+- X33过点 P P

27、 作 PQPQ 丄 y y 轴于点 Q Q, PGPG 丄 X X 轴于点 G,G,过点 A A 作 AFAF 丄 PQPQ 轴于点 F,F,过点 B B 作 BEBE 丄 PQPQ 轴于点 E E, 则 PQ=PQ= -X-X , PG=PG=-y-y，由题意可得：5APAB=S弟形 AFEBAFPS BEPABAB 的解析式为y = kx b，则有:设直线直线ABAB 的解析式为y3X33学习好资料欢迎下载111=-(AF BE) FE - AF FP - PE BE2221ii_二(-y .3-y)(1 2)一(_y)(x 2)一(1x)(、3 -y)22 23丿3=y x一32 2SA

28、PAB_1当x时， PABPAB 得面积有最大值，最大面积为2例 9.9.解：(1 1)A(-16,0), B(0,-12)。(2) 过 C C 点作CB _ AC，交 x x 轴于点 B B，显然，点 B B 为所求，设B(k,0)：ACBAOC,AB _ AC 16 k _ 20- -。AC AO 20161k=9,.B(9,0)，设y =a(x 16)(x-9)，把 C C 点坐标(0 0, 1212)代入上式，得a二丄。121127- y(x 16)(x-9)x x-12。1212 12(3)分两种情况讨论：PQ/CB:PQ _ AB。(解略)。结论是：存在m-100或m =空时，使9

29、9得以 A A、P P、Q Q 为顶点的三角形与ABC相似。从以上两题可以看出与三角形相似有关的二次函数综合题一般都是三角形相似作为求二次函数的条件来 解。例 10.10.解：(1 1) A A (-4-4 , -2-2 ), B B (6 6, 3 3)分别过 A A、B B 两点作AE _x轴，BF _ y轴，垂足分别为 E E、F F AB=OA+OBAB=OA+OB 二 4 4222* . 6232= =5 559*38此时y=312:1 (丄乜34324将代入，化简得:点 P P 的坐标为学习好资料欢迎下载(2)设扇形的半径为x，则弧长为(5、5 -2x)，扇形的面积为y学习好资料欢

30、迎下载则y = !x(/5 -2x) = x2+5V5X2 2a=-1 - 0X-口时，函数有最大值y最大412516过点 A A作A AE E丄(3 3) / / CDCD 垂直平分 ABAB，点 M M 为垂足OM JABOA=口一2.一52 2 . AEO OMC,. EOA COMOE AOOMCOCOCO同理可得OD1OC21OM21OC2+-OD242(4)2(5)2425r(4(4)等式5丄OD2丄2a_ 1 2OM21丄成立.h220理由如下: ACB=90 ,CD11ab AB h22- ab = c hAB2- a2b2-c2h2- a2b2= (a2b2)h2a2b2a2

31、b2h2(a2b2)h2a2b2h2b2125+-16学习好资料欢迎下载例 11.11.1 1b2h2解：（1 1）方法一:连结AC，则AC _ BC OA=2, AC=4 , OC=OC=2、_3.AO OC又 RtRt AOCAOC s RtRtA COBCOB ,OC OB 0B=60B=6.点C坐标为（0,J3），点B坐标为（6,0）.设直线BC的解析式为 y=kx+by=kx+b,可求得直线BC的解析式八号方法二：连结AC，则AC _ BC./ OA = 2, AC=4=4 , / ACO=30ACO=30o,Z CAO=60CAO=60o. / CBA=30CBA=30o. AB=2AC=8AB=2AC=8. OB=AB-AO=6OB=AB-AO=6.以下同证法一.由题意得，OA与x轴的交点分别为E（-2,0）、F （