二次函数归纳

1、精品资料欢迎下载第 12 部分二次函数第 1 课时二次函数的意义课标要求通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义中招考点二次函数的概念及意义.典型例题例 1 下列函数中，哪些是二次函数？(1)y-x2=0；( 2)y=(x 2)(x-2)-(x-1)2；(3)y =x ；(4)y = x22x -3x分析：形如 y=ax2+bx+c(a , b, c 为常数，且 0)的函数是二次函数，在判别某个函数是否 为二次函数时，必须先把它化成y=ax2+bx+c 的形式，如果 0,那么它就是二次函数；否则，就不是二次函数 例 2 m 取哪些值时，函数y = (m2- m)x2

2、mx (m 1)是以 x 为自变量的二次函数？分析：若函数y二(m-m)x2mx (m 1)是二次函数，须满足的条件是：m2m = 0.解：若函数y = (m2-m)x2mx (m 1)是二次函数，则m2-m = 0.解得m = 0且m = 1.因此，当m = 0且m = 1时，函数y = (m2- m)x2 mx (m 1)是二次函数.归纳反思形如y = ax2bx c的函数只有在a = 0的条件下才是二次函数.探索：若函数y二(mm)x2mx (m 1)是以 x 为自变量的一次函数，则 m 取哪些值？例 3 写出下列各函数关系，并判断它们分别是什么类型的函数？(1) 写出正方体的表面积 S

3、 (cm2)与正方体棱长 a (cm)之间的函数关系；(2) 写出圆的面积 y(cm2)与它的周长 x (cm)之间的函数关系；(3)某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000 元本金，若不计利息，求本息和y (元)与所存年数 x 之间的函数关系；(4)菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积 S (cm2)与一对角线长 x (cm)之间 的函数关系.解：(1)由题意，得S=6a2(a 0)，其中 S 是 a 的二次函数；2(2) 由题意，得 y = Z 0)，其中 y 是 x 的二次函数；4兀精品资料欢迎下载(3) 由题意，得y =100001.98%x 10000(x 0 且是正整数

4、)，精品资料欢迎下载其中 y 是 x 的一次函数；112(4)由题意，得S x(26_x) x - 13x(0：x 26)，其中 S 是 x 的二次函数.22例 4 正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为x (cm)的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的表面积 S (cm2)与小正方形边长 x (cm)之间的函数关系式；当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积.解：(1)S=1524x2=225 4x2(0：x：笑);(2)当 x=3cm 时，S=225 _4 32=189(cm2).强化练习一、选择题：1.对于任意实数 m 下列函数一定是二次函数的是(

5、)2 2 2 2A.y = (m -1) xB .y = (m 1) xC .2.下列各式中，y 是 x 的二次函数的是2 2 2 2 2A.xy=x +1 B.x +y - 2= 0 C.y - ax = - 2 D.x - y +1=03.若二次函数 y = (m + 1) x2+ m2- 2m - 3 的图象经过原点，贝 U m 的值必为A.- 1 和 3 B. - 1C.3 D.无法确定4. 对于抛物线 y=x2+2 和 y=x2的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全 相同；(3)对称轴相同.其中正确的 有( )A. 0 个 B . 1 个C. 2 个 D . 3 个5. 根据如图

6、的程序计算出函数值，若k2去7.当 k 为_ 值时，函数y=(k-1)x1为二次函数&如果函数y=(m-3)xmm2mx 1是二次函数，那么 m 的值为_:_29._已知函数y =(m -3)xm口是二次函数，则 m 的值为_10. 已知抛物线 y =(m -1) x2,且直线 y = 3x + 3 -m 经过一、二、三象限，则 m 的范围是_:2 2y=(m 1)x2 2D .y = (m -1)x输 入的 x 的值为3，则输出的结果2为( )A7m91r 9B.-C.D.-_ 、.2填空题：4222 2时，函数y = (m -2m -3)x - (m -2)x m是二次函数6.当m

7、二_精品资料欢迎下载11. 若函数 y = (m2-1) x3+ (m + 1) x2的图象是抛物线，则 m =_ :精品资料欢迎下载212._已知函数y = mxmR，当 m _ 时， 它是二次函数； 当m _时，抛物线的开口向上；当 m _ 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数.13.抛物线y =(k 1)x2k2-9，开口向下，且经过原点，则k=_.14点 A(-2 , a)是抛物线y二x2上的一点，则 a=_ ; A 点关于原点的对称点 B 是_A 点关于 y 轴的对称点 C 是_;其中点 B、点 C 在抛物线y=x2上的是_.15.若抛物线y =x2 4x c的顶点在 x 轴上，则 c

8、 的值是_.16已知函数y = (m -1)x22x4.当 m_时，函数的图象是直线；当 m_时，函数的图象是抛物线；当 m_时，函数的图象是开口向上且经过 原点的抛物线.第 2 课时二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质课标要求1. 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质2. 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题中招考点1. 二次函数的图象及性质，尤其是二次函数图象的增减性和对称性2. 利用数形结合、整体思想、图形变换等解决相关问题第一类二次函数 y=ax2的图象和性质典型例题例1已知y =(k 2)xk2 是二

9、次函数，且当x 0时，y 随 x 的增大而增大.(1 )求 k 的值；(2 )求顶点坐标和对称轴.分析：我们知道：二次函数 y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y 轴，顶点是原点，a 的绝对值越大，图象越靠近 y 轴1当 a0 时，抛物线的开口向上，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大，函数图象有最低点(0, 0).2当 a02(2) 二次函数为y=4x，则顶点坐标为(0, 0),对称轴为 y 轴.精品资料欢迎下载例 2 已知正方形的周长为 Ccm，面积为 S cm2.(1 )求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象；(2) 根据图象，求出

10、S=1 cm2时，正方形的周长；(3) 根据图象，求出 C 取何值时，S4 cm2.分析：此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时, 自变量 C 的取值应在取值范围内.解：(1)由题意，得S二丄C2(C 0).16(2)根据图象得 S=1 cm2时，正方形的周长是 4cm.(3)根据图象得，当 C8cm 时，S4 cm2.归纳反思(1)此图象原点处为空心点.(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成 x、y.(3)在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分.强化练习一、选择题1.在同一坐标系中，作y = 2x2,y = -2x2, y =1x2的图象

11、，它们的共同特点是()A. 都是关于 x 轴对称，抛物线开口向上B. 都是关于 y 轴对称，抛物线开口向下C. 都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D. 都是关于 y 轴对称，抛物线的顶点都是原点2. 已知原点是抛物线 y= (m + 1 ) x2的最高点，贝 V m 的范围是()A.mv -1B.mv1C.m -1D.m-23.已知二次函数 y = -a x2，下列说法不正确的是()A .当 a 0,XM0 时，y 总取正值B .当 av0, xv0 时，y 随 x 的增大而减小C .当 av0 时，函数图象有最低点，即y 有最小值D .当 av0 时，y = -a x2的图象的对称轴是

12、y 轴4. 对于 y = ax2(aM0)的图象，下列叙述正确的是()A.a 越大开口越大，a 越小开口越小B.a 越大开口越小，a 越小开口越大C.| a 越大开口越小，| a 越小开口越大D.| a |越大开口越大，| a 越小开口越小5.直线 y = ax 与抛物线 y = ax2(aM0)()A.只相交于一点(1, a)B.相交于两点(0, 0), (1, a)C.没有交点D.只相交于一点(0, 0)6.在半径为 4cm 的圆中，挖去一个半径为 x cm 的圆面，剩下圆环的面积为 y cm2,则 y 与 x的函数关系式为()C2468sc216141944列表:描点、连线，图象如图.精

13、品资料欢迎下载2 2 2 2A.y =nx4B.y =n(2x) C.y = -( x + 4 ) D.y = x +16n二、填空题22一7.函数y x的开口，对称轴是 ，顶点坐标是32&当 m=_ 时，抛物线y =(m1)xm开口向下.29已知函数y =(k2 k)xk2 是二次函数，它的图象开口 _ ，当 x_ 时，y 随 x的增大而增大.10._已知抛物线y二kxk2中，当x 0时，y 随 x 的增大而增大，则 k 值为_ .211. 已知抛物线y=ax经过点(1, 3),当 y=9 时，x 的值为_.12. 如果抛物线 y = ax2和直线 y = x + b 都经过点 P

14、(2, 6),则 a =_, b =_ .13._ 把函数 y = -3x2的图象沿 x 轴对折，得到的图象的解析式是 _ .14._ 经过 A (0, 1)点作一条与 x 轴平行的直线与抛物线 y = 4x2相交于点 M、N，则 M、 N 两点的坐标分别为.15._ 函数 y = - ( 2 x )2的图象是 _ , 顶点坐标是 _, 对称轴是_ ,开口向_ ,当 x =_时，函数有最 _ 值；在对称轴左侧，y 随 x 的增大而_ ，在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 _ .第二类y=ax2+k 的图象和性质回顾：通过怎样的平移，可以由抛物线y=ax2得到抛物线 y=ax2+k?仔细梳理，认

15、真填写：y = ax2+ k开口方向对称轴顶点坐标如何由 y=ax2得到(a.k 是常数，0)a a 0k0a c 0Kv0归纳反思抛物线y = ax2k的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0, k)(1)当 k0 时，抛物线y二ax2k是由抛物线 y=ax2向上平移 k 个单位得到的；(2)当 kv0 时，抛物线y =ax2k是由抛物线 y=ax2向下平移一 k 个单位得到的.这个结论很重要，要在理解的基础上加深记忆典型例题12例 一条抛物线的开口方向和对称轴都与y X相同，顶点纵坐标是-2,且抛物线经过点2(1, 1),求这条抛物线的函数关系式.解：由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴

16、，顶点坐标为(0, -2),因此所求函数关系式可看作y二ax2-2(a 0).精品资料欢迎下载又因为抛物线经过点(1, 1),所以，1二a 12- 2，解得a= 3.精品资料欢迎下载故所求函数关系式为y =3x2一2.强化练习、选择题2004 年中考)函数y = x2-4的图象与y轴的交点坐标是A. (2, 0)B. (-2, 0)C. ( 0, 4)D. ( 0,- 4)12.在同一坐标系中，函数y =3x2, y=3x2,yx2的图象的共同特点是()3A. 都是关于 x 轴对称，抛物线开口向上B. 都是关于 y 轴对称，抛物线开口向下C. 都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D. 都是关

17、于 y 轴对称，抛物线的顶点都是原点3.在同一直角坐标系中，y=ax2+b与 y=ax+b(a、b 都不为 0)的图象的大致位置是()二、填空题12一4.抛物线y_ x9的开口向 _，对称轴是 _ ，顶点坐标是，它可412以看作是由抛物线yx2向平移 个单位得到的.425._ 函数y - -3x 3，当 x_ 时， 函数值 y随 x 的增大而减小.当 x_ 时，函数取得最 值 y=_ .6. 如果将二次函数y =2x2的图象沿 y 轴向上平移 1 个单位，那么所得图象的函数解析式是_ ._第三类 y=a (x h)2的图象和性质回顾：抛物线y=a(x-h)2与抛物线 y=ax2有什么关系？归纳

18、反思2y =a(x-h)(a.h 是常数，a* 0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下:y = a(x - h)开口方向对称轴顶点坐标如何由 y=ax2得到a 0h01.(宁安市实验区精品资料欢迎下载a 0hv0典型例题不画出图象，你能说明抛物线y = -3x2与讨二-3(x - 2)2之间的关系吗？解：抛物线y = 3x2的顶点坐标为(0，0)；抛物线y = 3(x + 2)2的顶点坐标为(-2，0). 因此，抛物线y =-3x2与y =-3(x - 2)2形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴2 2和直线X=2抛物线y二(x 2)是由y二-3x向左平移 2 个单位而得的.强化

19、练习填空题1 抛物线y =(x -1)2的开口_ ，对称轴是 _ ，顶点坐标是 _ ，它可以看作是由抛物线y =x2向_平移_ 个单位得到的.22函数y - -3(x 1),当 x_ 时，函数值 y 随 x 的增大而减小当 x_时，函数取得最_值，最_值 y=_ .3将抛物线y =ax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2,且新抛物线经过点(1, 3),则a的值为_ .第四类 y=a (x h)2+ k 的图象和性质回顾：抛物线y=a(x-h)2+k 与y = ax2之间存在什么样的平移规律?仔细梳理，认真填写：/ 1、2y = a(x h)+k开口方向对称轴顶点坐标如何由 y=ax2得到

20、a a 0h0,k0h0,kv0hv0,k0a vOhv0,kv0归纳反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y = a(x -h)2+k 中 k 的值；左右平移，只影响 h 的值，抛物线的形状不变所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径此外，图象的平移与平移的顺序无关.典型例题例 1 把抛物线y = x2 bx c向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线2y = x，求 b, c 的值.分析：把抛物线y = x2 bx c向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线精品资料欢迎下载y = x2，也就意味着把抛物线y = x2向下

21、平移 2 个单位，再向右平移4 个单位，得到抛物线y =x2bx c.1/SAAO=4 , xy = 42(2)由题意得 A (2, 4), B ( 2, 0).点 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为(x, 0),/ABO/ABP=90.ABP与ABO相似有两种情况：ABAB1当ABPAABO寸,有.BP=BQ=2 - P （4 , 0）.BO BPABPB4PB2当PBAABO寸,有，即， PB=8. P （10 , 0）或 P （- 6 , 0）BO BA24符合条件的点 P 坐标是（4 , 0）或（10 , 0）或（6 , 0）.（3）当点 P 坐标是（4 , 0）或（10 , 0）时，

22、过点 P, A, Q 三点的抛物线的开口向下，1不能由yx2的图象平移得到.4当点 P 坐标是（6 , 0）时，设抛物线解析式为y二ax（x 6）.112129抛物线过点 A (2 , 4), a, y (x 6x), y (x 3).444412该抛物线可以由yx2向左平移 3 个单位，向下平49移9个单位得到.4解：根据题意得,2 2y=(x_4) -2=x -8x=14,所以b =8,|c = 14.例 2 第一象限内的点A在一反比例函数的图象上，过A作AB丄x轴，垂足为B,连AQ已知AQB勺面积为 4.（1）求反比例函数的解析式；（2）若点A的纵坐标为 4,过点A的直线与x轴交于P,且

23、厶APBWAQB相似，求所有符合条件的点P的 坐标；（3）在（2 ）的条件下，过点P, Q, A的抛物线是否可12由抛物线yx2平移得到？若是，请说明由抛物线4y =lx2如何平移得到；若不是，请说明理由4解：（1）设反比例函数的解析式为ky，点 A 的坐标为（x,y）,x xy=88xx精品资料欢迎下载强化练习一、选择题1 将抛物线y =2(x -4)2-1如何平移可得到抛物线y =2x2()A .向左平移4 个单位，再向上平移1 个单位B .向左平移4 个单位，再向下平移1 个单位C.向右平移4 个单位，再向上平移1 个单位D.向右平移4 个单位，再向下平移1 个单位12122.二次函数-

24、(-1)2的图象可由 rx的图象()A. 冋左平移1 个单位，冉冋卜平移2 个单位得到B.向左平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到C. 向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位得到D. 向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到3 .把抛物线y =x bx c向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位，得到抛物线2y = x -3x 5，则有()A . b =3, c=7 B. b= -9 , c= -15 C. b=3 , c=3D. b= -9, c=21二、填空题24把函数y =2x的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的二次函数解析 式是.25._ 抛物线y =

25、x - 4x m的顶点在x轴上，其顶点坐标是 _ ,对称轴是_.326. 把抛物线y x向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得的抛物线的函数关2系式为_ .12127._ 抛物线y =1 2x x可由抛物线y x向_平移_ 个单位，再向 _平22移_ 个单位而得到.第五类二次函数 y二ax2+ bx+c 的图象和性质回顾：21对于任意一个二次函数，如y - -x3x -2，怎么知道它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并快速地画出图象呢？2.你能用配方法求出二次函数y二ax2bx c的对称轴和顶点坐标并完成填空吗？精品资料欢迎下载典型例题例 1 通过配方，确定抛物线二次函数y二ax2bx

26、 c的对称轴是 _ ，顶点坐标是 _精品资料欢迎下载口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解：y = _2x24x 62=-2(x-2x) 6一2(x22x 1一1)6一2(x-1)2-1 6= -2(x一1)28因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1, 8).由对称性列表：x-2-1012342y = -2x +4x +6-1006860-10描点连线，如图所示.归纳反思1通过本题你能总结出配方的要点和关键吗？2.列表时选值，应以对称轴 x=1 为中心，函数值可由对称性得到.3. 描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再 对称描点，最后用

27、平滑曲线顺次连结各点.例 2 已知抛物线y = x2- (a 2)x 9的顶点在坐标轴上，求a的值. 分析：顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；(2)顶点在 y 轴上，则顶点的横坐标等于0.2a+22(a + 2)2解：y=x -(a 2)x 9=(x)9 -4_2 n则抛物线的顶点坐标是|=2,9_+2).:24一a十2当顶点在x轴上时，有 -=0，解得，a = -2.22一_=0当顶点在 y 轴上时，有9解得,精品资料欢迎下载4所以，当抛物线y = x2-(a，2)x，9的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是-2 , 4 , 8.强化练习一、选择题21.

28、 二次函数 y=x -2x+1 的顶点在()A 第一象限B.x 轴上 C.y 轴上2. 下列关于抛物线 y=x2+2x+1 的说法中，A .开口向下B.对称轴是直线 x=1C.与 x 轴有两个交点D.顶点坐标是(-1,0)D.第四象限正确的是(精品资料欢迎下载3. 若抛物线 y=x2-2mx+m+m+的顶点在第二象限，则常数m 勺取值范围是（）A. m2B.-1m2 C.-1m14. 二次函数 y=1-6x-3x2的顶点坐标和对称轴分别是（）A.顶点（1,4）对称轴 x=1B.顶点（-1,4）对称轴 x= -1C.顶点（1,4）对称轴 x=4D.顶点（-1,4）对称轴 x=425如图，观察二次

29、函数 y=ax +bx+c 的图象可知点（b, c） 一定在第（）象限A. 一B.二C.三 D.四了 2.4 米高的球门横梁.若足球运行的路线是抛物线y =ax2 bx c（如图），则下列结论： a11v :vav0;a-b+c0;0vb6060v-12a.其中正确的是（）A. B. C. D.：、填空题27.二次函数y=-x -2x的对称轴是 _&二次函数y =2x2-2x -1的图象的顶点是 _ ，当 x_时，y 随 x 的增大而减小.29.抛物线y二ax -4x -6的顶点横坐标是-2，贝 Ua=_2110._抛物线y = ax22x c的顶点是（一,一1），则a=_ , c=_

30、 .3211.若抛物线 y=（m-1）x+2mx+2m-1 的图象的最低点的纵坐标为零，贝 Um=_.12. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（-2 , 7）, B（6, 7） , C（3, -8），则该抛物线上纵坐标为-8 的另一点的坐标是 _ .第 3 课时二次函数的最值例 1 求下列函数的最大值或最小值.2 2（1）y = 2x -3x -5；（2）y = -x-3x 4.分析：由于函数y =2x23x-5和y = -x2-3x，4的自变量 x 的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.6.为了备战世界杯，中国足球队在某次集

31、训中,队员在距离球门 12 米处挑射，正好射中精品资料欢迎下载解：（1）因为二次函数y =2x2-3x5中的二次项系数 2 0,所以抛物线y =2x2-3x-5有最低点，即函数有最小值.因为y = 2x2_3x-5=2（x_3）2-49,48精品资料欢迎下载(2)因为二次函数y=-x2- 3x 4中的二次项系数-1V0,所以抛物线y=x2-3x 4有最高点，即函数有最大值.23225因为y_x _3x 4=_(x ),43225所以当x时，函数y = -X -3x - 4有最大值24归纳反思最大值或最小值的求法：第一步确定 a 的符号，a 0 有最小值，av0 有最大值；第二步配方求顶点，顶点

32、的纵坐标即为对应的最大值或最小值.例 2 某商场试销一种成本为 60 元/件的 T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利 不得高 40%经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y = kx b,且x=70时，y =50;x=80时，y =40；(1)求出一次函数y = kx b的解析式;(2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为 多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？分析：日销售利润=日销售量x每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量.50 = 70k+b = -140=80k+b b = 120 一次函数的解析式为：y

33、 - -x 120.(2)w =(x_60)(_x 120) - -x2180 x_7200 - -(x_90)2900抛物线开口向下，当x : 90时，w随x的增大而增大；而 60 x bD .不能确定2.二次函数y = ax2 bx c(a = 0)，当 x=1 时，函数 y 有最大值，设(xyj, (x2, y2)是这个函数图象上的两点，且1：: Xi：x2，则()A.a 0, y!y2B.a 0, y1: y2C.a : 0, y1: y2D.3.抛物线y =2x2，4x-1的顶点关于原点对称的点的坐标是()A. (-1 , 3) B. (-1 , -3 ) C. (1, 3)D. (

34、1 , -3 )二、填空题25. 对于二次函数y = x - 2x m，当 x=_ 时，y 有最小值.6._已知二次函数y = x -6x m的最小值为 1,贝 V m=_.7. 如图，矩形 ABCD 的长 AB=4cm，宽 AD=2cm.a：0, y1y精品资料欢迎下载9._抛物线y =x2-2x-1的对称轴是 _ ，根据图象可知，当x_时，y 随 x的增大而减小.三、解答题：10.某产品每件成本是 120 元，试销阶段每件产品的销售价 x(元)与产品的日销售量 y (件)之间关系如下表:x (元)130150165y （件）705035若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销

35、售利润，每件产品的销售价定为多少元? 此时每日销售利润是多少？11.如图，在直角梯形 ABCD 中, AD/ BC, AB 丄 BC, AB= 2, DC= 2 2,点 P 在边 BC 上运动(与B、C 不重合)，设 PC= x，四边形 ABPD 的面积为 y.求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；1若以 D 为圆心，空为半径作。D 以 P 为圆心，以 PC 的长为半径作OP,当 x 为何值时，OD 与OP相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD 的面积.12某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，统计销BPC售情况发现：当这种面包的单价定为7 角时，每天

36、卖出 160 个.在此基础上，这种面包的单价每提高 1 角时，该零售店每天就会少卖出20 个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是 5 角.设这种面包的单价为 x (角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y (角).用含 x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；求 y 与 x 之间的函数关系式；当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润 为多少？第 4 课时用待定系数法确定二次函数的解析式课标要求会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式.中考考点确定二次函数的解析式.典型例题回顾：大家知道：一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那

37、么就需要有相同个数的独立 条件才能求24.抛物线y=x，2x-4的开口向_ ;对称轴是_;顶点为&二次函数y冷(xF2-3的对称轴是，在对称轴的左侧，y随x的增大而精品资料欢迎下载出函数关系式.例如：我们在确定一次函数y =kx b(k = 0)的关系式时，通k常需要两个独立的条件：确定反比例函数y (k = 0)的关系式时，通常只需要一个条件：x如果要确定二次函数y二ax2 bx c(a = 0)的关系式，又需要几个独立的条件呢？ 例 1 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A (0, -1), B ( 1, 0), C (-1 ,2);(2)

38、 已知抛物线的顶点为(1, -3),且与 y 轴交于点(0, 1);(3) 已知抛物线与 x 轴交于点 M (-3, 0), (5, 0),且与 y 轴交于点(0, -3);(4) 已知抛物线的顶点为(3 , -2),且与 x 轴两交点间的距离为 4.分析：(1 )根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为y = ax2 bx c的形式；(2)根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y = a(x -1)2- 3,再根据抛物线与y 轴的交点可求出 a 的值；精品资料欢迎下载(3)根据抛物线与 x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为据抛物线与 y 轴的交点可求出 a 的值;知抛物线的

39、对称轴为 x=3，再由与 x 轴两交点间的距离为个交点为(1，0)和(5，0)，任选一个代入y=a(x_3)2_2，即可求出 a 的值.解：(1)设二次函数关系式为y=ax2+bx+c，由已知，这个函数的图象过(0, -1),可解这个方程组，得 a=2, b= -1 所以，所求二次函数的关系式是y = 2x2-2x -1(2)因为抛物线的顶点为(1, -3),所以设二此函数的关系式为y=a(x-1)2-3,又由于抛物线与 y 轴交于点(0, 1),可以得到1 -a(0 -1)2-3，解得a= 4所以，所求二次函数的关系式是y =4(x -1)2- 3 = 4x2-8x T(3) 因为抛物线与

40、x 轴交于点 M(-3, 0) . (5, 0),所以设二此函数的关系式为y = a(x 3)(x - 5)1又由于抛物线与 y 轴交于点(0, 3),可以得到- 3 = a(0 3)(0 - 5)，解得a =151122所以，所求二次函数的关系式是y=(x，3)(x-5)=丄X2-?X-3.555(4 )根据前面的分析，本题已转化为与(2)相同的题型，请同学们自己完成.归纳反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则二次函数的关系式可设如下三种形式：(1)一般式：y = ax2bx c(a = 0)，给出三点

41、坐标可利用此式来求.(2)顶点式：y =a(x -h)2- k(a =0),给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求.(3)交点式：y=a(x-xj(x-x2)(a = 0)，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点y二a(x 3)(x一5)，再根(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3, -2)，可设函数关系式为y = a(x - 3)2-2，同时可4，可得抛物线与 x 轴的两以得到 c= -1 又由于其图象过点(1 , 0) .(-1 ,精品资料欢迎下载(X1,0).(X2,0)时可利用此式来求.精品资料欢迎下载y23oBDDAABBBC 0第3题图3- x22.若所求的二次函数的图象与抛物线y

42、 = 2x -4x-1有相同的顶点，并且在对称轴的左从而| PB|二,4.526 . 56.25二7.5.所以照明灯与点B的距离为 7.5 m .强化练习一、选择题3.如图，在直角坐标系中，Rt AOB 的顶点坐标分别为 A(0, 2) , 0(0, 0) , B(4 , 0)，把AOB 绕 O 点按逆时针方向旋转 90。得到 COD.(1)求 C, D 两点的坐标；(2)求经过 C, D, B 三点的抛物线的解析式；M，试判断厶 PMB 是钝角三角形直角三角(3)设中抛物线的顶点为 P, AB 的中点为 形还是锐角三角形，并说明理由.1 .已知：函数y = ax2bx c的图象如图：那么函数

43、解析式为()C. y = x2-2x 32y = -x -2x -3第 1 题图侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧, 数关系式为 ()2 2A. y=-x +2x-4 B.y=ax -2ax-3(a 0) C 、解答题第 6 题图例 2 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6 m,跨度为 8 m,把它放在如图所示的平面直角坐标系中.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)若要在隧道壁上点P(如图)安装一盏照明灯，灯离地 面高 4.5 m .求灯与点B的距离.分析：先观察图象，挖掘已知条件，确定设适当的解析式解：(1)由题意，设抛物线所对应的函数关系为2y=ax+ 6 (av

44、9),230。(一4)6，得.32(2)将y= 4.5 代入y=x2+6中，得x= 土 2 .8 P ( 2, 4.5) , Q 2, 0)，于是IPQI = 4.5 ,IBQI=6 ,y 随 x 的增大而减小，则所求二次函数的函2 2y=-2x -4x-5 D. y=ax -2ax+a-3(av0)A.y = -x22x 32y = x -2x -30)在抛物线上,故抛物线的函数关系式为A 6.8点A 4, 0)或B(4 ,3 4 -1 0第5题图-7第斗题图16 m1 18 |rn Jx精品资料欢迎下载精品资料欢迎下载4.已知抛物线ya)x2 8x b的图象的一部分如图所示，抛物线的顶点在

45、第一象限,且经过点 A(0，-7)和点 B.(1)求 a 的取值范围；(2)若 0A=20B 求抛物线的解析式.5已知二次函数y - -X2- 2x 3的图象与x轴相交于 A.B 两点，与y轴交于 C 点(如图所示)，点 D 在二次函数的图象上，且 D 与 C 关于对称轴对称，一次函数的图象过点B,D.(1)求点 D 的坐标；2)求一次函数的解析式；(3)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的6. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽 1.6m，涵洞顶点 0 到水面的距离为 2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛 物线的函数关系式是什么？7. 如图，一位运动员推铅球，铅球行进

46、高度 y(m) 与水平距离 x ( m )之间的关系是125yx2x，问此运动员把铅球推1233出多远？&某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克 30 元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70 元， 也不得低于 30 元.市场调查发现：单价定为70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出 2千克.在销售过程中， 每天 还要支出其他费用 500元(天数不足一天时，按整天计算)设销售单价为 x 元，日均获利为 y 元.(1)求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明x的取值范围；坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时

47、日均获利最多，是多少？(2)将(1)中所求出的二次函数配方成y=a(x 2屮2a4a的形式，写出顶点x的取值范围;精品资料欢迎下载9.某公司生产的某种产品，它的成本是 2 元，售价是 3 元，年销售量为 100 万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是 x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系如F 表:X (十万兀)012y11 . 51. 8(1)求y与x的函数关系式；(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S( 十 万 元 ) 与 广精品资料欢迎下载告费 x (十万元)的函数

48、关系式；(3)如果投入的年广告费为 1030 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而 增大？10.如图，在正方形 ABCD 中, AB=2 E 是 AD 边上一点(点 E 与点 A,D 不重合).BE 的垂直平分线交 AB 于 M 交 DC 于 N.(1)设 AE=x,四边形 ADNM 勺面积为 S,写出 S 关于 x 的 函数关系式；(2)当 AE 为何值时，四边形 ADNM 勺面积最大？最大值是多11. 已知抛物线 y= x2 2x+ m 与 x 轴交于点 A (xi, 0) ,B (X2, 0)(X2 xi),(1) 若点 P ( 1, 2)在抛物线 y= x 2x

49、+ m 上，求 m 的值；(2) 若抛物线 y= ax2+ bx+ m 与抛物线 y= x2 2x+ m 关于 y 轴对称，点 Q1( 2, q1) ,Q2(3, q2)都在抛物线 y= ax2+ bx+ m 上，贝Uq1,q2的大小关系是 _(请将结论写在横线上，不要求写解答过程)；(3) 设抛物线 y = x2 2x + m 的顶点为 M，若 AMB 是直角三角形，求 m 的值.12.某工厂现有 80 台机器， 每台机器平均每天生产384 件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产 4 件产品.(1) 如

50、果增加x台机器，每天的生产总量为y个，请你写出y与x之间的关系式；(2) 增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？13.某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲20正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮9圈中心的水平距离为 7m,当球出手后水平距离 为 4m 时到达最大高度 4m，设篮球运行的轨迹 为抛物线，篮圈距地面 3m.(1)建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？么他能否获得成功？2 214.已知抛物线 y=x+(2n-1)x+ n -1 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时,设 A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方.且在

51、对称轴左侧的一个动点，过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点D,再作 AB1 x 轴于 B,1当 BC=1 时，求矩形 ABCD 的周长；2试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请 求出这个最大值，并指出此时 A 点的坐标；如果不存在， 请说明理由.4 m3 m第13题图(2)此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那求出它所对应的函数关系式;少？精品资料欢迎下载15.甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：DCL x 轴于 C.速度 x (千米/小0510152025时)35精品资料欢迎下载刹车距离 y （米）03215644（1

52、）请用上表中的各对数据（X, y）作为点的坐标，在图 10 所示的坐标系中画出甲车刹车距离 y （米）与 速度 x （千米/时）的函数图象，并求函数的解析式 （2）在一个限速为 40 千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12 米和 10.5米，又知乙车的刹车距离 y （米）与速度 x （千米/时）满1足函数yx，请你就两车的速度方面分析相撞的原因.416.已知二次函数y二ax2 bx c.（1 ）当 a=1, b= 2, c=1 时，请在如图的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；（2 ）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标.第 5 课时

53、 二次函数的图象与坐标轴的交点课标要求没有明确要求.中招考点1. 求二次函数与坐标轴的交点坐标2. 解决有关实际问题.3以二次函数为基架综合考查 二次函数的开放性试题是中考开放性问题中的亮点，其新颖 独特的试题鼓励学生探索、创新，对引导中学数学重视创新精神和实践能力的培养起到 了很好的导向作用函数的综合题，也是中考压轴题的主要内容之一，许多题目条件并非 传统地给出，而是通过现实背景、表格、图象等给出信息，需从所提供的信息抽象出函 数模型并解决实际问题，函数的思想与方程、不等式等知识紧密联系就其知识结构可分 为两大类：一类是以几何图形为主干，综合代数知识的综合题；另一类是以函数图象为 主干，综合

54、几何或其他知识的综合题 .这些题目均与函数有紧密联系，并跨越了代数、几何、三角等多个知识点，囊括了整个初中数学的重要知识和重要思想方法，而且重视函 数题目中存在性问题、分类讨论、数形结合等开放、半开放性问题，对学生综合运用知 识解题的能力要求较高2例 1 画出函数y = X -2x -3的图象，根据图象回答下列问题.精品资料欢迎下载（1）图象与 x 轴，y 轴的交点坐标分别是什么?精品资料欢迎下载2(2) 当 x 取何值时，y=0 ?这里 x 的取值与方程x -2x-3 = 0有什么关系？(3) x 取什么值时，函数值 y 大于 0? x 取什么值时，函数值 y 小于 0解：图象如图(1) 图

55、象与 x 轴的交点坐标为(-1，0).( 3，0)，与 y 轴的 交点坐标为(0，-3).2(2) 当 x= -1 或 x=3 时，y=0,x 的取值与方程x -2x-3=0的解相同.(3) 当 xv-1 或 x 3 时，y0;当-1vxv3 时，yv0.归纳反思(1 )二次函数图象与 x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一 元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决.(2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x 轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集.例 2(1)已知抛物线y = 2(k - 1)x24kx 2k3，当 k=_ 时，

56、抛物线与轴相交于两点.(2)已知二次函数y =(a -1)x22ax 3a -2的图象的最低点在 x 轴上，则 a=_.分析：(1)抛物线y = 2(k 1)x2 4kx 2k - 3与 x 轴相交于两点，相当于方程22(k 1)x 4kx 2k -0有两个不相等的实数根，即根的判别式0.(2) 二次函数y = (a -1)x2 2ax 3a -2的图象的最低点在 x 轴上，也就是说，方程2(a -1)x，2ax，3a-2=0的两个实数根相等，即=0.请同学们完成填空.归纳反思二次函数的图象与 x 轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的 问题，这可从计算根的判别式入手.例 3 已

57、知二次函数y二-X2 (m-2)x mT，试说明：不论 m 取任何实数，这个二次 函数的图象必与 x轴有两个交点；分析：要说明不论 m 取任何实数，二次函数y = -x2 (m -2)x mT 的图象必与 x 轴有两个交点，只要说明方程-x2，(m-2)x m 7=0有两个不相等的实数根，即0.解：=(m - 2)2-4 (T) (m 1) = m28,2精品资料欢迎下载得m 8 0，所以0,即不论 m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点.例 4 已知二次函数y =ax2 bx c(a = 0)的顶点坐标(-1,- 3.2)及部分图象如图，由图象可知关于x的方程ax2+bx +

58、 c =0的两个根分别是x,= 1.3和x2=_.分析：只要知道对称轴和图象与横轴的一个交点，就可以利用对称性确定图象与横轴的另一个交占I八、答案：3.3.强化练习一、选择题：1. 二次函数 y=x2-3x 的图象与 x 轴两个交点的坐标分别为()A.(0, 0) , (0 , 3)B.(0, 0) , (3 , 0)C.(0,0) ,(-3 , 0) D.(0, 0) , (0 , -3)12一2. y= x -7x-5 与 y 轴的交点坐标为().4A . -5B.(0, -5)C.(-5 , 0)D.(0 , -20)2 23.抛物线y = x -mx -n (mn - 0)的图象与x轴

59、交点为( )A .二个交点B .一个交点C.无交点D .不能确定24. 函数y=mx，x-2m(m 是常数)的图象与 x 轴的交点有()A . 0 个B . 1 个C. 2 个D . 1 个或 2 个5.若抛物线y二ax2 bx - c的所有点都在x 轴下方，则必有()2A.a : 0, b -4ac 0B.2a 0,b - 4ac 0C.a : 0, b2-4ac：0D.2a 0,b -4ac：0二、填空题26.抛物线y =3x -2x-5与 y 轴的交点坐标为 _,与 x 轴的交点坐标为 _57已知方程2x2-3x-5=0的两根是一，-1 ,则二次函数y=2x2-3x-5与 x 轴的两个2

60、交点间的距离为_.三、解答题2 &函数y =ax -ax 3x 1的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 a 的值及交点坐标.精品资料欢迎下载第 6 课时用二次函数的图象求一元二次方程的近似解精品资料欢迎下载课标要求会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 中招考点用二次函数图象求一元二次方程的近似解.例 1 阅读材料回答问题： 有如下一道题：画图求方程xx 2的解两位同学的解法如下:甲：将方程x2二-X 2化为x2 x - 2 = 0,画出目， x-2的图象，观察它与 x 轴的交点，得出方程的解.乙：分别画出函数y = X2和y = -x 2的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解.你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流