二次函数与直角三角形存在问题

1、学习好资料欢迎下载老 师姓 名学 科名 称课 题名 称教 学重点学生姓名年级直角二角形的存在问题学管师上课时间月 日：00-:00【经典练习讲解】1. (2011?齐南)如图，矩形 OABC 中，点 O 为原点，点 A 的坐标为(0, 8),点 C 的坐标为(6, ,20).抛物线 y= - x +bx+c 经过 A、C 两点，与 AB 边交于点 D.9(1)求抛物线的函数表达式；(2 )点 P 为线段 BC 上一个动点(不与点PQ,设 CP=m , CPQ 的面积为 S.1求 S 关于 m 的函数表达式，并求出C 重合)，点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQ=CP，连接m 为何值时,S 取

2、得最大值;2当 S 最大时，在抛物线 y= - x2+bx+c 的对称轴g请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，I 上若存在点 F，使 FDQ 为直角三角形,请说明理由.教学过程eD B2.如图，四边形 OABC 个单位长度的速度向 一个动点到达终点时，为直角梯形，A (4, 0) , BA 运动；点 N 从 B 同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 C 运动。其中 另一个动点也随之停止运动。(3, 4) , C (0, 4)。点 M 从 0 出发以每秒 2过点 N 作 NP 垂直 x 轴于点 P,连结 AC 交学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载NP 于 Q,连结 MQ。求：（1

3、） 点（填 M 或 N）能到达终点；（2） 求厶 AQM 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式，并写出自变量 时，S 的值最大；（1） 是否存在点 M,使得 AQM 为直角三角形？若存在，求出点 理由。（23 Q（ 3-tjHl）.盼）（4-2t） （t+1）+2=-（t-|）【T分当煜时山暈丈 b. （4 ）存在便A AW为直角三角理的点M . C9分）VZA0C=90B OA=OC *AZOAM5S即点A不可能为泌側的直甫顶点.分）1当点Q为直角顶点时.I如图）VZMQA=90JZJMAQ=45,-购二Q丸丁莊丄AMAAy-NIPPQ即上笋二好1 #儿煜则M C 1 0）. （ 10分

4、）2当点川为克角顶点时.（如图）VZQHA=90 , ZHAQ=45 ”ANQ=IIA即4-gtFt+lW JilljM（2J0） * （11分）综上所述：点昭的坐标为【或C 2 0 .12分）t 和取值范围，当 t 为何值M 的坐标，若不存在，说明学习好资料欢迎下载3.(2010?铜仁地区)如图所示，矩形 OABC 位于平面直角坐标系中，AB=2 , OA=3，点 P 是 OA上的任意一点， PB 平分/ APD , PE 平分/ OPF，且 PD、PF 重合.(1 )设 OP=x , OE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并求 x 为何值时，y 的最大值；(2) 当 PD 丄 OA 时

5、，求经过 E、P、B 三点的抛物线的解析式；(3)请探究：在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点M,使得 EPM 为直角三角形？若存在， 求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由.答案】鮮：由已知阳平分PE平5ZOPF* B PD. PF则ZBPE=90pA ZOPE + ZAPB=90XAPB + ZABP-90 :. ZOPEZPBA.ARtAPOE-RtABPA_PO BA2I【3A OE.Ay= 2K（3KJ= 2）（）（2+25glix =5吋.沁最大值帀.(2)由已竝，APAB. APOE均为等腰三角形+可得0). E(0，1). B(3, 2.Ay-3x2-3K+1.（那由f2 1

6、ZEPB=9O,即点制与点B重存时褥足条件.Hf* PR Jti u=R；占fCL 11.踣陀向上平馨2亍单缸则过贞已叮lh齐谄直践为y=x+l.y = .n-1设过此一/述V鼬物姣为”一日心一bx+Gc-tf + A + t = 09a + VtC = 2P X学习好资料欢迎下载2 si r = 4v-JP -_ x+l1曲L 33L1-55).故谧施物线匕疗在芮点制打临5)満足去件.4.(2011?潼南县)如图，在平面直角坐标系中，AABC 是直角三角形，/ ACB=90 , AC=BC , OA=1 ,2OC=4，抛物线 y=x +bx+c 经过 A， B 两点，抛物线的顶点为 D.(1

7、 )求 b, c 的值；(2) 点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外)，过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线 于点 F,当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；(3)在(2)的条件下：1求以点 E、B、F、D 为顶点的四边形的面积；2在抛物线上是否存在一点卩，使厶 EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由.点：二次函数综合题。学习好资料欢迎下载系数法即可求得 b, c 的值；(2) 由直线 AB 经过点 A (- 1，0)，B(4，5),即可求得直线 AB 的解析式，又由二次函数 y=x2-2x -3,设点

8、E (t, t+1 ),则可得点 F 的坐标，则可求得 EF 的最大值，求得点 E 的坐标；J15(3) 顺次连接点 E、B、F、D 得四边形 EBFD，可求出点 F 的坐标(=-)，点 D 的坐标24为(1,- 4 )由 S四边形EBFD=SABEF+SADEF即可求得；2 2P,设点 P (m, m - 2m - 3),可得 m - 2m - 2 壬，即可求得点 P的坐标，又由过点F 作 b 丄 EF 交抛物线于 P3,设 P3(n, n2-2n- 3),可得 n2-2n - 2=-学，求得点 P 的坐标，则可得使 EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形的 P 的坐标. 解答：解：(1)

9、由已知得：A (-1 , 0), B (4, 5),二次函数 y=x +bx+c 的图象经过点 A (- 1, 0), B (4 , 5),.：一ll6 + 4 + c-5，解得：b= - 2 , c=- 3;(2)如图：直线 AB 经过点 A (- 1, 0), B (4 , 5), 直线 AB 的解析式为：y=x+1 ,2二次函数 y=x - 2x - 3 ,设点 E (t , t+1),则 F (t , t2- 2t- 3), EF= (t+1 )-( t2-2t - 3) = -( t- _)2+亍,325当 t=时，EF 的最大值为,I4点 E 的坐标为(耳,_);E、B、F、D 得

10、四边形 EBFD .15)，点 D 的坐标为(1, - 4)1 2531 25375S四边形EBFD=SABEF+SADEF=TX.X(4-)+龙x x(-1) =_ ；i)过点 E 作 a 丄 EF 交抛物线于点 P ,设点 P (m , m2- 2m- 3)(1)ACB=90 , AC=BC ,0A=1 , 0C=4 ,A (- 1, 0) B (4, 5),过点 E 作 a 丄 EF 交抛物线于点(3)如图： 顺次连接点 可求出点 F 的坐标(，学习好资料欢迎下载2尸则有：m - 2m - 2=_,学习好资料欢迎下载解得：mi=ii）过点则有:解得:m2=,三,舟），P2（与互舟）,2Z

11、 2F 作 b 丄 EF 交抛物线于 P3,设 P3（ n,2n- 2=-，ni = _, n2=_ （与点 F 重合，舍去），（-综上所述：所有点 P 的坐标：P1（一2以 EF 为直角边的直角三角形.I4II2n 2n 3)冷冷2（響響皐 P3（津）能使 EFP 组成2I4点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识此题综合性很学习好资料欢迎下载5.（2011 滁州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A , B 两点，与 y 轴交于点 P,顶点为 C（ 1，-2）.（1）求此函数的关系式；（2） 作点 C 关于 x

12、 轴的对称点 D，顺次连接 A , C, B, D .若在抛物线上存在点 E,使直线 PE 将四边形 ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；（3） 在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得 PEF 是以 P 为直角顶点的直角三角 形？若存在，求出点 F 的坐标及厶 PEF 的面积；若不存在，请说明理由.4.6.（2009?防城港）如图，在平面直角坐标系中，直线yx-6与 x 轴、y 轴分别相交于A学习好资料欢迎下载3学习好资料欢迎下载D 两点，点 B 在 y 轴上，现将 AOB 沿 AB 翻折，使点O刚好落在直线 AD 上的点 C 处. (1 )求 BD 的长.(2)设点

13、N 是线段 AD 上的一个动点(与点AD 不重合)，SANBD= 3，SNOA= 5,当点 N 运动到什么位置时，Si与 S 的积的值最大，求出此时点N 的坐标.(3)在 y 轴上是否存在点 M 使厶 MAC 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由.一127.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = x +bx+c 与 x 轴交于 A( 1, 0 )、B (5, 0)两点.2(1)求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标；(2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D,将/ DCB 绕点 C 按顺时针方向旋转，角的两边 CD 和学习好资料欢迎下载CB 与 x 轴分别交于

14、点 P、Q 设旋转角为:-(090J).1当a等于多少度时， CPQ 是等腰三角形；2设 BP=t，AQ=s 求 s 与 t 之间的函数关系式.8.(2009?湛江)已知矩形纸片 OABC 的长 OA=4,宽 OC=3，以 OA 所在的直线为 x 轴，以 OC 所在 的直线为 y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系。点 P 是 OA 边上的动点(与点 OA 不重合)，现将 OPC 沿 PC 翻折得到厶 PEC 再在 AB 边上选取适当的点 D,将厶 PAD 沿 PD 翻折，得到 PFD, 使得直线 PE、PF 重合.(1) 若点E落在 BC 边上，如图，求过 P、C D 三点的抛物线的解析式

15、；(2) 若点 E 落在矩形纸片 OABC 勺内部，如图，设 OP=x AD=y 当 x 为何值时，y 取得最大值？(3) 在(1 )的情况下，过点 P、C、D 三点的抛物线上是否存在点0,使厶 PDQ 是以 PD 为直角边的学习好资料欢迎下载直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。9.( 2009?营口)如图，正方形 ABCO 的边长为 I 5，以 O 为原点建立平面直角坐标系，点A 在 x 轴的负半轴上， 点 C 在 y 轴的正半轴上， 把正方形 ABCO 绕点 O 顺时针旋转。 后得到正方形 AiBCO(Gv45o) ,BC 交 y 轴于点 D,且 D 为 BC 的中

16、点，抛物线 y= ax + bx+ c 过点 Ai、Bi、Ci.(1) 求 tan _：:的值；(2) 求点 A 的坐标，并直接写出 点 B、点 C 的坐标；(3) 求抛物线的解析式及其对称轴；(4) 在抛物线的对称轴 上是否存在点巳使厶 PBCi为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.4fyEBC吗%X%SFF*D_ .OPA x图图学习好资料欢迎下载10.(2011?西宁)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点 C 为(-1, 0).如图所示，B 点在抛物线 y=x +*x - 2 图象上，过点 B 作

17、 BD 丄 x 轴，垂足为D，且 B 点横坐标为-3.(1) 求证：ABDCCOA ;(2) 求 BC 所在直线的函数关系式；(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使AACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求 出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.学习好资料欢迎下载11.（2011?沈阳）如图，已知抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），与 y轴交于点 C（ 0,- 3）,对称轴是直线 x=1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于点D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线 BC 的函数表达式；（3） 点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂

18、直平分线交 CE 于点 F，交抛物线于 P、Q 两点，且点 P 在第 三象限.1当线段 PQ= AB 时，求 tan/ CED 的值；42当以点 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标.温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答.+v4VJd学习好资料欢迎下载题囱备用團12.（2011?朝阳）平面直角坐标中，对称轴平行于y 轴的抛物线经过原点 O,其顶点坐标为（3,Q1-卫）；RtABC 的直角边 BC 在 x 轴上，直角顶点 C 的坐标为（土，0）,且 BC=5 , AC=3 （如22图（1）.（1）求出该抛物线的解析式；（2） 将 Rt ABC 沿 x 轴向右平移，当点 A 落在（1）中所求抛物线上时 Rt ABC 停止移动.D（0, 4）为 y 轴上一点，设点 B 的横坐标为 m, DAB 的面积为 s.分别求出点 B 位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s 与 m 之间的函数关系式，并写出相应自变量 m 的取值范围（可在图（1）、图（2）中画出探求）；3当点 B 位于原点左侧时，是否存在实数m,使得DAB 为直角三角形？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由.学习好资料欢迎下载13.(2010?铁岭)如图，在平面直角坐标系中，已