二次函数与一元二次方程的关系以及实际应用

1、学习好资料欢迎下载教师姓名：学生姓名：王祎惠教学 目标掌握二次函数解析式的求法理解抛物线y=ax2+bx+c中，a, b, c与函数图像的关系理解二次函数与一元二次方程的关系难点重点：二次函数与一兀二次方程的关系重点难点：二次函数的实际应用【知识清单】2 .1 抛物线y=ax bx c中，a,b,c与函数图像的关系c0,交点在 y 轴的正半轴上；c决定抛物线与y轴交点的位置c=0,交点在原点；c0,交点在 y 轴的负半轴上.式子a b c的正负就是当 x=1 时，对应的函数值 y=a b c的正负。2、二次函数与一元二次方程的联系（1）y 轴与抛物线 y =ax2 bx c 的交点为 0 ,c

2、 .（2） 抛物线与 x 轴的交点：二次函数 y =ax2bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标人、X2，就是对应一元二次方程 ax2bx，c=0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点的个数 可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：1有两个交点：=0=抛物线与 x 轴相交；2有一个交点（顶点在 x 轴上）=.1=0=抛物线与 x 轴相切；3没有交点 u 厶：0：=抛物线与 x 轴相离.（3）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点.可能有0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2个交点时，两交点的纵坐标相等， 设纵坐标为 k ,则横坐标是 ax2bx k 的两个实数根.（4 4）抛物线与x

3、 x轴两交点之间的距离若抛物线yyx?yyx?bxbx c c与x x轴两交点为a决定开口方向a 0,开口向上;a0,开口向下.a,与,C决定对称轴位置丄a, b同号,在轴左侧；a, b异号,在轴右侧.%bc-,XiX2二aa学习好资料欢迎下载x xi、X2是方程 ax2. bx . c=0的两个根，故学习好资料欢迎下载3、二次函数常用的解题方法(1) 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程;(2) 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；(3)根据图象的位置判断二次函数 y =ax2 bx c 中 a， b， c 的符号，或由二次函数中 a，

4、 b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；(4) 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标【巩固练习】21、已知二次函数y = ax列结论中正确的判断是(a 0b 0A.BC.D 2、已知二次函数y二ax2bx c的图象如图列结论中：abc 0b =2aa b c：O abcO正确的是【典型例题】【例 1】 小明、小亮、小梅、小丽四人共同探究代数式 下分工：小明负责找值为 1 时x x的值，小亮负责找值为丽负责找最大值几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是()A. 小明认为只有当 x =2 时，x2

5、-4x 的值为 1 .B. 小亮认为找不到实数x x，使 x2-4x 5 的值为 0 C. 小梅发现 x2-4x 5 的值随x x的变化而变化，因此认为没有最小值二：Xi _X2二Xi _X2_4x2-4x 5 的值的情况.他们作了如0 时x x的值，小梅负责找最小值，小-bx c的图象如图)c：0b2.学习好资料欢迎下载D.小丽发现当 x 取大于 2 的实数时，x24x 5 的值随 x 的增大而增大，因此认为没有最大值【例 2】 已知二次函数 y=x2-xa（a . 0），当自变量 x 取 m 时，其相应的函数值小于 0， 那么下列结论中正确的是（）A .m -1 的函数值小于 0B .m

6、-1 的函数值大于 0C.m -1 的函数值等于 0D .m -1 的函数值与 0 的大小关系不确定【例 3】 已知关于 x 的一元二次方程 2x24x k-1 =0 有实数根，k 为正整数.（1 ）求 k 的值；（2） 当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数 y=2x24xk-1 的图象向下 平移 8个单位，求平移后的图象的解析式；（3） 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的 其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线1-x x b b b b: :：: :k k与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.【例

7、4】图 26-4，图中抛物线的解析式为y = ax2 bx c,根据图象判断下列方程根的情况。（1） 方程ax2bx0的两根分别为（2）方程ax2bx 0的两根分别为（3）方程ax2bx 2的根的情况是2（4）方程ax bx 5的根的情况是【分析】抛物线y二ax2 bx c与直线y二m的交点的横坐标即为方程ax2bx m的根，故可根据图象可直接判断。【例 5】阅读材料，解答问题. 例：用图象法解一元二次不等式：x2-2x -3 0 .解：设 y =x22x3，贝廿 y 是 x 的二次函数./ a =10 ,抛物线开口向上.又当 y =0 时，x2-2x -3 = 0 ,解得为=-1, x3 .

8、由此得抛物线 y =x2-2x -3 的大致图象如图所示. 观察函数图象可知：当 x”-1 或 x 3 时，y0 .2图26-4学习好资料欢迎下载 x -2x -30 的解集是 x：-1 或 x 3 .（1 ）观察图象，直接写出一元二次不等式：X2-2X-3V0的解集是_学习好资料欢迎下载(2 )仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2-1 0.【例 6】如图所示，抛物线y =ax2 bx c a =0 与 x 轴的两个交点分别为A -1, 0 和B 2 , 0，当 y：: 0 时，x 的取值范围是 _.【例 7】如下右图是抛物线 y =ax2，bx c 的一部分，其对称轴为直线x =1，若其

9、与 x 轴一交点为 B 3 , 0，则由图象可知，不等式ax2bx c 0 的解集是_.【例 8】已知二次函数 y =x2_(m 1)x m -1(1)求证：不论 m 为任何实数，这个函数的图象与x 轴总有交点,(2)m 为何实数时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？考点二二次函数的实际应用例 1、某公司年初推出一种高新技术新产品，该新产品销售的累积利润y(万元)与销售时 间x(月)之间的关系(即前x个月的利润总和y与x之间的关系)为学习好资料欢迎下载12y = x _2x（x 0）。2（1）求出这个函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）请在所给坐标系中画出这个函数的简图；（3）根据函数

10、图象，你能否看出公司的这种新新产品销售累积利润是从什么时候开始盈利 的？（4）这个公司第 6 个月所获的利润是多少？【分析】画函数图象时，注意x 0带来的变化。根据图象进行分析。刃万元）4Cf| U14例 2、某商场购进一种单价为 40 元的篮球，如果以单价 50 元售出，那么每月可售出 500 个, 根据销售经验，单价每提高 1 元，销售量相应减少 10 个。（1） 假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个（用含x的代数式表示）。（2）8000 元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请你求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少

11、元？【点评】（1）题设计了两个问题， 一是每个篮球的利润， 二是每月的销售个数， 这为第（2）26-7学习好资料欢迎下载题解答铺平了道路，要会利用二次函数的最值，解决实际问题。例 3、如图 26-9（ 1）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同,水面 4.5 米，（即 NC=4.5 米），当水位 上涨刚好淹没小孔时，借助图26-9（ 2）中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽 度 EF。【解析】根据图中直角坐标系知抛物线 的顶点M （0，6），B（ 10，0），故可 求抛物线的解析式，再根据 E，F，N 三点的纵坐标相同，都为4.5，可求 E, F 的横坐标，从而求出水面宽EF

12、。解:【点评】解题的关键有两点：（1）建立恰当的平面直角坐标第（此题题中已给出）。（2）点的坐标未直接给出，要结合题意去理解，抛物线的解析式通常要求出来。例 4、某广告公司设计一幅周长为12 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000 元，该矩形一边长为X米，面积为 S 平方米。（1）求出 S 与X之间的函数关系式，并确定自变量X的取值范围。（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用。（3）为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费的多少（精确到元）？（参考资料：当矩形的长是宽与“长+宽”的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形2.236。【解

13、析】（1）若矩形的长为X米，则宽为（6-X）米，由长、宽均有意义，可确定X的取 值范围。（2）S 最大时，设计费最多，可根据二次函数的极值求出。（3）X的值应当是一个具体的值，可求。正常水位时，大孔水面宽度AB=20 米，顶点M 距水面 6 米（即 M0=6 米）小孔顶点10 26 -9学习好资料欢迎下载【点评】(1 )(2)问为常规的二次函数与几何面积的综合题，利用二次函数的性质可以解决，(3)问从美观的角度考虑，很新颖，有意义例 5、如图，在RtABC 中，/ C=90,点 P 为 AC 边上的一点， 将线段 AP 绕点 A 顺时针方 向旋转(点P 对应点 P，),当 AP 旋转至 AP

14、丄 AB 时，点 B、P、P，恰好在同一直线上，此 时作 P E 丄 AC 于点 E.(1) 求证：/ CBP=/ ABP(2) 求证：AE=CP(3)当=- ,BP，二5、.5时，求PE 2线段 AB 的长.【课后作业】1一辆电瓶车在实验过程中，前10 秒行驶的路程 S (米)与时间t(秒)满足关系式S =at2，第 10 秒末开始匀速行驶，第24 秒末开始刹车，第 28秒末停止离终点 20 米处，图 26-12 是电瓶车行驶过程中每 2 秒记录的一次 的图象。(1)求电瓶车从出发到刹车时的路程 S (米)与时间t(秒)的函数关系式。(2) 如果第 24 秒末不刹车继续匀速行驶，那么出发多少

15、秒后通过终点？(3) 如果 10 秒后仍按s=at2的运动方式行驶，那么出发多少少后通过终 点？2、杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150 万元引进一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33 万元，而该游乐设施开放后，从第1 个月到第X个月的维P图26-12学习好资料欢迎下载修保养费用累计为y万元，且y =ax2bx，若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月 为 4 万元；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g万元，g也时关于x的二次函数。（1 ）求y关于x的解析式；（2）求纯收益g关于x的解析式；（3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后能收回投资？2 23、已知二次函数y =x -2mx m -1.（1） 当二次函数的图象经过坐标原点 0 （ 0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当 m=2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C,顶点为 D，求 C、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点 P,使得 PC+PD 最短？若