二元一次方程组总结

1、学习好资料欢迎下载一、二元一次方程定义：方程中含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1 1 的等式一般形式：ax by 0 a =0,b =0，任何一个二元一次方程经过处理都可以化成一 般形式。满足 3 3 个条件：1 1、二元”含有两个未知数 . .2 2、 “一次”未知数项的最高次数都是1.1.3 3、 “方程”是整式方程. .注意：（1 1）未知数的指数都是 1 1,即不含两个未知数乘积的形式的单个未知数的指数，xy 0，其中xy的指数为 2 2，所以它不是二元一次次方程（2 2）方程中出现分数形式时，分母中不能含有未知数，如1以一 y =0是分式方程，二不是整式方程x1.1.下列方程

2、中，哪些是二元一次方程，哪些不是，请说明理由？2x 3y=zx2-9y=0丄y=7 2x 843x2.2.已知3x y - 2a - 3 xy =40，当a为何值时，它是二元一次方程3.3.若xm-8yn3=0是关于x,y的二元一次方程，求m，n4.4.若2x m 1 y =3m-1是关于x,y的二元一次方程，则m为何值?二元一次方程的解含义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解1.1.方程x+2y=7的正整数解有_2.2.二元一次方程3x -2y =1的解是（）A.A.任何一个有理数对B.B.无数多个数对，但不是任意一个有理数对-0，-是分式，所xxy2学习好资料

3、欢迎下载C.C.仅有一个有理数对D.D. 有限个有数对r iX -3.3.如果2是方程ax 3y = 5的解，也是方程2x by = 1的解，试求a -b的值y = 1方程组含有两个未知数，并且含有每个未知数的项的次数都是1 1,像这样的方程组叫做.兀一次方程组 特点：1 1、方程组中每一个方程都是一次方程2 2 、方程组中含有两个未知数，而不是每一个方程都必须含有两个未知数2x y =1* x + 2y = 43x +6y = 12x十y =6是方程组，但y就不是二元一次方程组y+z = 24 4、方程组中相同的未知数在各个方程中所表示的意义是相同的我们把二元一次方程组中两个方程的公共解，叫

4、做二元一次方程组的解. .即方程组中的解满足方程组中的任何一个方程。1.1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组？哪些不是，请说明理由2 2 请写出一个二元一次方程组 _, ,使它的解是! !x x= =2 2ly=1lx = 3x 2y = m3.3.若彳是方程组彳y的解，则m =,n =y -12x _ y = 4n、二元一次方程组3 3、整个方程组中含有两个且只含有两个未知数如(1)xy = 2xz =2(3)1x 2 yM _ y = 1x =2y -1x2=1x yy =52x y - -6x y = 33y =12学习好资料欢迎下载2x亠m = 1由方程组可得出x与y的关系式是_3

5、= m1 1、代入法解方程组2x+3y=16M+4y =13分析：对于方程组中的中，未知数x的系数为 1,1,因此可以把变形为x=13-4y, ,用代入法消去方程中的未知数x, ,从而求出y的值. .解：由得，x=13-4y把代入，得4.4.已知=3ly二1是方程组 J J2x2x+ + ( (m m- -1 1) )y y- -2 2的解，求nx y = 12013 ,.m - n 的值5.5.方程组叫和3x八8有相同的解，求x 2y = mm n的值6.6.在下列方程组中,A A y yT T ; ; B Bx+y =；C ,x+yTD ,gx +3y =0gx +3y = -2 3x3y

6、 =4三、解方程消元思想：将方程中未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,就是消元思想代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,带入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解前瞻:1.1. 把2x-7y=4中x用含有y的式子表示出来2.2.3.3.解二元一次方程组:x = 3y -5 3y= 8 2x只有一个解的是（)x +y =1 ?x+3y =3学习好资料欢迎下载2 13 - 4y 3y =16-5y 10y=2x = 5把旳旳=2代入，得x =5，所以原方程组的解是一iy = 2点评：本题运用代入消元法求解，需运用等式的基本性质将方程变形为用含

7、y的代数式表示x的形式. .2 2、加减法解方程组x203x +2y =8分析：方程组式与式中未知数y的系数互为相反数， 将式与式相加，可消去其中一个未知数y, ,达到消元的目的解：+得x-2y 3x 2y = 0 8即4x=8, ,解得x = 2, ,将x=2代入得，3 228解得y=1=1，lx = 2所以原方程组的解是3 3、常数项相同解析：可以先消去常数项，再用代入法消元解：-得：5x-y-9y-x =110-11056x =10y，即x y35将带入得：5y-y=110解得y=15从而x=253X =25故方程组的解为ly =154 4、未知数的系数成倍数小、工口厶口3x，2y=8

8、解万程组：Qx+9y = 21解方程组5x - y = 1109y -x =110学习好资料欢迎下载分析：仔细观察x、y系数之间的关系，便会发现中x的系数是2得6x 4y =16，这样x前面的系数就一样了，再利用消元。解：由2得6x 4y =16-得：6x 9y - 6x 4=21-165y = 5 y =1将y =1代入得：3x2 1=8即x=2x =2故方程组的解为ly =15 5、最小公倍数中的一般,解方程组2x 3y =13x2y =4解：3，得6x 932，得6x -4y=8-得：6x 9y - 6x-4y =3-8513将其代入得：2x 3=114即 x x = =13故方程组的解

9、为14x= 13513四、方程组的应用fax by = b1x =121.1.若方程组的解是求a b - a-b a bx _by = ay =1学习好资料欢迎下载解得x=3，你能知道原方程的解吗?y71 x亠y = 1 - m4 4 关于x,y的二元一次方程组中，m与方程组的解中x或y相等，求m的- 3y = 5 + 3m值5.5.已知3x + y 2+(2x+3y+1 $ =0, ,求x,y的值6.6.已知二元一次方程：（1 1）xy=4；（ 2 2）2x-y=2；（ 3 3）x-2y=1请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解.3x +5v = 27.7

10、.已知方程组丿，且x + y=7，求代数式a2_4a+5的值i2x +3y = 2a一x y = 5k一8 8、关于x、y的二兀一次方程组的解也是二兀一次方程2x 3y = 6的解，则k2.2.若关于x y的方程组fx+4y_7 = 02x + y 2b = 0与3x ay-1。 x-2y 5=0:有相同的解，求a, b的值3.3.小明和小华同时解方程组mx y = 5 2xny =13，小明看错了7x二m，解得2，小华看错了n，y= -2学习好资料欢迎下载x _ y =9k学习好资料欢迎下载的值是_ . .2 29 9、若已知方程a -1 x a 1 x a-5 y =a，3,3,则当a=

11、=_时，方程为一元一次方程；当 a a = =_时, ,方程为二元一次方程. .y =kx+b1010、已知关于x、y的方程组分别求出 k,bk,b 为何值时，方程组的解为y =(3k -1 )x + 2(1(1)唯一解；有无数多个解； 无解？五、应用题1.1.行程问题段 200200 米长的隧道用了 3232 秒，求这列火车的速度和长度(160+y)ir30s一列匀速行驶的火车通过一座160160 米长的铁路桥用了3030 秒，若它以同样的速度穿过示意图如上所示:-(200+y)m32s-1_Ik.200ID学习好资料欢迎下载w- 160m解：设火车速度是x m/s, ,火车长为ym, ,根

12、据题意列方程组得30 x=16y(32x = 200+y解方程组得x二20y = 440答：火车速度是20 m/s, ,火车长为440m学习好资料欢迎下载甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑1010 米，那么甲跑 5 5 秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑 2 2 秒钟，那么甲跑 4 4 秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？汽车从甲地到乙地，若每小时行驶4545 千米，就要延误 3030 分钟到达；若每小时行驶 5050千米，那就可以提前 3030 分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？2.2.工程问题等量关系：工作总量= =工作时间 工作效率，常见的工作总量“1 1”某城市为了

13、缓解缺水问题，实施一项饮水工程，就是把200km200km 以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期5050 天，甲乙两队合作 3030 天后，乙队因另外有任务需要离开1010 天，于是甲队加快速度，每天多修0.6km0.6km ,1010 天乙队回来，为保证工期，甲队速度不变，乙队每天比原来多修0.4km0.4km，结果如期完成，问：甲乙两队原计划每天各修多少千米？解：设甲乙两队原计划的速度分别是x km /天、y km/天，由题意得+ 200 x y =/5030 x y 20 x 0.610 y 0.4 =200某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定

14、期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装 150150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完4成订货的一；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200200 套，5这样不仅比规定时间少用1 1 天，而且比订货量多生产 2525 套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是 x x 套，要求的期限是 y y 天，依题意，得x = 2.6解得彳y=仁4学习好资料欢迎下载3.3.数字问题常用关系：若两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，则这个数可以表示为10 x y一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9 9 ;如果交换

15、十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大2727，求这个两位数.十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10 x + y10 x + y = x + y + 9新两位数yx10y + x10y10y + + x=10 xx=10 x + + y y + + 2727分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：10 x+y=x + y+9x = 1解方程组，得，因此，所求的两位数是 1414.10y+x =10 x+y+27、y = 44 4、配套问题某厂共有 120120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 2525 个

16、或螺母 2020 个，如果一个螺 栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓， 多少名工人生产螺母，才能使每 天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数X2=2=每天生产的螺母数X1 1.因此，设安排x人生产螺栓，y人生产螺母，则每天可生产螺栓25x个，螺母20y个,依题意，得_Lx y =120= 20，解之，得/.50 x 2=20y 1y=100故应安排 2020 人生产螺栓，100100 人生产螺母.点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产

17、出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关150y =200 y -1 =x 25，解得= 3375卜=18学习好资料欢迎下载系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是:(1(1)“二合一”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍(2(2)“三合一”问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各5.5.利润问题商品的定价是多少?分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x x 元，进价为y y 元，则打九折时的卖出价为 0.9x0.9x 元，获利(0.9x-y)(0.9x-y)元，因此得方程

18、 0.9x-y=20%y0.9x-y=20%y ;打八折 时的卖出价为 0.8x0.8x 元，获利(0.8x-y)(0.8x-y)元，可得方程 0.8x-y=10.0.8x-y=10.f0.9x y =20%yx=200解方程组，解得，0.8xy=10j =150因此，此商品定价为 200200 元.点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价. 利润的计算一般有两种方法，一是：利润= =卖出价- -进价；二是：利润= =进价X利润率(盈利百分数)特 别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念 6 6、其他为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除

19、一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需8080 元，建新校舍每平方米需 700700 元. .计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 72007200 平方米，在实施中为扩大绿地面积， 新建校舍只完成了计划的 80%80% 而拆除旧校舍则超过了计划的10%10%结果恰好完成了原计划的拆、建总面积. .(1)求：原计划拆、建面积各是多少平方米？(2)若绿化 1 1 平方米需 200200 元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？等于乙产品数的a倍，即甲产品数a乙产品数；b种产品数应满足的相等关系式是:甲产品数乙产品数丙产品数abc一件商品如果按定价打九折出售可以盈

20、利20%20%如果打八折出售可以盈利1010 元，问此学习好资料欢迎下载某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6 6 元/ /辆，小型汽车的停车费为 4 4 元/ /辆. .现在停车场有 5050 辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230230 元，问中、小型汽车各有 多少辆?某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示:销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利（兀）100100250250450450现在该公司收购了140140 吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6 6 吨或粗加工蔬菜 1616吨（两种加工不能同时进行）.（1 1）如果要求在 1818 天内全部销售完这 140

21、140 吨蔬菜，请完成下列表格：销售方式全部直接全部粗加工后尽量精加工，剩余部分直接销售销售销售获利（元）（2 2）如果先进行精加工， 然后进行粗加工，要求在 1515 天内刚好加工完 140140 吨蔬菜，则应如何分配加工时间？中考链接（20062006 年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6 6 元/ /辆，小型汽车的停车费为 4 4 元/ /辆 现在停车场有 5050 辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230230 元，问中、小型汽车各有多少辆？（20122012 江苏南通）甲种电影票每张2020 元，乙种电影票每张1515 元.若购买甲、乙两种电影票共 4040 张，恰好用去 700700 元，则甲种电影票买了 _张（20062006 年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示:销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售学习好资料欢迎下载每吨获利（兀）100100250250450450现在该公司收购了140140 吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6 6