概率论与数理统计第一章古典概型与概率空间ppt课件

1、11. 确定性现象确定性现象在一定条件下必然发生出现某一在一定条件下必然发生出现某一结果的现象称为确定性现象结果的现象称为确定性现象.特点特点在相同的条件下，重复进行实验或观在相同的条件下，重复进行实验或观察，它的结果总是确定不变的察，它的结果总是确定不变的.引引 言言22. 随机现象随机现象在一定条件下，可能出现这样的结在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而试验或果，也可能出现那样的结果，而试验或观察前，不能预知确切的结果观察前，不能预知确切的结果. 即在相同的条件下，重复进行观测即在相同的条件下，重复进行观测或试验，它的结果未必是相同的或试验，它的结果未必是相同的.3随

2、机现象的特点随机现象的特点虽然在个别试验中，其结果呈现出不虽然在个别试验中，其结果呈现出不确定性，但是人们经过长期实践并深入研确定性，但是人们经过长期实践并深入研究之后，发现在大量重复试验或观察下，究之后，发现在大量重复试验或观察下，这类现象的结果呈现出某种规律性这类现象的结果呈现出某种规律性 这种在大量重复试验或观察中，这种在大量重复试验或观察中，所呈现出的固有规律性称之为统计规律性所呈现出的固有规律性称之为统计规律性.4概率论与数理统计概率论与数理统计正是研究随机现象的这种统计规律正是研究随机现象的这种统计规律性的数学分支性的数学分支. 下面我们就来开始这门课程的学习下面我们就来开始这门课

3、程的学习.5 在考虑一个在考虑一个(未来未来)事件是否会发生的时候事件是否会发生的时候, 人们常关心该事件发生的可能性的大小人们常关心该事件发生的可能性的大小.就像用尺子测量物体的长度、我们用概率就像用尺子测量物体的长度、我们用概率测量测量 一个未来事件发生的可能性大小一个未来事件发生的可能性大小.将概率作用于被测事件就得到该事件发生将概率作用于被测事件就得到该事件发生的可能性大小的测量值的可能性大小的测量值.为了介绍概率，首先需要介绍试验和事件为了介绍概率，首先需要介绍试验和事件.第一章第一章 古典概型与概率空间古典概型与概率空间6一、随机试验一、随机试验我们把按照一定的想法去作的事情称为我

4、们把按照一定的想法去作的事情称为随机试验随机试验.随机试验的简称是随机试验的简称是 实验实验 (experiment).实例实例1掷一个硬币掷一个硬币, 观察是否正面朝上观察是否正面朝上.实例实例2掷两枚骰子掷两枚骰子, 观察掷出的点数之观察掷出的点数之和和.实例实例3在一副扑克牌中随机抽取两张在一副扑克牌中随机抽取两张, 观察是否得到数字相同的一对观察是否得到数字相同的一对.1.1 试验与事件试验与事件7在概率论的语言中在概率论的语言中, 试验还是指对试验的一次试验还是指对试验的一次观测或试验结果的测量过程观测或试验结果的测量过程.投掷一枚硬币投掷一枚硬币, 用用 表示硬币正面朝上表示硬币正

5、面朝上, 用用 表示硬币反面朝上表示硬币反面朝上, 则试验有两个可能则试验有两个可能的结果：的结果： 和和 . 我们称我们称 和和 是样本点是样本点,称样本点的集合称样本点的集合 为试验的为试验的样本空间样本空间.,二、二、 样本空间样本空间8投掷一枚骰子投掷一枚骰子, 用用1表示掷出点数表示掷出点数1, 用用2表示掷出点数表示掷出点数2, , 用用6表示掷出点数表示掷出点数6.试验的可能结果是试验的可能结果是1, 2, 3, 4, 5, 6.我们称这我们称这6个数是试验的样本点个数是试验的样本点.称样本点的集合称样本点的集合 是试验的样本空间是试验的样本空间.6., 2, 19为了叙述的方便

6、和明确，下面把一个特定为了叙述的方便和明确，下面把一个特定的实验称为试验的实验称为试验S. 称试验称试验S的一个可能结果为的一个可能结果为S的一个样本点的一个样本点(sample point) ，用，用表示表示称试验称试验 S 的所有可能结果构成的集合为的所有可能结果构成的集合为S 的的样本空间样本空间(sample space) ，用表示，用表示 .|的的样样本本点点为为试试验验 S 10例例1 将一枚硬币抛掷两次，则样本空间为将一枚硬币抛掷两次，则样本空间为 =(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),Hhead,Ttail. 第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(

7、T,H):(T,T)：(H,H):其中其中11三、三、 随机事件随机事件1. 随机事件随机事件投掷一枚骰子的样本空间是投掷一枚骰子的样本空间是A=3 表示掷出表示掷出3点点, 则则A是是 的子集的子集.我们称我们称A是事件是事件.6., 2, 1掷出掷出3点点, 就称事件就称事件A发生发生, 否则称事件否则称事件A不发生不发生.用集合用集合B=2,4,6表示掷出偶数点表示掷出偶数点, B是是 的的子集子集, 我们也称我们也称B是事件是事件.当掷出偶数点当掷出偶数点, 称事件称事件B发生发生, 否则称事件否则称事件B不不发生发生. 事件事件B发生和掷出偶数点是等价的发生和掷出偶数点是等价的.12

8、 当试验的样本点当试验的样本点(试验结果试验结果) 落在落在 A 中中, 称事件称事件 A 发生发生, 否则称否则称 A 不发生不发生.按照上述约定按照上述约定, 子集符号子集符号 表示表示A是事件是事件. 通常用大写字母通常用大写字母 A, B, C, D 等表示事件等表示事件.A 设设 是试验是试验S的样本空间的样本空间.当当 中只有有限个样本点时中只有有限个样本点时,称称 的子集为事件的子集为事件.13用用 表示集合表示集合A的余集的余集.则事件则事件A发生和样本点发生和样本点 是等价的是等价的,事件事件A不发生和样本点不发生和样本点 是等价的是等价的.AAAA14例例1(续续). 将一

9、枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次,则样本空间为则样本空间为事件事件A表示表示“两次出现的面不同两次出现的面不同”,可记作可记作 A: “两次出现的面不同两次出现的面不同” 或或 A=两次出现的面不同两次出现的面不同 用样本空间的子集可表达为用样本空间的子集可表达为A= (H,T), (T,H) =(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)HheadTtail15例例2 投掷一枚骰子投掷一枚骰子, 观察掷出的点数观察掷出的点数.,6., 2, 1 B =“掷出奇数点掷出奇数点” = 1,3,5.Ai =“掷出掷出i点点” = i，i =1, 2, 6基本事件基本事件*16特殊的事件：特

10、殊的事件：必件然事 ： 在每次试验中必出现在每次试验中必出现 中一个样本点，中一个样本点，即在每次试验中即在每次试验中 必发生必发生, 因此称因此称 为必然事件为必然事件; 不件可事能 ：在每次试验中，所出现的样本点都不：在每次试验中，所出现的样本点都不在在中，即在每次试验中中，即在每次试验中 都不发生，因此称都不发生，因此称 为不可能发生的事件。为不可能发生的事件。17注注: 样本空间样本空间 是由试验是由试验S的可能结果构成的可能结果构成的集合的集合. 样本点样本点 是是 的元素，事件的元素，事件A 就是就是 的子集的子集. 18当当A、B都是事件都是事件, 那么那么 都是事件，都是事件，

11、 也就是说事件经过集合运算得到也就是说事件经过集合运算得到的结果还是事件的结果还是事件.我们也用我们也用AB表示表示BABABABA ,.BA2. 事件与集合事件与集合193. 事件的关系与运算事件的关系与运算(1)若若AB，则称事件，则称事件B包含包含事件事件A，事件，事件A包含于事件包含于事件B.事件事件A发生必然导致发生必然导致B发生发生.BBA AB(2)若若AB, BA, 即即A=B，则称事件，则称事件A与事件与事件B相等相等.20(3) 事件事件 称为事件称为事件A与事件与事件B的并或和事件的并或和事件. BA “A与与B至少有一个发生至少有一个发生”, “A发生或发生或B发生发生

12、与与“事件事件发生发生” 等价等价.BA BA 当且仅当当且仅当A、B中至少有一个发生时中至少有一个发生时, 事件事件 发生发生.BAAB.BABABA表表示示时时，也也用用当当 21nkkA1 类似地，称类似地，称 为为n个事件个事件A1, , An的和事的和事件件. 1kkA称称 为可列个事件为可列个事件A1, , An,的和事件的和事件.22BA(4) 事件事件称为事件称为事件A与事件与事件B的交或积事件，的交或积事件，也记作也记作AB. 当且仅当当且仅当A、B同时发生时，事件同时发生时，事件AB发生发生.“事件事件A和和B同时发生同时发生”， “A和和B都发生与都发生与“事件事件AB发

13、生发生” 等价等价.ABAB23 1kkA称称 为可列个事件为可列个事件A1, , An, 的积事件的积事件.nkkA1 称称 为为n个事件个事件A1, , An的积事件的积事件.24(5) 事件事件AB称为事件称为事件A与与事件事件B的差事件的差事件. 当且仅当当且仅当A发生发生, B不发生时，事件不发生时，事件 AB发生发生.BAAB25AB(6)若，则称 与 互斥，或互不相容.ABAB类似地类似地,若若n个事件个事件A1,An中两两互不相容，中两两互不相容，则称这则称这n个事件互不相容个事件互不相容. 若事件若事件A1,An,中任意两个事件是互不相中任意两个事件是互不相容的，则称这可列无

14、穷多个事件互不相容容的，则称这可列无穷多个事件互不相容.26（7若若AB= , AB=，称事件，称事件A与事与事件件B为对立事件或逆事件。为对立事件或逆事件。 在每次试验中，事件在每次试验中，事件A、B中必有一中必有一个发生，且仅有一个发生。个发生，且仅有一个发生。（8事件事件称为事件称为事件A的补事件。的补事件。AA 当且仅当事件当且仅当事件A不发生时，事件不发生时，事件A发生。发生。AA27事件的运算公式就是集合的运算公式事件的运算公式就是集合的运算公式,如：如：(1)交换律交换律(2)结合律结合律(3)分配律分配律(4)对偶公式对偶公式28 对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；对于一

15、个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么具体含义是什么.下面我们来做练习下面我们来做练习.29A = “两件产品都是合格品两件产品都是合格品”,例例3 从一批产品中任取两件从一批产品中任取两件, 观察合格品的情况观察合格品的情况. 记记A= “两件产品不都是合格品两件产品不都是合格品”.或或A=“两件产品中至少有一个是不合格品两件产品中至少有一个是不合格品”A=两件产品中恰有一个是不合格品两件产品中恰有一个是不合格品 两件产品中都是不合格品两件产品中都是不合格品.记记 Bi =“取出的第取出的第 i 件是合

16、格品件是合格品”, i=1,2, 则则A=B1B2,.212121BBBBBB 21BBA 21BB 30(1) A发生发生, B与与C不不发生发生设设A、B、C为三个事件，用为三个事件，用A、B、C的的运算关系表示下列各事件运算关系表示下列各事件.CBACBA或或(2) A与与B都发生都发生,而而C不不发生发生CBACBA或或31一、一、 古典概型古典概型假定随机试验假定随机试验S有有限个可能的结果有有限个可能的结果, 并且假定从该试验的条件及实施方法上去并且假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果出现的机会比另一结果出现的

17、机会大结果出现的机会比另一结果出现的机会大或小，我们只好认为所有结果在试验中有或小，我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会同等可能的出现机会.1.2 古典概率模型古典概率模型32 实例实例一个袋子中装有一个袋子中装有10个大小、形状完全个大小、形状完全相同的球相同的球. 将球编号为将球编号为110 . 把球搅匀，把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球蒙上眼睛，从中任取一球.2 347910861533 因为抽取时这些球是完全平等的，我们因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为没有理由认为10个球中的某一个会比另一个个球中的某一个会比另一个更容易取得更容易取得 . 也就是说，也就是说，

18、10个球中的任一个被取出的个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为机会是相等的，均为1/10. 2 347910861534用用 i 表示取到表示取到 i 号球，号球， i =1,2,10. 则该试验则该试验的样本空间为的样本空间为1,2,10 .每个样本点每个样本点(或者说基本事件或者说基本事件)出现的可能性出现的可能性相同相同 .35古典概率模型古典概率模型设 是试验S的样本空间. 对于 的事件A, 我们用P(A)表示A发生的可能性的大小,称P(A)是事件A发生的概率, 简称为A的概率.按照以上原则, 如果事件A, B发生的可能性相同, 则有 P(A)=P(B).如果事件A发生的可能性是B

19、发生的可能性的2倍, 则有 P(A)=2P(B).概率是介于0和1之间的数, 描述事件发生的可能性的大小.#用 , 分别表示事件A和样本空间 中样本点的个数.A#36 设试验设试验S的样本空间的样本空间 是有限集合是有限集合,. A 假设假设 的每个样本点发生的可能性的每个样本点发生的可能性相同相同, 则称则称为试验为试验S下下A发生的概率发生的概率, 简称为事件简称为事件A的概率的概率.能够用上述描述的模型称为古典概率模型，能够用上述描述的模型称为古典概率模型，简称为古典概型简称为古典概型.#中样本点的个数( )中样本点的个数AAP A2. 定义定义373. 古典概率的基本性质古典概率的基本

20、性质. 0)(. 1)()2(. 1)(0)1( PPAP则则是是互互不不相相容容的的事事件件若若,)3(21nAAA. )(11 niiniiAPAP排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具 .推论推论 )(1)(APAP38 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理基本计数原理基本计数原理391. 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,； 第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则

21、完成这件事总共有有n1 + n2 + + nm 种方法种方法 .40则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 .mnnn212. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,； 第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，41从从n个不同元素取个不同元素取 k个允许重复）个允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：knnnn 例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸

22、取3张张3241n=4,k =3123第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法42n个不同元素分为个不同元素分为k组，各组元素数目分别组，各组元素数目分别为为r1,r2,rk的分法总数为的分法总数为nrrrrrrnkk2121,!r1个个元素元素r2个个元素元素rk个个元素元素n个元素个元素121kkrrrnn rrCCC12!knrrr由于由于43例例1 在一袋中有在一袋中有10 个相同的球，分别标有号个相同的球，分别标有号码码 1,2,10. 从中任取一个球，求此球的号码从中任取一个球，求此球的号码为偶数的概率为偶数的概率.解：令解：令A

23、=“球的号码为偶数球的号码为偶数”.21105)( nkAP44例例2 在一袋中有在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码个相同的球，分别标有号码1,2,10. 每次任取一个球，记录其号码后放回袋每次任取一个球，记录其号码后放回袋中，再任取下一个中，再任取下一个. 这种取法叫做这种取法叫做“有放回抽有放回抽取取”. 今有放回抽取今有放回抽取3个球，求这个球，求这3个球的号码均为个球的号码均为偶数的概率偶数的概率.解：令解：令A=“3个球的号码均为偶数个球的号码均为偶数”.81105)(33 nkAP留意留意: 此处为有放回抽取此处为有放回抽取.45例例3 在一袋中有在一袋中有10 个相同的球，

24、分别标有号码个相同的球，分别标有号码1,2,10. 每次任取一个球，记录其号码后不放每次任取一个球，记录其号码后不放回袋中，再任取下一个回袋中，再任取下一个. 这种取法叫做这种取法叫做“不放回不放回抽取抽取”. 今不放回抽取今不放回抽取3个球，求这个球，求这3个球的号码均个球的号码均为偶数的概率为偶数的概率.解：令解：令A=“3个球的号码均为偶数个球的号码均为偶数”.121)(31035 AAnkAP留意留意: 此处为无放回抽取此处为无放回抽取.46例例4 在一袋中有在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码个相同的球，分别标有号码1,2,10. 今任取两个球，求取得的第一个球号码为今任取两个球

25、，求取得的第一个球号码为奇数，第二个球的号码为偶数的概率奇数，第二个球的号码为偶数的概率.解：设解：设A=“取得的第一个球号码为奇数，取得的第一个球号码为奇数，第二个球的号码为偶数第二个球的号码为偶数”.185)(2101515 AAAnkAP留意：第一个球是奇数，且第二个球是偶数，留意：第一个球是奇数，且第二个球是偶数，有顺序要求，故要用排列去做有顺序要求，故要用排列去做. 47例例5 设一批同类型的产品共有设一批同类型的产品共有 N 件，其中次品件，其中次品有有 M 件件. 今从中任取今从中任取n假定假定nN-M件，求件，求次品恰有次品恰有k件的概率件的概率(0 k min(M,n) .这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样.解：令解：令B=“恰有恰有k件次品件次品”.( ).knkMNMnNMNMC CknkP BNCn 次品正品M件件次品次品N-M件件正品正品48例例 6 设有设有n个球，每个球都以同样的概率个球，每个球都以同样的概率1/N落入到落入到N个格子个格子(Nn)的每一个格子，试求的每一个格子，试求(1)A = “某指定的某指定的n个格子中各有一球个格子中各有一球” 的概的概率率.(2)B = “任何任何n个格子中各有一球的概率个格子中各有一球的概率.!)()1(nNnAP 解：解：