不定方程的整数解问题及其方法简介(含答案)

1、专题三：不定方程的整数解问题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制(如要求是有理数、整 数或正整数等等)的方程或方程组。数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、 方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。在本专题中我们一起来学习 不定方程整数解的一些解法技巧。【基础知识】1 1 不定方程整数解的常见类型：(1 1 )求不定方程的整数解；(2 2 )判定不定方程是否有整数解；(3)判定不定方程整数解的个数(有限个还是无限个)。2 2 解不定方程整数解问题常用的解法：(1 1 )代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数

2、法、换元法(参数法)等；(2 2 )奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；(3 3 )构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；(4) 枚举法：列举出所有可能的情况；(5) 不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；(6) 无穷递推法。【典型例题分析】一、代数恒等变形1 1 因式分解法【例 1 1】已知x, y都是整数，且满足xy 2 = 2(x y)，求x2y2的最大值. .分析：由xy 2=2(x y)，得(x-2)(y-2) =2-2 = 2x2=11-2 = -2x2 = 1因为(x-2),(y-2)都是整数，

3、所以，或，或，或2=12=2 2=-1 2=_2Xx=4Xx=3Xx=OXx=1解得，或，或，或)=3)=4、y = 1y=O故x2y2的最大值为 2525注：一般地，整系数a,b, c,d的二次方程axy bx cy 0,可变形为：a2xy abx acy ad = 0分解，得(ax c)(ay b)二bead. .求整数解时，只需把整数(bc_ad)分解成两个整数的积，ax + e =转化为解几个方程组，(这厶#=bc-ad)来解，通过取舍求出符合题意的整数解。ay + b = #【例2 2】求方程x2- y2 3x _7y -2 = 0的整数解(x, y). .分析：原方程可化为4x2-

4、4y2 12x-28y-8 = 0,配方得(2x 3)(2y 7)230所以(x y 5)(x_y _2) = -8因为(x y 5)和(x - y - 2)的奇偶性不同/曰x y 5- -8x y 5- -1x y 5 = 8x y 5=1得，或，或，或x_y_2=1xy_2=8xy_2 = -1x_y2= _8解得：(x,y)=(-5,-8),(2, -8),(2,1),( -5,1)2 2、配方法【例 3 3】求3x2xy y3x 2y=0的非负整数解(x, y)的组数为()A A、0 0 B B、1 1 C C、2 2 D D、3 3分析：由3x2xyy2-3x 2y = 0，配方得4

5、x2(x-3)2(x y)2(y2)2= 13当x _2时，左边_4x2_1613当x 0时，左边_(x-3)2-1613所以x = 0或 1 1当x=0时，代入原方程得y=0当x =1时，代入原方程得y =0或-3因此共有 3 3 组非负整数解. .3 3、分离整数法分析：由x_y 3=0,ax_y_a=0，得x=-_ - -1为整数1 -a1-a根据整除性质，可知：1_a1,_2, _4，即a -一3,一1,0,2,3,5共 6 6 个值. .【例 5 5】求x(x_1) xy y =51的正整数解2x x 51(-x 2)(x 1) 49 / c、49解：原万程可化为y(_x - 2)x

6、+1x+1x + 149因为x为正整数，且 竺 是整数，所以x1=7或 4949,即x=6或 4848X +1当x = 6时，y =3；当x =48时，y - -45 : 0舍去故所求正整数解(x, y) =(6,3)4 4、换元法4020【例 6 6】 已知：x, y为整数，且y =-；，求y的最大值为Jx+2009 -Jx -2011分析：原方程可化为y = Jx 2009x - 2011,令a二、x 2009, b二x-2011, 则y二a b(a2-b2=(x 2009)-(x-2011) = 40202.(a b)(a -b) =23 5 67因为(a b),(a -b)具有相同的奇

7、偶性，且都是正整数 故y =a b的最大值为2 3 5 67 =2010. .二、奇偶分析法【例 7 7】证明方程x2y2-8z =6无整数解. .分析：不妨设原方程有整数解，因为x2y2=68z为偶数，所以x, y具有相同的奇偶性若x, y都是偶数，令x=2a,y =2b，代入原方程，化简，得2a2，2b2-4z=3，左右奇偶数不同,矛盾。若x, y都是奇数，令2a 1,2b 1，代入原方程，化简，得a(a 1) b(b 121【例 4 4】已知x, y是整数，满足x-y ,3=0, ax-y-a=0，则整数a的所有可能值有()个A.A. 4 4B.B. 5 5C.C. 6 6D.D. 8

8、8因为a(a 1),b(b 1)都是偶数，所以上式左边为偶数，右边奇数，矛盾综上，原方程无整数解。【例 8 8】求x2- y=328的正整数解. .分析：显然x = y，不妨设x . y 0，由于 328328 是偶数，故x, y的奇偶性相同，而 328328 能被 4 4 整除，偶数 的平方被 4 4除余 0 0，奇数的平方被 4 4 余 1 1 所以x, y都是偶数. .设x =2a,y =2b，则a2b2=82，由a b 0,得b2：41，取b2= 1,4,9,16,25,36对应a2=81,78,73,66,57,46，故只能取a2=81,b2=1，即a =9,b=1由x, y的对称性

9、，因此所求正整数解(x, y) =(18,2),(2,18). .三、构造法如构造一元二次方程， 利用根的判别式和韦达定理等性质进行讨论， 且当方程有整数解时，判别式为 完全平方式。【例 9 9】已知a,b都是质数，且a2-13a m = 0,b2-13b m = 0，求m的值. .分析：若a =b =2，贝U 4-26 m =0，即卩m=22；若a = b，则a,b可看作关于x的一元二次方程x2_13x m = 0的两个根. .由韦达定理，得a b =13,ab = m而a,b都是质数，由a b =13，故a,b的值只能是 2 2 或 1111，所以m = 22因此，所求m的值为 2 2 或

10、 22.22.【例 1010】已知a,b,c是整数，且满足a b =3,c2-2c ab = -2，求a, b, c的值。分析： 由a b =3,ab=-c2 2c-2， 可构造以a,b为根的一元二次程t2-3t - c2 2c - 2 = 0根据题意&=9-4(-c2 2c-2)=4c2-8c 1(22)213是一个完全平方式，因此存在非负整数k，使得(2c - 2)2 13 = k2，即k2-(2c - 2)2= 13”3k 3 7亠所以t，即a =5,b - -2，或a - -2,b =52 2故所求正整数(a,b,c) =(5,-2,4),( -2,5,4),(5, -2, -

11、2),( -2,5, -2)四、枚举法【例 1111】方程x y 2010共有多少个正整数解？分析：当x二k(k =1,2,3, H 1,2008)时，y z =2010 -k，此时y可取 1 1 到(2009 -k),一共(2009 -k)个解. .又x可取 1 1 到 20082008,所以k 213Ik2c + 2 = 1亠k 2c-2 =1，或Ik2c + 2=13，解得7,c = 4、(2009 -k) =2009 2008 28 29=2017036个正整数解。k 42注：方程x y z =n(n N且n _ 3)的正整数解个数为:故原方程一共有n 2 (n _1 _k)二(n _

12、1)(n _2)k 1(n - 2)( n-1)2(n -2)(n-1)- 2思考：方程x y 2010的非负整数解共有多少个?【例 1212】求方程3x2 7xy-2x-5y-35 = 0的正整数解. .分析：2对于正整数x, y，由原方程得到y -7x 5因为x _1,y _1，所以3x2 2x 35 _7x 5，解得1乞x空2分别取x = 1和x = 2，得到y =17和y =3即所求的解为(x,y) =(1,17),(2,3)注：本题也可以通过分离整数法进行讨论. .【例 1313】求方程5(xy - yz - zx) = 4xyz的正整数解(x,y, z)为多少组?1114分析：原方

13、程化为x y z 5 111143设x_y_z, ,由，得1:：x 4，所以x = 2,3. .x x y z 5 x11311132当x=2时，代入式，得丄丄由- -1-，y z10 y yz10 y得3：y：7 7，所以y =4,5,6将x = 2及y =4,5,6分别代入式，得到所求的解(x,y,z) =(2,4,20),(2,5,10)当x = 3时，代入式，同样的方法可以推出，方程无整数解. .综上，及x,y,z的对称性，得到原方程有 1212 组正整数解. .六、无穷递推法五、不等式分析法利用整数性或不等关系，确定出方程解的范围5 5、方程xy|+|x + y|=1的有序整数解(x

14、,y)共有组. .【例 1414】试证明方程：x2y2z2= 2xyz无非零整数解. .分析：我们只需考虑x,y,z都是正整数. .显然x, y,z不能都是奇数，或一奇二偶，否则左边为奇数，而右边是偶数，矛盾。若x, y, z是二奇一偶，不妨设x = 2a 1, y = 2b 1, z = 2c,则方程左边=x2y2z 4(a2a b2b c2) 2不是 4 4 的倍数，而右边是因此x, y, z只能都是偶数，不妨设x = 2xi, y = 2%, z = 2z),代入原方程，得x-iyizi=4为叶乙.类似于前面的讨论，可以证明x1, y1, zl都是偶数。如此继续下去，我们可得到：x =

15、2k人，y = 2kyk, z = 2k厶由于上述过程可以无限地进行下去，因而k将无限地增大，即正整数Xk,yk,Zk将无限地小下去，这是不可能的。故原命题得证. .【针对性训练题】A 组1 1、已知x, y满足xy - x - y = 10，求整数x, y的值. .xy yz = 632 2、 方程组的正整数解的组数是()、xz + yz =23,A.A. 1 1 组 B.B. 2 2 组C.C. 3 3 组D.D. 4 4 组3 3、 已知关于x的一元二次方程x22(a 2b 3)x (a24b264 0无实数根,a,b的值. .24 4、已知a, b,c都是整数，且a -2b=4,ab

16、c -1=0，求a b c的值. .4 4 的倍数，矛盾。求满足条件的正整数6 6、设自然数x, y满足方程x319y = y3- 19x，其中x：y，则x y二_2 _ _7 7、 试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx (r 2)x r -1=0有根且只有整数根B 组8 8、已知a, b,c都是正整数，且满足29a 30b 31c 366，则a b c的值为()A.A. 1010 B.B. 1212 C.C. 1414 D.D. 16169 9、一直角三角形两直角边a,b均是整数，且满足am 2，试求这个直角三角形的三边长ab = 4m1010、 已知：a为自然数，且关于x的方程2x-a. 1-X-a 4 = 0至少有一个整数根，则为_ . .x + 3y 2z = 01111、 已知三个正整数x, y, z的最大公约数为 3 3,且满足222，则x y z =2x -3y +z =01313、已知a, b, c均为整数，且恒有(x -a)(x -10) (x b)(x c)，则整数a =_a可能的值1212、已知a,b为整数，且满足a2+b2-5a-6b-3c + 15 = 0a 3c - 4 = 0求abc的值. .2 11414、已知正整数x, y满足a（a为正整数），求x, y的值. .x y1515、