离散型随机变量的期望和方差1 人教版

1、离散型随机变量的离散型随机变量的期望与方差期望与方差、 k k表示表示（其中其中p p表示某事件发生的概率，表示某事件发生的概率，q qp p）n n次独立重复试验中某事件次独立重复试验中某事件恰好发生的次数恰好发生的次数随机变量随机变量的概率分布的概率分布(某事件具体何时发生不定某事件具体何时发生不定,但发生但发生k次次) 0 01 12 2k kn nP PnnqpC00111 nnqpC222 nnqpCknkknqpC 0qpCnnn、 k k表示表示k k次独立重复试验中某事件次独立重复试验中某事件第一次发生第一次发生 1 12 2k kP P1pqppqk 1 （某事件必在第某事件

2、必在第k次发生次发生,前前k-1次不发生次不发生）),;(pnkb),(pkg(甲得分甲得分)45678910P0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22(乙得分乙得分)567891011P0.11 0.03 0.05 0.38 0.32 0.10 0.01资料表明：资料表明：花落谁家？花落谁家？这是一次难这是一次难得的机会得的机会! !甲甲非我莫属非我莫属! !乙乙思考：评分标准是什么？是不是看最高分？思考：评分标准是什么？是不是看最高分？ 不是。平均分不是。平均分平均分如何计算？平均分如何计算？(甲得分甲得分)45678910P0.02 0.04 0.06 0.0

3、9 0.28 0.29 0.22下面就来算一下甲在比赛中的平均得分情况下面就来算一下甲在比赛中的平均得分情况设进行设进行n n次比赛次比赛P(=4)n=_次得次得4 4分分_次得次得5 5分分_次得次得1010分分0.02n0.04n0.22nP(=5)n=P(=10)n=则甲则甲n n次比赛中总分数为次比赛中总分数为4 40.020.02n+5n+50.040.04n+10n+100.220.22n n=n(4=n(40.02+50.02+50.04+100.04+100.22)0.22)则则n n次比赛中平均分数等于：次比赛中平均分数等于：4 40.020.02+ +5 50.040.04

4、+10100.220.22=8.32得得分分的的总总次次数数得得某某分分的的次次数数 )(ApE(甲得分甲得分)45678910P0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22(乙得分乙得分)567891011P0.11 0.03 0.05 0.38 0.32 0.10 0.01这是一次难这是一次难得的机会得的机会!这是一次难这是一次难得的机会得的机会!资料表明：资料表明：花落谁家？花落谁家？E= 40.02+50.04+100.22 =8.32E=8.11称它为乙比赛所得分数的称它为乙比赛所得分数的期望期望。它刻划了随机变量的取值的它刻划了随机变量的取值的平均值平均值。

5、反映了运动员的得分水平反映了运动员的得分水平,是判断依据是判断依据1 1、数学期望、数学期望一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为 P P1x2xnx1p2pnp则称则称 nnpxpxpxE2211 为为 的数学期望的数学期望又称为期望，它又称为期望，它反映了反映了离散型随机变量取值的离散型随机变量取值的平均水平平均水平或平均数、均值或平均数、均值说明：说明：1)1)期望是算术平均值的概念的推广期望是算术平均值的概念的推广, ,是概率意义下的平均。是概率意义下的平均。2)E2)E是一个实数是一个实数, , 由由 的分布列唯一确定，的分布列唯一确定，即作为随机

6、变量即作为随机变量 是是可变可变的，的， 而而EE是是不变不变的。的。 的求法。的求法。给出了给出了 EpxpxpxEnn 22113即即随机变量取值与随机变量取值与相应相应概率值乘积概率值乘积的和。的和。 x x1 1 x x2 2 x xn nP Pp p1 1p p2 2p pn n x x1 1 x x2 2 x xn n x x1 1x x2 2x xn n axax1 1+b+baxax2 2+b+baxaxn n+b+b P P p p1 1 p p2 2 p pn n axax1 1+b+baxax2 2+b+b axaxn n+b+b P P p p1 1 p p2 2 p

7、pn n 的分布列：的分布列：在在 =a+b中：中：ax1+bax2+baxn+b若若 为离散型随机变量为离散型随机变量 , ,则则 也为离散型随机变量也为离散型随机变量一一一一对对应应 axax1 1+b+baxax2 2+b+b axaxn n+b+b P P 1p2pnp 的分布列：的分布列：baEbaEE )(随机变量随机变量 的线性函数的线性函数=a+ba+b的期望等于随机变量的期望等于随机变量 期望期望的线性函数。的线性函数。3)3)当当b=0b=0时时,E ,E ( ( aa ) )=a =a EE2)2)当当a=1a=1时时, ,E E ( ( +b+b)=)=E E+b+b1

8、)1)当当a=0a=0时时, ,E E(b(b)=b)=b常数与变量常数与变量乘积的期望等于常数与变量乘积的期望等于常数与变量期望的乘积期望的乘积常数的期望就是常数本身。常数的期望就是常数本身。变量变量与常数之和的期望等于与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和的期望与这个常数的和例例1 1：篮球运动员在比赛四每次罚球命中得：篮球运动员在比赛四每次罚球命中得1 1分，罚不中分，罚不中得得0 0分，已知某运动员罚球的概率为分，已知某运动员罚球的概率为0.70.7，求他罚一次的，求他罚一次的得分得分 的期望。的期望。解：运动员所得分数的概率分布为解：运动员所得分数的概率分布为 0 01 1P PE

9、E=0=0P(=0)+1P(=0)+1P(=1)P(=1)=0=00.3+10.3+10.7=0.70.7=0.7步骤：步骤：(1)(1)列出相应的分布列列出相应的分布列(2)(2)利用公式利用公式 nnpxpxpxE2211 0.30.7例例2 2：随机抛一个骰子，求所得的点数：随机抛一个骰子，求所得的点数 的期望。的期望。 1 12 23 34 45 56 6P P1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6解：抛掷解：抛掷 骰子所得点数骰子所得点数 的概率分布为的概率分布为616615614613612611 E 61654321 5 . 3 P P

10、例例3 3：有一批数量很大的产品，其次品率是：有一批数量很大的产品，其次品率是15%15%，对这批，对这批产品进行抽查，每次抽出产品进行抽查，每次抽出1 1件，如果抽出次品，则抽查终件，如果抽出次品，则抽查终止止, ,否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过过1010次，求抽查次数次，求抽查次数 的期望的期望( (结果保留三个有效数字结果保留三个有效数字) )解：抽查次数解：抽查次数 的分布列为的分布列为1 12 29 910100.150.15 ,15. 085. 01 kkp )9,3,2,1( k 985. 010 p=5.35=5.

11、3515. 085. 01 15. 085. 08 985.0EE=1=10.150.15+2+2+10+1015. 085. 01 985.0练：练：P12 14小结：小结：1 1、期望的含义：、期望的含义：3 3、求期望的步骤、求期望的步骤 ：4 4、随机变量函数、随机变量函数=a+ba+b的期望的期望 nnpxpxpxE2211 (1)(1)列出相应的分布列列出相应的分布列(2)(2)利用公式利用公式baEbaEE )(它反映了离散型随机变量取值的平均水平它反映了离散型随机变量取值的平均水平2 2、期望公式：、期望公式：作业：作业：P15 P15 习题习题 1 1 4 4思考题：思考题：假设一部机器在一天内发生故障的概率为假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.20.2，机器发生故障时，全天停止工作。若一周机器发生故障时，全天停