闪亮的日子---异曲同工刘红升文档

1、闪亮的日子-“异曲同工山东青岛胶州实验中学数学组文U红升2022622不知是巧合还是注定！本身在高考前的两次重要考试中与高考题如此之接近已经难得！更巧得是在高考前7天的热身考试中将2022胶州期末考试理科 21题重新放于试卷让学生又做了一遍；更更巧的是在高考前 2天给学生的“超级易错集锦中将 2022年3月青岛一摸数学理科卷 21题第3次让学生体会完成，并强调了 “圆与椭圆 问题！我有一种想法：2022高考胶州的考生很幸运！文档来自于网络搜索2022胶州期末考试理科 21题2椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，点Fl、F2分别是椭圆的左、右焦点，在直线 x= a、c分别 c为椭圆的长半轴和半焦

2、距的长上的点P 2, J3，满足线段PFi的中垂线过点 F2,直线l：y=kx+m为动直线，且直线l与椭圆C交于不同的两点 A、B.文档来自于网络搜索1求椭圆C的方程；2假设在椭圆C上存在点Q,满足OA OB =，OQ O为坐标原点，求实数入的取值范围.分析：此题假设不深入运算从理论分析的话感觉条件不够，共 ,k,m三个未知量，而只有一个等式4km2 2 2一2 =2,和一个不等式 >0条件似乎不够，但又找不出其他条件！很巧，前者1 2k 1 2k 得到4m 21 2k2.后者得到1+2k2-m2>0,两者恰好将 m,k同时消掉！有点“且战且看的感觉，说明出题者的设计“巧夺天工 ！

3、文档来自于网络搜索21.解：1设椭圆C的方程为2 2 x_. y_ a2 b2= 1(a b0),半焦距为c,依题意有|PF|=|F1F2|=2c2a _2T"2<2c)2-(2-c)2=3,解得丿c =1=.2，2b=1. 所求椭圆方程为 y2 =1.4分2y = kx +m22(2)由丿 22得(1+2k2)+4kmx+2m2 2 = 0.iX2 +2y2 =24 kmX1 x2 2 ,设点A、B的坐标分别为A(X1, y“、B(X2,y2),1 2k22m2 -2X1X27.1 2k2y1 y2 =k(x1 x2) 2m =2m1 2 k2当m=0时，点A、B关于原点对称

4、，那么 入=0.当mz 0时，点A、B不关于原点对称，那么入工0.XqI II由 OA +0B =hOQ,得十区+乂?)，Xq丸即彳二一(力 y2) yki4 km=(1 2k2)2m(1 2k2)点Q在椭圆上，.有于2浮2二2y化简得 4m2(i+2k2)= 2(1 - 2k2)2. v 1 2k2 =0,有4m2 三；2(1 2k2).(*)T直线与椭圆交于不同的两点，=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2+1-m2) /. (1+2 k2-m2)>0,文档来自于网络搜索2 2 2 2 2 2 1+2k >m .(*)(10 分)由(*) ( * )可得 4

5、m > 九 m .v mz 0, .扎 <4,那么一 2 wU且丸式 0.综上，实数，的取值范围是(-2,2). 12分(2022年3月青岛一摸数学理科卷21题)2A, B,C均在椭圆M y2 "(a 1)上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F?，当aT 2AC F1F2 =0 时，有 9AF1 AF2 二 AR .(I )求椭圆M的方程；(n )设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N :x2 +(y2丫 =1的任一条直径，求PE PF的最大值.分析：此题有很多亮点与启示！1, 形式上采用“圆与椭圆，及表达山东考试说明对“椭圆“掌握的要求又通过“圆表达“理解数形结合思

6、想！十分耐人寻味！作为一道经典好题我要求学生在高考前做了3遍，每一次都觉得味道非凡！文档来自于网络搜索2, 表达出“圆(数形结合)与椭圆的不同处理方式，而且没有运用“韦达定理而是直接利用方程。学生一般对直接联立利用韦达定理的题目处理较顺手，但是对直接利用方程解决的题目反而不知所措！类似典型题目有 2007上海高考题21题！文档来自于网络搜索3, 表达“向量与“解析几何较深的交汇考查，应该说“圆和“向量都是“数形结合的精灵！其实高考中表达“掌握椭圆，抛物线“理解数形结合思想的考察方式也很有可能通过与向量较深的交汇来实现！文档来自于网络搜索4, 第一问合理运用向量知识(向量投影)可以降低运算量，运

7、算能力是山东考试说明要求的第一能力！应该说运算能力中适当的运算技巧尤其是化简降低运算量的技巧应该重视，如换元法(在2022山东文第2问,2007全国22题，2007安徽21题等均重点考察，尤其是2022山东理科22题第2问！)数形结合运算，向量的几何运算平行四边形法那么，三角形法那么，数量积的几何意义等！文档来自于网络搜索5, 题多解，变化无穷！其实此题引发两个方向的思考：一是“圆与椭圆的形式；二是“向量的较深数形结合考察；这两个方向均符合“山东考试说明：掌握椭圆，抛物线；理解“数形结合思想；其余均是“了解。尤其是后者，在今年已经考察了前者的背景下更显得敏感！当然鉴于2006, 2007，20

8、22连续三年山东高考理科卷对于一次Ln次，二次 Ln次，三次 Ln 次，类似幕函数ln的深刻的“美丽的“经典的甚至是“无与伦比的考察，我们也同样期待对于“圆和椭圆甚至“圆和圆锥曲线同样精彩继续，又有一段“传奇佳话呢？文档来自于网络搜索法一：因为AC F1F2 =0 ,所以有 AC _ F1F2 - | AF-i cosFrAF? = AF2 222二 AF- = AF-所以AAFiFz为直角三角形;那么有 9AFr AF2 =9 AFAF2cos FrAF2 =9AF 所以，AfI =3疋又 AFr + AF2在AF1F2中有Af2二AF2|彳忌4(a2 -1)，解得 a2 =2X22所求椭圆

9、m方程为 y =1 6分2(n)解:法一：PE PF = NE-NP NF - NP二- NF - NP NF - NP 二- NP? NF?二 NP? 一1 -2从而将求PE PF的最大值转化为求 NP的最大值8分22 2 2 P是椭圆M上的任一点，设 P xo, yo，那么有 -yo =1即X。=2-2y°2222又 N(0,2 )，所以 NP =x。2 +(y。_2) =(y°+2) +10 10分而y0 L1,11 ,所以当y0 = -1时，NP2取最大值9故PE PF的最大值为8 12分2法二：P是椭圆M上的任一点，设P x0,y0，那么有仏，y02=1即x02y

10、022设 E(s,t)，根据题意有 F(-s,4-t) , s2，t2-4t-3PE =(s-x°,t -y°),PF = (-s-x°,4-t -y°)那么 PE PF = x/ - s24(t - y0) -t2 y022 2 2 2 2 2 2-Xoy。-4y。_(s t -4t) =Xoy。_4y。 3 = (y° 2)9而y。 L1,1 1,所以当y。二-1时，故PE PF的最大值为8比照高考神奇巧合！巧夺天工!2022山东高考数学理科卷222 2O为坐标原点,设椭圆 E:务爲=1 a,b>0过 M 2,2 ，N , 6 ,1两

11、点,a b恒有两个交点a,b,且OA _ OB ?假设I求椭圆E的方程；II 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E文档来自于网络搜索存在，写出该圆的方程，并求 | AB |的取值范围，假设不存在说明理由。分析：一 “不谋而和与2022青岛一摸21题相比，在圆和椭圆交汇上“不谋而合 ！此题属于探究是 否存在的问题，主要考查了椭圆的标准方程确实定，直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.应该说这道题是考前我认为的必考题！我在考前屡次与同学们分析：今年解析集合大题很可能形式上是“园与椭圆理由：解析 几

12、何只有“椭圆与抛物线是要求掌握！而2022已经考察了“抛物线 ！至于为甚麽会将圆交汇，原因之一 “考试说明最后一句“通过解析几何理解数形结合思想而圆与向量是数形结合的绝好载体！原因之 二青岛一摸理科 21题给我们一种强烈的预感！由于考前屡次强调圆的处理方式与椭圆不同，相信学生会在此题受益，只是可惜这是 22题，很多学生时间不多了！尽管答案未给出，实际上最后一问在求AB是充分利用圆及 OA_OB等条件结合“射影定理很简单就能算出！说明了圆的问题尽量用“数形结合！可以说今年的压轴题是“意料之中！而且相对于“向量的较深数形结合考察来说继续沿着“圆和椭圆甚至“圆和圆锥曲线的方向开展的概率也很大！曾经的

13、2006，2007，2022连续三年山东高考理科卷对于一次 Ln次，二次 Ln 次，三次 Ln 次，类似幕函数7n的深刻的“美丽的“经典的甚至是“无与伦比的考察，使我们有理由也同样期待对于“圆和椭圆甚至“圆和圆 锥曲线的又有一段“传奇佳话！可以说“圆来考“数形结合，椭圆来考“方程运算是相映生辉，相得益彰！文档来自于网络搜索二 “异曲同工-在运算设置上与2022胶州期末21题又“异曲同工 ！今年的高考题中第 2问里:涉及3个变量r,m,k，其实只有2个等式:OA_OB,使x,x2 ym",即也 8 m 8k-1 +2k1+2k线y =kx m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为以

14、及一个不等式一个不等式 >0。似乎感觉也是条件不够，其实很多学生可能以为还有条件未找到，但又找不出，其实此时“且战且看也许结果是有设计的也未可知！果然，第1个等式得：3m - 8k -8 = 0 ；第2个等式:22 mr21 k22m,3m2-838，恰好同时消去了 m,k!真真与2022胶州期末21题完美的“异曲同工，令人叹为观止!2 2 _ _文档来自于网络搜索解:1 因为椭圆 E: 当=1 a,b>0过 M 2， . 2 ，N、6,1两点, a b42,11 + T=1=7=822所以ab 解得a8所以 椭圆E的方程为-y 12 .丄t 丄一丄b484a2 b2 _b2 _4

15、2法一假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA _ OB ,y = kx m设该圆的切线方程为y = kx m 解方程组 x2 y2得 x2 2kx m 8 ,即 + =4841 2k2x2 4kmx 2m2 -8=0 ，文档来自于网各搜那么厶=16k2m2 -41 2k22m2 -8 =88k2 -m2 4 - 0，即 8k2 - m2 4 0T T假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA _ OB，设该圆y 二 kx m3的切线(1 2k2)x2方程为 y=kxm解方程组x2v2得x2 2(kx m)81.84

16、2+4kmx+2m 8=0,文档来自于网络搜索2 2 2 2 2 2那么厶=16k m -4(1 2k )(2m -8) =8(8k -m 4) . 0 ,即 8k4 kmX1 X221 2k222m -8X1X2I 1 +2k22y1y2 =(kx1 m)(kx2 m) =k x(x2 km(Xj x2) m2 2k (2 m -8)21 2k2 24k m21 2k2 22 m -8k21 2k2 2m 8k220 ,所以 3m2 -8k2 -8 = 0 ,所k23m2 -8_0 又 8k2-m2 4 0 ,所以m2 2，所以m2 _ § ,即m _厶6或m _3m2 兰 83一

17、6,因为3条切线,所以圆的半径为r =-=+k22m1 k22m1 3m2 -88三6,所求的圆为x34,此时圆的切线y = kx m都满足m乙6或m -乙6 ,而当切线的斜率不存在时切线为33x与椭圆32 2x =1的两个交点为8碑,年或2、6 2、6亍一p满足OA OB,综上,存在圆心在原点的圆x2y28，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A,B,且OA _ OB .文档来自于网络搜OA _ OB ,需使捲 x2 y1 y2 0 ,即f21+2k21+2k2X24 km因为1 2k22m - 8X1X22-1 21 2k2所以(xrxjFx1 X2-4x1x2 十晋)2 2 2,

18、2m -88(8k -m 4)-4 -1 2k(1 2k2)2| AB|w：(X1 X2)2屮-甘：=(1 k2)% X2)22 2(1k2)8(8k-m4)(1 2k2)232 4k4 5k2 132k23 4k4 4k2 13 1 4k4 4k2 1，当 k 式0时| AB |= l321 +1214k22 4k22 1因为4k Q所以0<11兰一,2184k 2 4 k2<12,12 14k22 4k2所以4AB"3当且仅当 当 k =0时,| AB| = 4 63当AB的斜率不存在时，两个交点为三，一三！或-空，一乂,所以此时|AB|=辽33综上AB |的取值范围为AB|兰2巧 即:| AB4V6, 2/3332法二由于题目中“使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A,B,且OA丄OB ，故可以先通过特殊情况直线斜率不存在时候将圆的方程先解出,利用此时直线与圆的交点分别为r,r,