2019-2020年高中数学知识精要15.解析几何-直线与圆教案新人教A版

1、2019-2020 年高中数学知识精要 15.解析几何-直线与圆教案 新人教 A 版1、直线的倾斜角：（1） 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合 或平行时，规定倾斜角为 0；（2）倾斜角的范围。如（1）直线的倾斜角的范围是 _（答：）；（2）过点的直线的倾斜角的范围值的范围是_（答：）2、直线的斜率：（1） 定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即=tan（工90 ）;倾斜角为 90的直线没有斜率；（2） 斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（3）直

2、线的方向向量，直线的方向向量与 直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：。提醒：（1）直线的倾斜角 a 一定存在，但斜率不一定存在。（2） 直线的倾斜角与斜率的变化关系：若直线存在斜率k,而倾斜角为 a，则 k=tan a.当倾斜角是锐角是，斜率 k 随着倾斜角 a的增大而增大。当 a是钝角时，k 与 a 同增 减.（3） 斜率的求法： 依据倾斜角：牢记图像依据两点的坐标：依据直线方程：当已知 k,求倾斜角 ak 0 时，a =arctank ； kr二（X3a）+（y0b）r； （2）点 M 在圆 C 内CM| cr二* a） +（y b） x+E2y+C2=0.把两式相减得相交弦所在

3、直线方程为：（D1-Dx+（E1-Ey+（C1-C2）=0注意：两圆相切要区分内切还是外切11、 圆的切线与弦长：（1）切线：过圆上一点圆的切线方程是：，过圆上一点圆的切线方程是：（x -a）（x0-a） （y -a）（y。-a）二R2，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；2从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；3切线长：过圆x2y2Dx Ey F = 0（）外一点

4、所引圆的切线的长为,x02y。2Dx。Ey。F（）；如设 A 为圆上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则 P 点的轨迹方程为 _ （答： ） ；（2）弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；过两圆、交点的圆（公共弦）系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程。12.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用（如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等）!圆心在过切点垂直于切线的直线上垂径定理：弦的垂直平分线过圆心（弦的中点与圆心的连线垂直弦所在的直线）弦心距的 d、半径 r、弦长 I 的关系是什么？1

5、2.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。（04 年全国卷三.文 16）设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为.点评：通过参数法，将几何问题转化为三角值域研究也可设切线，由求出 C,最后由两平行线间距离公式求出最小值 注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解2019-2020 年高中数学知识精要 16.解析几何-圆锥曲线教案 新人教 A 版1. 圆锥曲线的定义：（1）定义中要重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中，与两个定点 F, F 的距离的和等于常数，且此 常数一定要大于，当常数等于时， 轨迹是线段 FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F，F 的距离的差的

6、绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与 V |FF|不可忽视。若=|FF|，则轨迹是以 F, F 为端点的两条射线，若 |FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线 .开口向下时。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1） 椭圆：由，分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，贝 U m 的取值范围是 _ （答：）（2）双曲线：由，项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：

7、焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F, F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数， 确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先 要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。4. 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0 ），四个顶点，其中长轴长为 2,短轴长为 2;准线：两条准线；离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。女口（ 1）若椭

8、圆的离心率，则的值是 _（答：3 或）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶 点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为 （答：）（2）双曲线（以（）为例）：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0 ），两个顶点，其中实轴长为 2，虚轴长为 2,特别地，当实轴和虚轴的长 相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线；离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。如（1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于 _ （答：或）；（2）_ 双曲线的离心率为，则 = （答：4 或）；（3）设双曲线（a0,b0 ）中，离心率

9、 e ,2,则两条渐近线夹角 0 的取值范围是 _ （答:）；（3）抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0 ）;准线：一条准线；5_离心率：，抛物线。如设，则抛物线的焦点坐标为 _ （答：）；5. 点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上=1；（3）点在椭圆内6 直线与圆锥曲线的位置关系 ：（1） 相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交 的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线

10、相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线 与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交 的充分条件，但不是必要条件。 女口（ 1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_ （答：（-,-1）；（2） 直线 ykx 仁 0 与椭圆恒有公共点，贝 U m 的取值范围是 _ （答： 1， 5） U（5，+8）;（3） 过双曲线的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若|AB|= 4,则这样的直线有 _条（答：3）；（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲

11、线相离；直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（2）过双曲线=1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两 条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的 直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一

12、条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行 于对称轴的直线。如（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有 _ （答：2）；（2） 过点（0,2）与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 _ （答： ） ；（3） 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B 两点，若 4,则满足条件的直线有 _ 条（答: 3）；（4）对于抛物线C:，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线 C 的位置关系是 _（答：相离）；（5） 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于_ P、Q 两点，若线段 PF 与

13、 FQ 的长分别是、，则（答：1）；（6）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为 _ （填大于、小于或等于）（答：等于）；（7）求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；（8）直线与双曲线交于、两点。当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？（答：；）；7、 焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义， 转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P 到与 F 所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为 _（答：）；（2）

14、 已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距J _?（3） 若该抛物线上的点到焦点的距离是4,则点的坐标为 _ （答：）；（4）点 P 在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为 _ （答：）；（5） 抛物线上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到轴的距离为 _ （答：2）；（6） 椭圆内有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M 使之值最小，则点 M 的坐标为 _（答：）；8、 焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为

15、，焦点的面积为，则在椭圆中，二，且当即为短轴端点时，最大为二：，当即为短轴端点时，的最大值为、120be；对于双曲线的焦点三角形有：；Sr1r2si- b2cot。女口（ 1）短轴长为，离2 2心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于AB 两点，则的周长为 _ （答：6）；（2）设 P 是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（答：）；（3）椭圆的焦点为 R、F2,点 P 为椭圆上的动点，当 PF2 PF10 时，点 P 的横坐标的取值范围是 _（答：）；（4）双曲线的虚轴长为 4，离心率 e=, F1、F2是它的左右焦点，若过 F1的直线与双曲线的

16、左支交于 A、B 两点，且是与等差中项，则=_（答：）；（5）已知双曲线的离心率为 2, F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且，.求该双曲线的 标准方程（答：）；9、 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线 相切；（2）设 AB 为焦点弦，M 为准线与 x 轴的交点，则/ AMF=Z BMF （ 3）设 AB 为焦点弦，AB 在准线上的射影分别为 A, B,若 P 为 AB 的中点，贝UPAL PB; （4）若 A0 的延长线交准线 于 C,贝UBC 平行于 x轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，贝UA, 0, C 三点

17、共线。10、 弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点 A、B,且分别为 A、B 的横坐标，则=，若 分别为AB的纵坐标，则=，若弦 AB 所在直线方程设为，则=。特别地，焦点弦（过焦点 的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 如（1）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A （X1, yj , B （沁,y2）两点，若 X1+X2=6,那么|AB|等于_（答：8）； （2）过抛物线焦点的直线交抛物线于AB 两点，已知|AB|=10 , O 为坐标原点，贝U ABC 重心的横坐标为 _（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：

18、遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率 k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。女口( 1)如果椭圆弦被点 A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 _(答：);(2)已知直线 y= x+1 与椭圆相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线 L: x 2y=0 上， 则此椭圆的离心率为 _ (答：);(3)试确定 m 的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称(答：);特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！12.你了解

19、下列结论吗？(1) 双曲线的渐近线方程为；(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数，工0)。如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为 _ (答：)(3) 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；(4) 椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为，焦准距(焦点到相应准线的距离)为，抛物线的通径为，焦准距为；(5) 通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦；(6) 若抛物线的焦点弦为 AB,则；(7)若 OA 0B 是过抛物线顶点0 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点13.动点轨迹方程：(1) 求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围

20、；(2) 求轨迹方程的常用方法：1直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程.(答：y2- -12(x-4)(3 _ x _4)或)；2待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M( m 0),端点AB 到 x 轴距离 之积为 2m,以x 轴为对称轴，过 A、O B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 _(答：)；3定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点 P 向圆作两

21、条切线 PA PB,切点分别为 A、B,/ APB=60,则动点 P 的轨迹方程为_ (答: )； (2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线的距离小于 1，则点 M 的轨迹方程是 _(答：)；(3) 一动圆与两圆 O M:和 O N:都外切，则动圆圆心的轨迹为 _ (答：双曲线的一支)；4代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P 是抛物线上任一点，定点为，点 M 分所成的比为 2,贝 U M 的轨迹方程为 _ (答:)；5参数法： 当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将

22、均 用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。如(1) AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a, M 为圆上一动点，作 MNLAB 垂足为 N,在 OM 上取点，使，求点的轨迹。(答：)； (2)若点在圆上运动，则点的轨迹方程是_ (答: )； ( 3)过抛物线的焦点 F 作直线交抛物线于AB 两点，则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是 _(答:)；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆的左、右焦点分别是 F1( c, 0)、F2( c,

23、 0), Q 是椭圆外的动点，满足点 P 是线段RQ 与该椭圆的交点， 点 T 在 线段 F2Q 上， 并且满足(1)设为点 P 的横坐标，证明；(2)求点 T 的轨迹 C 的方程；(3)试问：在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M 使厶 F1MF 的面积 5=若存在，求/ F1MF 的正切值；若不存在，请说 明理由(答：(1)略；(2)； (3)当时不存在；当时存在，此时/ RMF= 2)2曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 3在与圆锥曲线相关的综合题中， 常借助于“平面几何性质”数形结合 （如角平分线的

24、双重身份一一对称性、利用到角公式）、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等4如果在一条直线上 出现“三个或三个以上的点 ”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥 梁转化在平行四边形中，给出（AB - AD） （AB - AD） =0，等于已知是菱形；（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形；（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形 三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）（13）在中，给出OA QB =OB OC =OC OA，等于已知是的垂心（三角形的垂心是 三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出a OA b OB cQC=0,等于已知是的内心（三角形内切圆