2019年高考数学一轮总复习专题35不等式的性质与基本不等式检测文

1、2专题 35 不等式的性质与基本不等式【学习目标】1了解现实世界和日常生活中的不等关系.2了解不等式(组)的实际背景.3.掌握不等式的性质及应用.【知识要点】1.不等式的定义用不等号“,0?_；ab=0?a=b；abb?；传递性：ab,bc?_；(3)可加性：ab? _；ab,cd? _(4)可乘性：ab,c0?_；ab,cb0,cd0? _倒数法则：ab,ab0? _；(6)乘方性质：ab0?_(n2,nN*)；开方性质：ab0?_ (n2,nN)；(8)有关分数的性质：若ab0,m0,则bbma-ambm0)；曰bm0).4.基本不等式真分数的性质：a_b+ma+m；假分数的性质：aba+

2、mbTm22 . 2(1)a+b.2ab；变式:；当且仅当a=b时等号成立;0，b0，且a+b=P（定值）,则由abw值P2；(2)_若a0,b0且ab=S(定值)，则由a+b2ab=2S可知，当a=b时，a+b有最_值2 S.【方法总结】1.运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件，如性质（4）（5）（6）（7）中要求乘数大于0，性质 中还要求nN且n1.2.比较数（式）大小，一般用：（1）作差法，具体步骤：作差一变形一判断（与0比较）一结论；（2）作商法，具体步骤：作商一变形一判断（与1比较）结论，注意分母的符号.3.判断不等式是否成立，一般可用不等式性质、函数性质、基本

3、不等式进行推理，也可以利用特殊值法对命题进行否定.4.实际中的不等量问题的建模：（1）将每个量用数或代数式表示，（2）用不等号连结.5.a2+b22ab成立的条件是a,bR,而，ab成立，则要求a0,b0.6.利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正（各数为正），二定（和或积为定值），三相等（等号在（ax2+bx+c c如y=-=ax+-+xx7.连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值【高考模拟】*单选题1若，则下列结论一定成立的是（1 1A.B如果a0,b0,则a+b2 -.ab;变式：abw当且仅当a=b时，等号成立,m|?77| n|n|Cln(

4、jn.- n) 0D TT1当a=b时，ab有最_【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的性质可得m n,再分类讨论即可.【详解】由 得到.当时，由不等式同向可乘性知，即:-1 - I-；当 时,mm 0 n|n.|；当时，立由不等式同向可乘性知n2 m2，故 nn故选：B【考点】不等式、指数、对数的基本性质，不等式性质【点睛】本题考查了指数函数的图象与性质，不等式的基本性质，属于基础题.2.若 ， :- v 八，则下列不等式不正确的是（）A.、B.C. D. （：.-： . ： ：. -【答案】D【解析】分析：根据不等式性质推导，确定选项一详解：因为al, 0blj, 0 b 0 10201

5、8因为a ly 0 c I? 0 logca因为口 lj 0 c & 1所以 Sc）acb0,cR, A中，c=0时，a|c|b|c|不成立；B中，c=0时，ac2be2，不成立；C中，当cb c不成立；1 1D中，由ab0，两边同时除以ab，得到 y ；D成立.故选：D.【点睛】不等式的性质及其应用：(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质.(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近 的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质 等.

6、4设：=：； ： - ，那么下列条件中正确的是().A.aabab2B.C.abab2a D.，：； ：”：；汙【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质和“作差法”即可得出.【详解】/-lb0, a0, b)l. 0ab2- a=a ( b2- 1) 0.，.abab2a.故选：c.【点睛】熟练掌握不等式的性质和“作差法”是解题的关键.5已知，且，.U, 的关系是( )A.乜：f B C.丄：D-【答案】C【解析】分析：因:为P2-0=-宁,所以P2W则PWQ,详解：因为 g且P= ,所我誓当且仅当圧b时取等成立, 所以piQWO,即P叱所以PWQ故选：C.点睛：比较大小的常用方法(1)作差

7、法：一般步骤：作差；变形；定号；结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法：一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论.(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系(4)借助第三量比较法(-1 +6已知： 满足,贝y；的取值范围是()A.B丨I C.I -I D【答案】A【解析】 分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决.详解：设a+33=入（a+3）+v（a+23）则p2_占吁倍占=（入+v） a+（入+2v）3 / +

8、u 1比较a、3的系数，得一上；:-从而解出入=-1,v=2分别由、得1W-a-31,22a+43 W6,两式相加，得1W a+33 W7.故a+33的取值范围是1,7.故选：A点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题.7.已知宀 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（）11 c7丁Pl=A.-BC.D. :f :【答案】B【解析】分析：利用不等式性质，指数函数的单调性，特值法逐一判断即可详解:盯beRf且口 b,a2-y= （a+b） （a-b）,若 sVO# bC,贝a+b0, a2-A 不一主成立;函数严”在 R 上递増，且 8比 2Q2j 即 20,贝 C 不一定成立；若

9、吕=0，b=2jc；则8S2JIOO如=1，D 不一定成立：故选：B.点睛：不等式的性质及其应用：（1）判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.（2）在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近 的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质8.设正，且.，则下列命题一定正确的是（）1 1A.址 A aB.a3C.b2 a2D.b a【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质，以及函数的单调性，判断四个答案的真假【详解】ba,当E 0时，be a?但册

10、=a2,故错误bOa&寸，中故。错误故选B【点睛】本题主要考查了命题的真假判断与应用，结合不等式的性质，找出一个反例即可判断错误。9.给出以下四个命题：()1 1b,则;若ac2bc2，贝Uab; 若a|b|，贝Uab;若ab，则a2b2其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据不等式的性质分别进行判断，注意结合特值法求解1 1at 0 b严A 三详解：若-成立，错误；2，则，正确；3若 成立，则成立，正确;4若- :,成立，则不成立，错误，正确的命题为，故选B.点睛：本题考查不等式的性质的应用，要求熟练掌握不等式性质成立的条件，同时注意运用特值法判断，属于简单题10

11、.已知，则的大小关系为（）A. B. C. 了 ： ：*D.【答案】D【解析】分析：平方后作差可得.详解：.+：；.上m=Q2C2+2ahcd + b2 -（a2c2+ h2c2+ b2d2）=-a2d2十2abcd - b2c2=- ad - be）22（3）丁 ； :,（4）.其中恒成立的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可详解:f + 3ab - 2b2=(a + |b)一 士当时不等式不成立炉+6Saab2+ ex呻=Q - b)2a+b(a2+恥+泸)当s=U-l时，不等式不成立彳/

12、+沪+5 - 2(2a- b) =(a-2)2+(b + l2 0恒成立选项正确.(4) +半丘(i 2 U 2, +),故不正确.故答案为:A.点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和o比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到 具体值，进而得到大小关系.1+912设正数 满足，则的最小值为()032乔A.BCD【答案】A【解析】【分析】1+9因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y)+(x+5y)=6,再利用基本不等式求的最小值【详解】因为x+2尸3：所汉2x7沖，所以(x-y)

13、(x5y)=6r= 10+迴 + 仝马-(10+2v) = !, fix y jf+Sy百 q当且仅当鼻=2=却寸取最小值.故答案为:A【点睛】(1)本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力丸丄+亠)心=辻Jt4-5y 6Kx-yx4-5yy A-V+念心一刃+ (尤+刃)】.(2)、本题的解题关键是常量代换，即把，化成，,再利用基本不等式求函数的最小值利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可13在面积为1的中，:分别是的中点，点：在直线上，则 ：的最小值是（）A.1 B.C.D2【答案】C【解析】【分析】以 为原点，所在的直线为

14、轴建立平面直角坐标系，设二,结合三角形面积公式与平面= xaxa2-亦，利用二次函数的性质与基本不等式即可得结果【详解】 以 为原点，所在的直线为 轴建立平面直角坐标系,设汽:庄APC - Pli += (c - x(- c) ( - c) + a2277721x - ax a + c = x - ax + a a2f(x)= X2- ax 4- fl2+ 令，243az+ a21.- - X 2-3 X4 -344【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉 及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.禾U用向量

15、夹角公式、模公式 及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方 程组求解未知数，求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单.8a +b14.已知函数: 八！的图像在点处的切线的斜率为2，则： 的最小值是3%/2向量数量积公式可得的最小值为（当且仅当4取等号）,故选C.A.10 B【答案】C【解析】【答案】B【解析】由函数+见所以TOO=2ax + bf由函数代刃的图象在点（在代“她的切线斜率为乙所臥=25= 2,所決詈W+討玄+孰加+叭=訴0 + +竽S;C10+2-）=；10+8） = 9（当且仅当討节 即岸今寸等号成立） 所叹詈的最小值为巧故

16、选B15.设函数.：-,若宀是两个不相等的 正数且“孰卄何，则下列关系式中正确的是（A. p= gi?VFB.pvqrCp =tvr qDp v q In( Z)=p,1=(Ina+lnb),1 1=Inab=(Ina+lnb),q=f(1:=(f(a)+f(b) p= v q,1a2+ b2-An- Injah q故:故答案为：Bo点睛：这个题目考查的是比较对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0,1,-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小；或者利用不等式放缩来比较大小。m -16.已知1心

17、心-匚，则函数y二 2m -x +的最小值是（A.2 B【分析】利用二倍角公式求出，再利用基本不等式，即可求出答案【详解】-1,贝- 1 0tan22,5D11m =1二伽咗5。= 2ian45& =2333y = 2m -+l = x+- +1 = (x - 1) H-+ 2 2 + 23x 1x 1x1故选f【点睛】本题主要考查了函数的最小值的求法，考查了二倍角公式，注意运用基本不等式，考查了运算能力，属于基础题二、解答题17.已知：,求证：(1) 二、-(2)2 弋b +1 Ayi? + 2【答案】(1)见解析(2)见解析.【解析】【分析】禾U用作差法，通过配方法即可证明不等式;

18、(2)利用综合法证明不等式.【详解】(1)fl. + b + 3 vtib 2 va一Vi?=2(”2Q+2b 2tib一4 2vh) + 3,=(a 4V5 + 2? 2pb + a + Q 2ydh) + 3 ,=2 4/5 + 4十 2pi? + l + ti + b 2vctb 5) + 3,=2(而 一2)2+ (vfe一l)s+一v&)2一5 + 3,= |(Va-Z)2+苏饭 _I)2+|(v _ y/b)s+1S一2)3 0, (vi - l)2 a a一廂y 0,+ & + 3 - db 2d Vb 0 /.a + & + 3 Vab + 2a + 4

19、b.(2) ,.；.-；C :： ： I r. i“i -叮亠上 +2 t.J:- +:+ 口； +2即汇；+ 】：U/+门.：+上二：.，_ 1_ 二.一上二一：即门-1-卜寸：.：-!-i:J-,-k i-叮.：:，I；. 订. : 1- :.； 2 -、:：-.空A 7b +1 + 2【点睛】作差法：一般步骤是：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.18若/,，比较，* ,的大小.?【答案】【解析】分析：禾U用作差法比较大小即可详解:= 2x2+1?=戈2+2%c = X 3ta-b

20、 = (2x2+ 1) - (x3-F 2x = x2- 2x + 1 = (x -1)2 D,即ab?& - = (3+ 2x) - (-x - 3%2+ 3x + 3 = Qt+? + * 0,即b A c,综上可得：abc.点睛：作差法: 一般步骤是：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方 法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.19.选修4-5:不等式选讲(10分)若关于x的不等式I；：+ 4 +心一U： 的解集为R,记实数t的最大值为a.(1)求a的值；14y -1-(2)若正实数 J 满足，求 二的最小值.

21、【答案】(1)3.(2)3.【解析】试题分析：(1)由绝对值的三角不等式得到(2) 考察基本不等式的应用，八从而-试题解析：解：(1)因为比+刀+ 订：二，所以 L 訂-；工-1-又因为 Jl :- l1-: !1所以 ，从而实数的最大值*.: 亠訂亠- :- ；： + .：.:贝y；将4m + 5肝 构造为(+ 2n)+ (3m十3n)则(2)因为m + 2n+3m+3n)C4m +坎)-+ 亦 +)(m + 2n) + (3m + 3n)21 (1)若关于 的不等式- -的解集是I的子集，求实数的取值范围;143(-+- ) 9所以：，从而 ，141- - m = n =当且仅当汽，即时等

22、号成立，14y =-K-所以.逬八沃w.的最小值为.点睛：(1)利用绝对值三角不等式来解决绝对值不等式问题，也可以利用绝对值函数图象来解题；(2)不(- 1-)(巾 + (3m + 3n) 9等式问题考察基本不等式“1”的妙用，得到 ，解得答案。20.选修4-5:不等式选讲(1)已知函数:匚 八 :l-r 1训 二的定义域为：，求实数 的取值范围;21+ (2)若正实数满足.，求的取值范围【答案】或(2)卜叫 Z【解析】分析：(1)先根据偶次根式被开方数非负得I卸+ +?恒成立，再根据绝对值三角不等式得”斗農 最小值，最后解不等式得实数、的取值范围；(2)利用1得代换得m- 3 n丿，再根据基

23、本不等式求最值得结果详解：(1)由题意知忱一2| +|戈+川一3北2恒成立 因为1% 2| + |x + a| Qx 2) + (x +a)| = a+ 2所以血+2| 3,解得。 1(2)因为:一 -:- -：*：i21 m +nf2Iftn mX1+ =I + I=I + + 31 f2M2 + 3)所以：讥-21r 3一 + =和左+ =鼻+ 8即加斤的取值范围是L 2 J.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求 解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、 渗透，解题时强化函数、数形结

24、合与转化化归思想方法的灵活应21m4- n/21J =| J-mn 2 Im n21 (1)若关于 的不等式- -的解集是I的子集，求实数的取值范围;用，这是命题的新动向.(2)已知， 均为正数，且- - ，求-：-的最小值【答案】(1)丨】r.(2)12.【解析】分析：(1)化简不等式i - 20寸，不等式的解集为创2 尤 岛此 fl 寸显然是僅+町的子集, 当盘V2时，不等式的解集为Jt|ax2?要使其为Il+co)的子集,Ala2ax- +贝U当且仅当一时，等号成立；则的最小值为12.点睛：(1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后

25、结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大 小进行分类.22设函数:川 - . 订的最小值为-(1)求实数m的值;14 c- + “(2)已知 *，且满足 -,求证：【答案】心一亠 证明见解析.【解析】【详解】分析：(1)由绝对值三角不等式可得最小值不等式求得最小值，从而证明结论.(2)由(1)已知1414厂展开后可用基本=E十白=12详解：(1)函数;111卩:亠 -I;亠 + /-1故W的最小值(2)宙(1)

26、得a+ b = 2+m = 5故a 2 + h 2 = 1?故 土+ 亡=幺+&【S-2) + 3-Z)=l+慝 + 辔+4斗+2宦嚮=9,当且仅当&-2 = 2(a-2),即a = - 0=和寸成立.点睛：本题考查绝对值不等式的性质，考查基本不等式求最值用绝对值三角不等式求得最值是求忙+打+|； +的最小值的常用方法而用“T的代换求最值是基本不等式应用的常见题型，要牢牢掌握.三、填空题bnf Sn23.设等差数列的前项和为，在数列中，：一3,且一匚，二一、，贝y的最小值为_ .【答案】8【解析】【分析】51根据等差数列的定义和bn=a3n2+ a3n计a3n，且bi=6,b2

27、= 9,可求出ai=,d=，可得等差数列an的前n项和为S和bn的通项公式，再根据基本不等式即可求出.【详解】设等差数列an的公差为d,bn=a3n-2+ a3n-l+a3n,-bi=ai+a2+a3=6,b2=a4+a5+a6=9,b2-bi=3d+3d+3d=9-6,1解得d=,1 2 ai+ai+ +ai+ =6,/ Sn=nai+d= n+ n(n1)=,51 51 51bn=a3n-2+a3n-i+a3n= +(3n21) x+ +(3n11)x+ +(3n1)x=3n+3=3(n+1),【点睛】(1)本题主要考查了数列的递推公式和等差数列求和公式，考查了基本不等式，意在考查学生对这

28、些知识的掌握水平和分析转化推理能力.(2)本题的关键是求出24已知且9+盯(口 +2+ 口 +心9,则丸+斗b的最小值等于 _.【答案】 1【解析】【分析】由条件可得(2口+ 2护(口.十2/J4 1)二18,可得3a -|- 4b + 1 =2a+ 2b) +(口 +2b + D ,运用基本不等式即可得到所求最小值.【详解】atb E且(a + b)(et + 2ba + b - 9,即有 2(2a+2h)(a + 2b+ 1) = 6)/2 ,当且仅当2口 +2也=口+20 + 1时上式取得等号，即有3a+ 46的最小值为6芒-1.故答案为：6V2-1解得ai=,n(n - 1)5n(n

29、+ 9)故答案为：8，当且仅当n=3时取等号,【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和运算能力，属于中档题.25.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该25= 1程序框图，若输入,的值分别为8,6,1，输出和的值，若正数，满足，则 的最小值为_.【答案】49【解析】【分析】模拟执行程序框图，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出、和的值，然后利用基本不等式可得结果【详解】输入眄臼的值分别为町6,第一;欠循环2=2 6 = 2；第二次循环,J=3, b = 4j第三次循环=4=2,第四次循环2=5=巧退出循环，输出 =2山=5,tut+ 次=（2%5刃（:十：）=4 + 25十乎1+ 49戈当x=yfi九等号成立，即血+玫的最小值为49,故答案为4?【点睛】本题主要程序框图的应用、考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.26._若正数x,y满足2x+3y=1，则*卩的最小值为_【答案】：【解析】