2018版高考数学一轮复习第五章平面向量5.4平面向量的综合应用理

1、第五章平面向量 5.4 平面向量的综合应用理基础知识自主学习ET知识梳理-i.向量在平面几何中的应用（i）用向量解决常见平面几何问题的技巧:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ab?a=入b?x$2X2y1= 0, 其中a= (X1,y”,b= (X2,松,0垂直冋题数量积的运算性质a丄b?a-b= 0?X1X2+y1y2= 0，其中a=(X1,y,b= (X2,y2)，且a,b为非零向量夹角问题数量积的定义a-bcos0 |a|pb| （0为向量a,b的夹角），其中a,b为非零向量长度问题数量积的定义|a| =百=迪2+y2,其中a (x,y),a为非零向量（2）用向量方

2、法解决平面几何问题的步骤：设向量运算还原平面几何问题量向量问题一解决向量问题一解决几何问题.2 .平面向量在物理中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似， 可以用向量的知识来解决.物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W Fs= |F|s|cos0（B为F与s的夹角）.3 .向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数（三角函数），解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.【知识拓展】1若6是厶ABC勺重心，贝UGAFC= 0.2 若直线l的方程为：Ax+By+C= 0，则向量（A,B）与直线l

3、垂直，向量（B, A）与直线I平行.【思考辨析】2判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)若AB/AC 则A,B,c三点共线.(V)向量b在向量a方向上的投影是向量.(X)(3)若ab 0,贝Ua和b的夹角为锐角；若abv0,贝Ua和b的夹角为钝角.(X)在厶ABC中，若AB- BC=6X100Xcos 60 =300(J).题型分类深度剖析题型一 向量在平面几何中的应用例 1(1)在平行四边形ABCD,AD=1, /BAD=60 ,E为CD的中点.若XC-BE=1,贝 UAB=_.已知O是平面上的一定点，A, B,C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP=6Ab入(ABAC,入

4、 (0 ,+s),则点P的轨迹一定通过厶ABC的()A.内心B .外心 C .重心 D .垂心 答案(1) 2 (2)CA解析在平行四边形ABCD中 ,取AB的中点F,则BE=FD, BE=FD=AD ?AB XC-A=(AD+AB(AD-2AB4=XD-1AD-AB+KD-AB2AB=|XD2+1|XDi鬲迹60 -2|XB211X1X2=i+ 2X2lAE,-2AB=i. 由原等式，得SP-弘入(越XC，即N亠入(越XC，根据平行四边形法则， 知届+XC是ABO的中线ADD为BC的中点)所对应向量AD勺 2 倍，所以点P的轨迹必过ABO的重心. 引申探究过厶ABC勺_答案内心示平行于ABX

5、C勺单位向量，故 +平分/BAC即AP平分/BAC所以点P的轨迹必 |AB|AC过厶ABC勺内心.思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.W2 I (1)在厶ABC中,已知向量韧直满足(匹 +-AC) -BC=0,且-A旦AC= XXXX2|ABIACIAB|AC则厶ABC为()A. 等边三角形B. 直角三角形本例(2)中，若动点P满足SP=OA入入 (0,+)，则点P的轨迹一

6、定通解析由条件，得OP-OA=入，而座和盞分别表IXBIAC入CAEE+_XC_|AE| |AC5C. 等腰非等边三角形6D.三边均不相等的三角形已知直角梯形ABCD中，AD/ BC/ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则|PA+ 3PB|的最小值为_答案A(2)5=专，所以ABC为等边三角形.(2)以D为原点，分别以DA DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC= a,DP y.则 Q0,0) ,A(2,0) , qo,a) ,B(1 ,a),P(0 ,y),PA=(2 , -y) ,PB=(1 ,a-y),则陥3PB= (5,3a-4y),即 |陥3P

7、B2=25+(3a-4y)2,由点P是腰DC上的动点，知 0wywa.因此当y= 4a时，|陥3PB2的最小值为 25.故|色吐 3PB的最小值为 5.题型二向量在解析几何中的应用 例 2 (1)已知向量OA= (k,12),SB=(4,5) ,A(C= (10 ,k),且A、B C三点共线，当k0 时,若k为直线的斜率，则过点(2 , 1)的直线方程为 _ .(2)设O为坐标原点，C为圆(x 2)2+y2= 3 的圆心，且圆上有一点Mx,y)满足OM CM= 0 ,解析(1)-AB,-AC分别为平行于IAB|ACAB瓜C勺单位向量,/BAC的平分线.-BC=0,所以/BAC的平分线垂直于BC

8、所以AB= ACXBXC又=|AB|ACABIABACIAC-cos/BAC=2，所以 cos/BAC=*,又 0ZBACn，故/BAC由平行四边形法则可知因为(心.7x答案(1)2X+y- 3= 0(2)解析(i)：XB=OB- OA(4k,-7),BC=OG- 3B=(6,k5)，且 B/ Be(4k)(k5)+6X7=0,解得k= 2 或k= 11.由k x,例 3 已知x,y满足x+ya,值的 8 倍，则实数a的值是_答案 8解析因为0A=(x,1) ,SB=(2 ,y)，所以 OA-SB=2x+y，令z= 2x+y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象

9、可知，当目标函数z= 2x+y过点C(1,1)时，Zmax= 2x1 + 1= 3,目标函数z= 2x+y过点F(a,a)时，Zmin= 2a+a= 3a,所以 31=8X3a，解得a=：.8命题点 2 向量在解三角形中的应用例 4(2016 合肥模拟)在厶ABC中，角A,B, C的对边分别是a,b,c,若 20aBO15bCAb12cAB=0，则ABC最小角的正弦值等于()4代 53C.5答案 C解析 /20aBO15bCA12cAB=0,若OA=(x,1),0B=(2 ,y)，且OA-6B勺最大值是最小B.4D.20a(AC-XB+ 15bCA12cAB=0,20a- 15b= 0,12c

10、 20a= 0(20a- 15b)AO (12c10ABC最小角为角A,b2+c2a2cos A=2b厂1622522a+aa9944_5=5,2x- ax- a333 sinA= 5，故选 C.命题点 3 向量在物理中的应用5 如图，一质点受到平面上的三个力F,F2,F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已F1,F2成 60角，且F1,F2的大小分别为 2 和 4，贝U冃的大小为()答案 A解析 如题图所示，由已知得F1+F2+F3= 0，贝UF3= (F1+F2)，即F3=F?+F2+ 2F1-F2=F12+F22+ 2|F1| -|F2I cos 60 = 28.故 |Fs| = 2

11、7.思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.(1)函数y= sin(3x+ )在一个周期内的图象如图所示，M N分别是最高点、最低点，0为坐标原点，且OM ON0，则函数f(x)的最小正周期是式 owSw 1,0wi,贝 y z=SQ勺最大值为答案(1)3(2)3解析(1)由图象可知，皿中，1 , N(XN,1),所以SMSN= $，1 ( XN,1) =*XN1 = 0,A.C.272B. 2 5D. 6跟踪训练 3(2)已知在平面直角坐标系中,Q2 ,3)，动11解得 XN=2,所以函数f(x)的最小正周期

12、是2X2-1= 3./ 尿(x,y) ,OM(1,1) ,ON(0,1) ,OQ(2,3),(DP-M= x+y,(DP-N=y,Q6R=2X+3y,Owx+yw1,即在g ywi条件下，求z=2x+3y的最大值，由线性规划知识得，当x=0,y=1时，Zmax= 3.审题路线图系列三审图形抓特点典例（2016 太原一模）已知A,B, C, D是函数y= sin（3x+0）A青,0 ,B为y轴上的点，C为图象上的最低点,E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，0在x轴上的投影为 12, U 3, 0的值为（D.3讯題路线闍C匪x轴上CD和M对称-n-nBM在x轴上的投影OF=的投影是

13、12E为函数图象的对称中心，C为图象最低点作出点C的对称点oB两点对称出周期内的图象上的四个点，如图所示,A. 3 =2,B.371nAF=nT= n冗=2,12y=i 2x+ $和y=sin2x图象比较解析 由E为该函数图象的一个对称中心， 作点C的对称点M作MHx轴，垂足为F,如图.Bnn与D关于点E对称，CD在x轴上的投影为 12,知0F=.inTn n又A6， 0，所以AF= 4= 2-=,所以3= 2.同时函数y= sin(wx+ $ )图象可以看作wx的图象向左平移得到，故可知$=$=n，即6答案 A课时作业1. 在ABC中,（討BAAC=|AC2，则ABC的形状一定是（）A.等边

14、三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案 C解析 由（热BA） AC=|AC2,得AC-（BCBA-AC= o,即 AC-（BCBA+CA= o,2AC-BA=0, ACL BA A=90.又根据已知条件不能得到|AB= |AC,故厶ABC-定是 :直角三角形.12.（2016 山东）已知非零向量m n满足 4|m| = 3|n| , cosm n= 3.若n丄（n卄n），则3实数t的值为（）99A. 4 B . - 4 C. - D .44是由y= sin13答案 B14解析 n丄(tmnn)n(tn) = 0,即tmn+n2= 0,.11 n|i|n|cosm n+ |n1

15、2= 0,3由已知得tx#n|2x3 + |n|2= 0，解得t= - 4，故选 B.2rsin 2a =2sinacosa =cosa =二54. (2016 武汉模拟)设厶ABC的三个内角为A,B,C,向量m= ( 3sinAsin D ,n= (cosB,3cosA，若 m-n = 1 + cos(A+B)，贝 UC等于()AnB.n632n5nC.D.36答案 Cn n7nn5n2n又訐汁孑亍因此C+n=可C=25.已知点A 2,0) ,B(3,0)，动点P(x,y)满足PB= x2,则点P的轨迹是()A.圆B.椭圆于（)A. 3B.3C-54D5答案D解析由a/b得 cosa +2s

16、ina =0, cosa = 2sina ,又 sina +cosa =1,3. (2016 南宁模拟)已知向量a= (cosa，- 2) ,b= (sina, 1)且a/b,贝Usin 2a等245,5sin2a =1,sin2acos解析 依题意得，3sinAcos B+ , 3cosAsin +B), ,3sinC+ cosC= 1,2sin(C+ 青)=1,B= 1 + cos(A+E) , 3sin(AB) = 1 + cos(Asin( 3)=215C.双曲线 D.抛物线答案 D解析 /PA= ( 2x, y),PB= (3 x, y), PA- PB=(2x)(3x)+y2=x2

17、,.y2=x+ 6,即点P的轨迹是抛物线.*6.若平面向量a ,3满足|a| = 1, |3|W1,且以向量a ,3为邻边的平行四边形的面16积为g则a与B的夹角0的取值范围是_ 答案a与3在单位圆0内， 由于|a| = 1,|3|W1,且以向量a,3为邻1 1边的平行四边形的面积为，故以向量a,3为两边的三角形的面积为 4,故3的终点在如图所示的线段AB上（a/NB,且圆心0到AB的距离为2，因此夹角7 .在菱形ABCDK若AC= 4,则CA- AB=_ .答案 8解析设/CAB=0,AB= BC=a,由余弦定理得：a= 16 +a 8acos0, acos0= 2,CA AB=4XaXco

18、s(n 0)= 4acos0 =8.n8.已知平面向量a,b满足|a| = 1, |b| = 2,a与b的夹角为-3.以a,b为邻边作平行四边3形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 _.答案.32 2解析/|a+b| |ab| = 4a-bn=4|a|b|cos = 40,222 |a+b|ab|，又 |ab| =a+b2a-b= 3,ab| = ./3.13129 .已知|a| = 2|b|丰0,且关于x的函数f(x) = -x+ -|a|x+a-bx在 R 上有极值，则向量a32与b的夹角的范围是_ .答案n解析设a与b的夹角为0.1-12 f(x) = -x+ 2|a|x+

19、a-bx,解析如图，向量0的取值范围为217f(x) =x+1a|x+ab.函数f(x)在 R 上有极值，.方程x2+ |a|x+ab= 0 有两个不同的实数根,22a即 = |a| - 4ab 0，二a - bv ,又a| = 2|b|丰0,ab4Ia|b|v呂2又T 0 0, n,. 0 -3, n._2222*10.已知圆C:(x-2) +y= 4,圆M(x-2-5cos0) + (y-5sin0) = 1(0 R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE PF,切点分别为E,F,则PE- PF的最小值是 _答案 6解析 圆(x- 2)2+y2= 4 的圆心C(2,0)，半径为 2,圆M

20、 x- 2 5cos0)2+ (y- 5sin0)2= 1，圆心M2 + 5cos0, 5sin0)，半径为 1,/CM=5 2 + 1,故两圆相离.如图所示，设直线CM和圆M交于H, G两点，贝UPE- PF最小值是HE- HF HC= CM- 1 = 5- 1 = 4,HF=HE=QHCcE=p16 4 =裁,.cos /EHF=cos 2 /CH= 1-2sin2/CHE=1,HE-HF=|HE!HFcos/EHF=2.3X23x2=6.11.已知点P（0，- 3），点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA- AM= 0, 緘 -|陆 当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程.解 设Mx,y）为所求轨迹上任一点,即 cossin /CH=CE_1CH2，JT18设A(a,0) ,Q(0 ,b)(b0),则PA=(a,3) ,Al= (xa,y) ,MQ= ( x,by),由PA-AM=0,得a(xa)+3y=0.由AM= |MQ得整理得y= J2(XM0).(1)求角A的大小;(2)若a= 2, cosB=，求b的长.3解 (1)已知 mln,所以 m-n= (2 3