2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3,含解析)

1、绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理全国卷3【命题特点】20172017 年新课标 IIIIII 高考数学试卷，试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础知识、 基本技能以及数学思想方法的考查。 在保持稳定的基础上， 进行适度的改革和创新。 20172017 年的数学试卷“以 稳为主”试卷结构平稳，同时题目平和、无偏怪题，难度控制理想。“稳中求进”试卷考查的具体知识点 有变化。1 1、回归教材，注重基础20172017 年新课标 IIIIII 卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分考点，考查了复数、三角函数、折线图、概率、解析几何、向量、

2、框图、线性规划等考点。2 2、适当设置题目难度与区分度与往年课标 IIIIII 卷相对比，今年的难度设置在最后 2121 题。尤其以选择题第 1212 题和填空题第 1616 道，只要能认真分析，解决此问题的是不成问题。3 3、布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察解答题部分，包括三角函数、立体几何、概率统计、解析几何、导数五大版块和二选一问题。以知识为载体，立意于能力。4 4、命题考察的沿续性20172017 年新课标 IIIIII 卷，在力求创新基础上，也有一些不变的东西。例如 20172017 年新课标 IIIIII 卷在集合、复数、算法、线性规划的命题方式基本完全一致。【命题

3、趋势】1.1. 函数知识：以导数知识为背景的函数问题；分段函数与不等式结合的题目；三角函数的性质及其讨论； 从重结果考查转向重过程考查；从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查。2.2. 函数零点问题：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，这也体现了数形结合思想的应用3.3. 不等式知识：突出工具性，不等式的性质与分段函数，绝对值的性质综合起来进行考查，考查学生的等 价转化能力和分类讨论能力；4.4. 立体几何知识： 20162016 年已经变得简单， 20172017 年难度依然不大， 1616 题填空题将立体几何的知识与运动问 题相联系，然后确定最值及取值范围；第 8 8 题考查圆柱的体积

4、问题，要求学生的空间想象能力比加强 . .5.5. 解析几何知识：解答题主要考查直线、抛物线和圆的知识，考试的难度与往年持平，选择题 5 5 题考查共 焦点问题，属于常规题目， 1010 题综合了抛物线、圆和直线的问题，需要对位置关系有透彻的理解。6.6. 导数知识： 导数是研究函数的单调性、 极值 （最值 ）最有效的工具， 而函数是高中数学中重要的知识点， 2121 题加强了与不等式的联系，要求学生的对导数的深层含义能准确把握， 1212 题涉及零点问题，由唯一性确定 ； (6)(6)2(3)(3)z Z；(4)(4)N Z2兰 N 勺兰乙+勺；乙z2参数值，要应用选择题的特点灵活处理 一、

5、选择题：本大题共1212 小题，每小题 5 5 分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=：(x,y)| x2y2=1,B=f(x, y)| y = x?，则A|B中元素的个数为A.A.3 3B.B. 2 2C.C. 1 1D.D. 0 0【答案】B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，结合/表示以(02)为圆心，I 为半径的单位圆上所有点组成 的集合，集合片表示直= x上所有的点组成的集合，圆?+r =1 与直y = x相交于两点(口),1T),则AQB中有两个元素。故选肌【考点】 交集运算；集合中的表示方法。【名师点睛】求集合的基本运算

6、时，要认清集合元素的属性( (是点集、数集或其他情形) )和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母 的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。2 2 .设复数z满足(1+(1+i) )z=2=2i，则IzI= =A.-2【答案】C【解析】试題分析：由题意可得：三，由复数求模的 5 去则：国二讨可得：制二旦二卓二厲故选 6【考点】 复数的模；复数的运算法则【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有:(1)Z1-Z2勺-Z2； (2)(2)C.2D.D. 2 233 3 某城市为了解游客人数的变化规

7、律，提高旅游服务质量，收集并整理了间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A.A.月接待游客量逐月增加B.B.年接待游客量逐年增加C.C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,87,8 月D.D.各年 1 1 月至 6 6 月的月接待游客量相对 7 7 月至 1212 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A A【解析】试题分析：观祭折线图，每年了月到8 8月折线圏呈下降趋势，月接待游客量减少，选项*说法错误,折线團整体呈现出儈长的趋势，年接待游客量逐年增那，选项E E说法正确；每年的接待游客量七八月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在兀8 8

8、月，选项C C说法正确；每年1 1月至方月的月折线團平稳，月接待游客量汲动性更小？月至1212月折线團不平稳，月接待游客量波动性大，选项 D D 说法正确；故选 DoDo【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律。r“5334 4.x y 2xy的展开式中x y的系数为A.A.80B. 40C.4040D.D. 8080【答案】C C【解析】2014201

9、4 年 1 1 月至 20162016 年 1212 月期4555试题分析：x y 2x-y x2x-y y2x-y,5r5 rr由2x-y展开式的通项公式：Trs=C52x -y可得：533323当r=3时，x(2xy)展开式中x y的系数为C5x2江(1 ) = 40,当r=2时，y(2x yj展开式中x3y3的系数为Cl 0,0,b 0)0)的一条渐近线方程为by*,y*,且与椭圆2 2-y1有公共123a焦点，则C的方程为222 22 22 2Ax_y=1B.x_y=1C.x-y=1D.x y1810455443【答案】B【解析】试题分析：双曲线心 电一牛=1SXQ0)的渐近线方程为三

10、工，椭圆中：a = 3:.f- a -b= 9:c = 3椭圆$即戏曲线的焦点为3；0),a 2IS此可得双曲线中的方程组：/ = 沪，解得：口，4公=5 ,则双曲线C的方程为25故选Bo【考点】 双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程。【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法。具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a,b,c，e及渐近线之间的关系，求出a,b的值。如果已知双曲线的渐2 2近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为笃壬二 -0，再由条件求a b出入的值即可。6 6.设函数f( (x)=)=cos( (x+_)

11、+_)，则下列结论错误的是3 3A. f( (x) )的一个周期为-2-2nB. y= =f( (x) )的图像关于直线x=对称3 3C. f( (x+ +n) )的一个零点为x=1D. f( (x) )在(二n) )单调递减6 6 2 2【答案】D【解析】试趣分析：酗 I 的最小正周期为T=2r，则逊数的周期为丁二 2 瞰仏 eZ),取-】，可得函数八刘的一个周期为-2 疋;选项*正确函数的对谿由为兀+二二切 MZ),即：&-匚 1 仕 2| ,取血=3可得 3 工心)的團慷关于直线3J对称，选项为正确英/(x+) = coS|x+- =-cos；x+-| ,酬的零点满=,即I 3

12、丿327T常无=疋历+(kEZ),取上=0可得加+町的雾点対JC=,选项 Q 正确；60二二 5 二 4 二,当x ,门 J时，x,4，函数在该区间内不单调，选项D错误；12 丿3163 丿故选D。【考点】 函数y = AcosX 的性质【名师点睛】 求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y=Asin( (3x+Q) )或y=Acos( (wx+ $ ) )的形2 兀式，则最小正周期为T；奇偶性的判断关键是解析式是否为y=Asinwx或y=Acoswx+b的形式。PlJI26求f( (x) ) =Asin( (wx+ $ )()(wM0)0)的对称轴，只需令 X， =kkZ，求x；求f( (x

13、) )的对称中47心的横坐标，只需令3X+=kn( (kZ) )即可。7 7 执行右图的程序框图，为使输出S的值小于 9191,则输入的正整数N的最小值为48A.A. 5 5【答案】DB.B. 4 4C.C. 3 3D.D. 2 2【解析】试题分析：阅读渍程图，程序运行如下:首先初始化数值：r = LA/-100 = 0 然后逬入循环体：此时 ESr-V ,执行循环语句：S=5+3/ =90,A/ = -p = l:r = r+l = 3 j此时不应 j 荷足 S b00）的左、右顶点分别为Ai,A,且以线段AA为直径的圆与直线a bbx-ay，2ab =0相切，则C的离心率为AB迈C二D 1

14、3333【答案】A【解析】试題分析：汰线段站厶为直径的圆的园心为坐标原点（0:0）,判功尸=口 ,圆的方稈为云亠尸=/，直线H毋+2 口 b = 0与圆相切所以圆心国直线的距离等干半径，即：“丿Va +6整理可得/ =3i:$ 即，=3C2故选丿。【考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率种方法：1求出a,c,代入公式e=C;a2只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2c2转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）。2x

15、 ix 11111.已知函数f（x）二x2x a（e e ）有唯一零点，则a= =111A.B.C.D. 1232【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足x2-2x二-a ex4e,从而卡I椭圆的离心率=-a（或离心率的取值范围），常见有两1_严-1x 4x-A,ee11设g x =ex4，e舟1，则gx =ex4=ex412当g x= 0时，x =：1，当x 1时，g x: 0,函数g x单调递减, 当x 1时，g x阳0,函数g x单调递增，当工=1时，函数取得最小值（11 = 2,设断龙）=疋一2卞，当疋=1时，函皴取、得最小值 T ,if若-口a 0 ,函数h x与函数agIA- j

16、没有交点.当-xO时,一堰时,此时函数扯刈和购（对育 T 交点, 良卩一吃汶2 = 1,解彳寻住=一o古文选C。【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的 范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使 得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用。1212 在矩形ABCD中,AE=1=1 ,AD=2 2,动点P在以点C为圆心且与则，+L；的最大值为BD相切的圆上。若A.A. 3 3B.2 2c. 、5D.D. 2 2【答案】A【

17、解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系13所決疋的最犬值罡儿即丄+n 的最大值是弭故选【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加、减或数乘运算。(2)(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式，再通过向量的运算来解决。二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020 分。x -y一0I I y y1313若x,y满足约束条件x+y2兰0，则z = 3x 4y的最小值为 _ 。八0【答案】-1【解析】试题分析

18、：绘制不等式组表示的可行域，3131目标函数即：厂卩;z，其中z表示斜率为4的直线系与可行域有交点时直线的截距值的-4倍，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点A 1,1处取得最小值z = 3x-4y=-1。设A 0,1 ,B 0,0 ,C 2,0 ,D 2,1 ,P x, y, ,根据等面积公式可得圆的半径r二2224，即圆C的方程是x - 2亠y：AP = (XJ11).A5 = fOf1)10 = (2。)J若満足+#AD/ . ，zz = -Tz=l-v , mA + /z = -j-l, y-1 = -z22设？二十1即手一匸十1芒=0 2点尸I工匸1在圆I尤-2

19、+F，=7上,77、耳所以圆心到直线的距离即14【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】 求线性目标函数z=ax+by( (abM0)0)的最值，当b0 0 时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当bv0 0 时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大。1414设等比数列 侖满足 a a1 1+ +a2= =- 1,1,a1-a3= = - 3 3,则a4=_。【答案】- 8【解析】试题分析：设等比数列的公比为 g ,很明显$9-1 ,结合等比数列的通项公式和题竜可得方程组:| 口：+碍=曲(1 + g)二一 h_ rh_碍

20、=码卩丨=_ 【考点】等比数列的通项公式【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程。x x + +1 1 x x 兰 0 0i i1515设函数 f(x)=ff(x)=f % 则满足 f(x)f(x)+ +f f (x(x)1)1 的x的取值范围是 _ 。2 2 , X X A0A0,2 2等可得：?=-2，代入可得 Oj = l j由等比数列的通项公式可得:a a4 4= =15【答案】16写成分段的数的形式

21、：=f1 | 11函数gix在区间(-Xr0r0:-|：-,-x 三段区间内均单调递增,JH./TBItr且；-) = L2 + 0-11(V2+1)X2;11 ,V z孟据此耳的取值范围是:-.+X。14 丿【考点】分段函数；分类讨论的思想【名师点睛】(1)(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式 求值，当出现f( (f( (a)的形式时，应从内到外依次求值。(2)(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的 值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围。1616.a,b为

22、空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：1当直线AB与a成 6060角时，AB与b成 3030角；2当直线AB与a成 6060角时，AB与b成 6060角；【解析】试题分析：令1当0 . x时,21当x时,22X+-TX 0(0(i= 1,21,2 ,) );二是pi+P2+Pn= 1 1 检验分布列的正误。1919.( 1212 分)如图，四面体ABCDKAABC是正三角形，ACD是直角三角形，/AB!= =/CBD AE= =BD(1)证明：平面ACD_平面ABC(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AE

23、C把四面体ABC吩成体积相等的两部分，求二面角D- AE- C的 余弦值。【答案】(1)(1)证明略；7【解析】试题分析：利用题意证得二面角的平面角为皿 ,则可得到面面垂直,利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用公式二面角的夹角公式可求得二面角的余弦值为。试题解析:(1)由题设可得,垃 D金 AC3Z?，从而二DC22又 MUD 是直甬三甬形，所臥厶仞=妙取月 f 的中点 0 连接DOO贝丄ACJ)O=AO又由于 ABCABC 是正三角形，故 BOBO _AC_AC。723设 m m 是平面AEC的法向量，则m二，同理可得mLAE = ，m =0, -1,. 3。贝V cosn, m =n_

24、mn|m所以.DOBDOB 为二面角D _AC _B的平面角。在 RtRt AOAO 中,BO2AO2二AB2。又AB =BD，所以BO2DO二BO2AO二AB2= BD2,故DOB =90。所以平面 ACDLACDL 平面 ABGABG(2 2)由趣设及(1)知，OA.OB.OC两两垂直O 为坐标原点，鬲的方向为工轴正方朗|羽为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系。则出 100)*1 aJJehc(-io o)Q(Q(M)由题设知，四面体AB 血的体积为四面体ABCD的体积的 ,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的即迟为的中点，得王Q 芈 W 。故= i-L0T1|7.4C =

25、 (-20;0).3A=-1；斗=r = r-x+z=0,H*AD 0?=(X1yrz)是平面 DM 的法问量，贝勺 即1rtAE -C1,x+1 +z = 0*I7 ”7所以二面角D- -AE- -C的余弦值为-。71迢13O24【考点】 二面角的平面角；面面角的向量求法【名师点睛】（1 1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程 思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。设m n分别为平面a，3的法向量，则二面角0与m n互补或相等，故有|cos|cos0| | = |cos|cosmn|=|=m mn。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是

26、钝角。m|n2020.（ 1212 分）已知抛物线C：y2=2=2x，过点（2,02,0 ）的直线I交C与A, ,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆。（1 1 ）证明：坐标原点0在圆M上；（2 2）设圆M过点P 4,-2，求直线I与圆M的方程。【答案】证明略；2 2（2 2）直线I的方程为x y2=0，圆M的方程为（x_3） +（y_1） =10。或直线l的方程为2x+y4=0，圆M的方程为x3 I +=+丄丨二85。I 4丿J2.丿16【解析】试题分析：出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为-1 可得即得结论，（2）结合（1的结论求得实数州的僖，分类讨论即可求得直线 7 的方程和圆的方

27、程。试题解析：（1设耳九“I 吃,/:工二呦+二由 f 可得*-2 -4 = 0 ,则 y1i. = 4 o r 二ix因此加 的斜率与 0 月 渊率之积为扛一 21 =二二一 1 ,所以OA-OB .可迥 4故坐标原点O在圆M上。由（1 1）可得y,y2= 2m,x1x2= m % y2i亠4 =2m2425的坐标为m22,m，圆M的半径rm2 2 , -m过点P 4, -2，因此AP BP =0，故 咅-4 x2- 4y12 y22 = 0即x24 % x2%y22 % y220 = 0。由(1)(1)可得yiy2二-4公必2 =4。所以 b 2wT 搐一 1=0 $解存册=1 或叩二一4

28、当拥=1时， 直线？的方程为 x-y-2 = 0， 圆 lb的坐标为(111， 圆 M的半径为帀， 圆皿 的 方程为(x-3)：+(y-l)2=10 10 0 或说明中点在曲线内部。2121 .( 1212 分)已知函数f x =x1alnx。(1(1 )若f x -0，求 a a 的值;【答案】(1)(1)a=1=1 ;3【解析】x= =a是f x在x0,+：的唯一最小值点，列方程解得故圆心M由于圆M(2(2 )设 m m 为整数，且对于任意正整数|1十2 ill 1十(丄:班丿:m,求m的最小值。试题分析：(1)(1)由原函数与导函数的关系可得2627试题解析：解：（1 1）f x的定义域

29、为 0,+0,+：. .1若榔刃因为 f 丄所以不满足题哉22若 ao?由广（X）= i-2=三上知，当 x 芒（加）时f*（x）0.iloQ）由（1）知当XF（1；+X）时，x-l-ln.r0 *令 x = l+l 得+从而*七 _/止f1（1 （1 1111In 1 + +ln 1 T+* In 1 I I- - 1 1 0? I了2丨尸? 7：ytlbJM Ja.dWJr121711117e而11112，所以m的最小值为3I 2人22人23丿【考点】 导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值；利用导数证明不等式【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1 1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2 2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3 3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4 4）考查数形结合思想的应用.（二）选考题：共 1010 分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 利用题意结合（1 1