2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质教学案新人教B

1、2. 2.2双曲线的几何性质学习目标1.掌握双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.产预习导学全 挑战自我.点点落实_答案范围：xa或xwa；对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的;顶点：双曲线有两个顶点A( a,0) , A(a,0).预习导引 1双曲线的几何性质标准方程2 2x y1a2b?=1(a0,b0)2 2yx1訂E= 1(a0,b0)图形kJ性质范围xa或x0)，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为y=x，还可以将a2 2方程设为x?蒼=入(入丰0)，避免讨论焦点的位置.跟

2、踪演练 2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线过点(3,9 - 2)，离心率e=#0;过点F(2 , 1)，渐近线方程是y=3x.2210c102解e2=，得二=，设a2= 9k(k0),9a9则c2= 10k,b2=c2a2=k.2 2于是，设所求双曲线方程为 9kk= 12 2或仏x-=1 或9k k 2把(3,9,2)代入，得k= 161 与k0 矛盾，无解；把(3,9,2)代入，得k= 9,2 2故所求双曲线方程为备x= 1.若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为y2= 1(a0,b1b)，则-=-. A(2 , - 3)在双曲线上,4 9a2-b

3、2=1.y x亍b=1(a0,ra 1b)，则r2 4(2)方法一(首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P(2 , - 1)在渐近线y=-3x的上方还是下方)如图所示，x= 2 与y= 3x交点为 Q2 , - 6) , R2 , - 1)在Q2 , -6)的上方，所以焦点在2 2设双曲线方程为a2-b2=1方法二由渐近线方程y=3x,2可设所求双曲线方程为x2- =入(入丰0)(*)35 将点P(2 , - 1)的坐标代入(*)，得入=-,2 2所求双曲线方程为伞-鲁=1.3535石要点三直线与双曲线的位置关系2 2例 3 直线l在双曲线x-与=1 上截得的弦长为 4 其斜率为

4、2，求I的方程.解设直线I的方程为y= 2x+my= 2x+m得 10 x2+ 12m灶 3(m+ 2) = 0.(*)由根与系数的关系,又y1= 2x1+m y2= 2x2+mx轴上.(a0,b0).，解得卢寻Jb2= 35所求双曲线方程x352y_35=i.设直线I与双曲线交于A(X1,y,B(X2,y2)两点,6得X1+X2=- 5m X1X2= 10(m+ 2)依题意，得2225-y1y2= 2(X1X2),62 2 2IAB= (Xi-X2)+ (yiy2)=2=5(xi+X2) 4xiX2=5埶4X10(ni+2)|AB= 4,.曽吊一 6(吊+ 2) = 16.5由(*)式得 =

5、 24ni 240,把 m=二 310代入上式，得 0,3m 的值为孕.、J210所求 I 的方程为 y=2X土亠 3 .规律方法直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于X或y的一元二次方程要注意根与系数的关系，根的判别式的应用若与向量有关，则将向 量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解.2X C跟踪演练 3 设双曲线 C：2y2= 1(a0)与直线I:x+y= 1 相交于两个不同的点A B.a(1)求实数a的取值范围；设直线l与y轴的交点为P,若PA=12PB求a的值.2解(1)将y=x+1 代入双曲线方程 笃一y2= 1(a0)中得(1 a2)

6、x2+ 2a2x 2a2= 0.a依题意|172!_ = 4a+ 8a- 0a0,解得a=-.1 a6013戸当堂检测聾 当堂训练.休验成功_2 2x y25(XiX2)c2a3m=m=21031 a2工0,2.71 已知双曲线 云一彳=1(a0)的离心率为 2,贝 Ua=(答案 D解析由题意得e=屮=2,aa+ 3 = 2a,2小，22“a+ 3 = 4a, a= 1, a= 1.2 2 2 22 若实数k满足 0k5，则曲线X占r=1 与曲线y= 1 的()16 5-k16k5A. 实半轴长相等B. 虚半轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等答案 D2 2 2XV22X解析 因为 0k0,

7、b0)的右支上到原点0和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是()A. ( 2 ,+) B . (1 ,2)C. (2 ,+) D .(1,2)答案 Cc解析 由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x=-.2 2依题意，在双曲线 p治=1 (a0,b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所cc c以直线x= 2 与右支有两个交点，故应满足2a，即a2，得e2.2 2x y4.已知双曲线 孑一2= 1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+ 10,双曲线的一个焦点在直线I上，则双曲线的方程为(2 2 2 2xyxyA. = 1B. = 15 2020 52 2 2 23x3y3x3yC = 1D - = 125 100100 25答案 A8解析 双曲线的渐近线方程为y=bx，因为一条渐近线与直线y= 2x+ 10 平行，所以-=aa2.又因为双曲线的一个焦点在直线y= 2x+10 上,可知左焦点（C,0）在该直线上，所以2C+ 10= 0.所以c= 5.b=2由a，c=a+b2=52 2故双曲线方程为x卷=1.520a2= 5,b2= 20.课堂歩结-1.渐近线是双曲线特有的性质，把双曲线的标准方程Eb2=1 (a0,b0)右边的常数为 0,就是其渐近线方程.反之由渐近线方程axby= 0 变为a2x2b2y2=