2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.2导数的运算1.2.2函数的和、差、

1、1.2.2函数的和、差、积、商的导数已知f(x) =X,g(x) =X.z.问题 1：f(x)、g(x)的导数分别是什么?一 1 提示：f(x) = 1,g(x) = y.问题 2：若Qx)=x+2,贝U Qx)的导数是什么?z.当厶x无限趋近于 0 时，无限趋近于 1 1xx1Q (x) = 1 孑问题 3：Qx)的导数与f(x),g(x)的导数有什么关系?提示：Q (x)=f(x)+g(x).导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)，则(1)f(x) +g(x) =f (x) +g (x)；(2) f(x) g(x) =f (x) g (x)；(3) Cf(x) =Cf(x) (C

2、为常数)；(4)f(x) g(x) =f (x)g(x) +f(x)g (x)；1.对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即 f1(x) f2(x) 土土fn(x) =f1 ( x) f2Z( x) 土土fn ( X).2对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出提示:y= (x+ x) +x g1x(g(x)丰0).1x+ xXx+ x2现f(x) g(x) =f(x) g(x)以及(5)g := g这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“+”，商的导数法则中分子上是“一”i ai求函数的导数

3、例 1求下列函数的导数:23 x(1)y=x+log3X；(2)y=xe ;(3)y=(4)y=xtanx.思路点拨结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导.精解详析y = (x2+ log3x)21=(x) + (log3x) = 2x+xny.3x3x3x、/y=(xe)=(x)e +x(e )2 x 3 x2 3、x=3xe +xe =(3x+x)e .x sinx cosx2xxsinx+ cosx2xxsi nxcosxxs inx C诜x :2cosx汕丨x+xcosx lUS x+xsin2x2cosxcosxxcosxx cosxx(4)y = (x tanx)=xs

4、inx ,cosxsin:一心韭迪对应学生用书 P9y=3xcosx+x2 cosx4一点通(1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求 导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变 形，如把乘积的形式展开， 公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幕， 然后再求导,使求导计算更加简化.131若f(x) = 3X+ 2x+ 1,贝 yf ( 1) =_ .解析：厂(x)=啟+ 2x+ 1 )=啟+ (2x)z+T= x2+ 2,所以f ( 1)

5、 = ( 1)2+ 2= 3.答案：32._ 函数y=x(x2+ 1)的导数是 解析：y= x(x2+ 1) = (x3+x) = 3x2+ 1.答案：3x2+ 13求下列函数的导数：Inxxsinx cosx(1)y=市2; (2)y=解:(1)y =册)-(2x)xx-2 In 2jsinx 2cos2x+ 2sin2xQcosx丿4cos2x1厂2cosx2cosxx +1Inx+1211 + _ Inxxx.2 In 2xxInx+ 1x x+ 1x2 In 2.y =sinisinx1、 、j2cosx2x cosx2cosx5例 2 设f(x)=ae+blnx,且f(1)=e,f(

6、1)=-，求a,b的值. e思路点拨 首先求f(x)，然后利用条件建立a,b的方程组求解.xxb精解详析f(x) = (a-e) + (blnx) =ae+ 一，xa= 1,解得*所以a,b的值分别为 1,0.b= 0,应用，突出了导数的工具性作用. 而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是 解决此类问题的关键.4.设f(x) =ax3+ 3x2+ 2，若f ( 1) = 4，贝U a=_ ,解析：Tf(x) =ax3+ 3x2+ 2,.f(x) = 3ax2+ 6x,(1) = 3a 6= 4,即卩a=3x5.若函数f(x) = e在x=C(CM0)处的导数值与函数值互为相反数，求

7、c的值.xxcee解：f(x) =, f(c)=Xcc ce ec依题意知f(c) +f (c) = 0 ,+2= 0 ,c c例 3已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1)，且在点Q(2 , 1)处与直线y=x 3相切，求实数a、b、c的值.导数运算法则的简单应用EXS1由f (1) = e,f ( 1) =1,ae +b= e,一点通利用导数值求解参数问题,是高考的热点问题. 它比较全面地考查了导数的答案:10(X)=导数运算法则的综合应用1得aXXe x e2x6思路点拨题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a、b、c的值.精解详析T曲线y=a

8、x2+bx+c过P(1,1)点,a+b+c= 1./ y= 2ax+b,当x= 2 时，y= 4a+b. 4a+ b= 1.又曲线过 Q2 , - 1)点， 4a+ 2b+c=- 1.联立，解得a= 3,b= 11,c= 9.一点通利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解解答本题常见的失误是不注意运用点Q2 , 1)在曲线上这一关键的隐含条件.6已知P,Q为抛物线x2= 2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4, 2,过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A,则点A的纵坐标为 _ .12解析：易知抛物线y= *上的点P(4,8) ,Q

9、 2,2),且y=x,则过点P的切线方程为y= 4x 8，过点Q的切线方程为 =2x 2,联立两个方程解得交点A(1 , 4)，所以点A的纵坐标是答案：47.已知f(x)是一次函数，x2f(x) (2x 1)f(x) = 1，求f(x)的解析式.解：由f(x)为一次函数可知f(x)为二次函数.2设f(x) =ax+bx+c(a 0),则f(x) = 2ax+b.把f(x),f(x)代入方程x2f (x) (2x 1)f(x) = 1 中得:2 2x(2ax+b) (2x1)(ax+bx+c) = 1,即(ab)x+ (b2c)x+c 1 = 0.要使方程对任意x恒成立，则需有a=b,b= 2c

10、,c 1 = 0,解得a= 2,b= 2,c= 1,2所以f(x) = 2x+ 2x+ 1.7方法方法- -规律规律 小结小结81 应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下,应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错.2 对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等 价性.卜 彳一、填空题1.(广东高考)曲线y= 5ex+ 3 在点(0，- 2)处的切线方程为 _ xx解析：由y= 5e + 3 得，y= 5e，所以切线的斜率k=y|=

11、o= 5，所以切线方程为y+ 2= 5(x 0)，即 5x+y+ 2 = 0.答案：5x+y+ 2= 02 .设f(x) =xlnx，若f(xo) = 2,贝Uxo=_.1解析：f(x) = Inx+x_= Inx+ 1.xTf(xo)=2 ,. 1+Inxo=2,xo=e.答案：e3._ 函数f(x) = excosx,x o,2n，且f(Xo) = o，贝UXo=_解析：f(x) = elosxesinx,由f(xo) = o，得 exocosxo exosinxo= o, cosxo= sinXo,即卩 tanxo= 1.又xo0,2n, xo=n4 或手.44n答案：7或4.(江西高考

12、)若曲线y=x+ 1(a R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则应用YIWIGVONGm涼咗陨上赛注或委査闿对应课时跟踪训练(四)9答案：2x5._曲线y= 2x_i在点(1,1)处的切线方程为 _(1)求f(x)的最小值；3若曲线y=f(x)在点(1 ,f(1)处的切线方程为y= *，求a,b的值.解：(1)法一：由题设和基本不等式可知,1f( (x) )=孙孙ax+b2+b，其中等号成立当且仅当ax= 1,1即当x=时，f(x)取最小值为 2 +b.a2 21a2x21法二：f(x)的导数f(x) =ar =亍,ax ax当x1 时，f(x)0,f(x)在2，+上单调递增;1当 oxa

13、时，f(x)0).解析： y=当x= 1 时，y1.101所以当x=-时，f(x)取最小值为 2 +b.a11 3(2)由题设知，f(x) =aax2 3 4 5，f7(1)=aa=3，axa21解得a= 2 或a= 2(不合题意，舍去).13将a= 2 代入f(1) =a+5+b=2，解得b= 1.所以a= 2,b= 1.1|QQ8.已知函数f(x) = 2x+ax(x R,a R)，在曲线y=f(x)的所有切线中,有一条切线I与直线y=x垂直.求a的值和切线I的方程.”132解：f(x) = 3x 2x+ax,2 f(x) =x 4x+a.由题意可知，方程f(x) =x2 4x+a= 1 有两个相等的实根.- = 16 4(a+