全等三角形竞赛试题(含答案)

1、全等三角形提高练习1.如图所示，ABCZkADE,BC的延长线过点E,ZACB=ZAED=105°,ZCAD=10°,ZB=50°,求ZDEF的度数。关32.如图，AOB中，ZB=30°,将ZkAOB绕点O顺时针旋转52°,得到ZkAOB',边AB与边OB交于点C（A不在0B上），则ZAZCO的度数为多少O3.如图所示，在ABC中，ZA=90°,D、E分别是AC、BC上的点，若左ADBAEDBAEDC,则NC的度数是多少七4.如图所示，把ZABC绕点C顺时针旋转35°，得到ZABC,A'B'交AC于点

2、D,若NA'DC=90°,则ZA=5.已知，如图所示,AB二AC,AD«LBC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,则AD是多巧,6.如图，RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE,垂足分别为D、E,若BD=3,CE=2,则DE=DAE7.如图，AD是ZABC的角平分线，DE±AB,DF_LAC,垂足分别是E、F,连接EF,交AD气G,AD与EF垂直吗证明你的结论。/A8.如图所示，在ZkABC中，AD为匕BAC的角平分线，DE±AB于E,DF1AC于F,AABC的

3、面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE的长.9.已知，如图：AB二AE,ZB=ZE,ZBAC=ZEAD,ZCAF=ZDAF,求证：AFXCD10.如图，AD=BD,AD1.BC于D,BE±AC于E,AD与BE相交于点H,则BH与AC相等吗为什么11.如图所示，已知，AD为ZkABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,求证：BE±ACA12.ADAC.AEBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N,（3）CMN为等边三角形（4）MN/7BC13.14.如图所示，己知ABC和ABDE都是等边三角形，下列结论：

4、4;AE=CD：BF=BG；BH平分ZAHD；ZAHC=60°:ZkBFG是等边三角形：FGAD,其中正确的有（A.3个B.4个C.5个D.6个15.已知：BD、CE是ABC的高，点F在BD上，BF=AC,点G在CE的延长线上，CG=AB,求证：AG1AFAe如图：在ZABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、AG4A求证：(1)AD=AGG(2)AD与AG的位置关系如何E如图,求证:己知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且ZDAE=ZFAEAF=AD-CF18.如图所示，已知ABC中，AB=AC,

5、D是CB延长线上一点，ZADB=60°,E是AD上一点，且DE=DB,求证：AC=BE+BCA19.如图所示，已知在AEC中，ZE=90°,AD平分ZEAC,DF_LAC,垂足为F,DB=DC,求证：BE=CF20.已知如图：AB=DE,直线AE、BD相交于C,ZB+ZD=180°,AFDE,交BD于F,求证：CF=CD21.如图，OC是ZAOB的平分线，P是OC上一点，PD±OA于D,PE10B于E,F是OC上一点，连接DF和EF,求证：DF=EF<22.己知：如图，BF±AC于点F,CE1AB于点E,且BD=CD,求证：(1)ZBDE

6、竺zCDF(2)点D在NA的平分线上23.如图，己知ABCD,0是NACD与匕BAC的平分线的交点，OEJ_AC于E,且0E=2,则AB与CD之间的距离是多少24.如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AMBN,按下列要求画图并回答：画NMAB、ZNBA的平分线交于E（1）ZAEB是什么角（2）过点E作一直线交AM于D,交BN于C,观察线段DE、CE,你有何发现（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E,AD+BC=AB：AD+BOCD谁成立并说明理由。，。m25.如图，MBC的三边AB、BC、CA长分别是2。、3。、4。，其三条角平分线将ZABC分为券个三角形,则S

7、aabo：Sabco：Sacao等于26. 正方形ABCD中，AC、BD交于0,ZEOF=90°,已知AE=3,CF=4,则S"EF为多少27. 如图，在RtAABC中，ZACB=45°,ZBAC=90°,AB=AC,点D是AB的中点，AF_LCD于H,交BC于F,BEAC交AF的延长线于E,求证：BC垂直且平分DE28. 在ZABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD±MN于D,BE±MN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD+BE（2）当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：D

8、E=AD-BE（3）当直线MN绕点C旋转到图的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系请直接写出这个等量关系。1解：VAABCAAED.ZD=ZB=50°/ZACB=105°）ZACE=75°V ZCAD=10°ZACE=75°ZEFA=ZCAD+ZACE=85°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）同理可得ZDEF=ZEFA-ZD=85°-50°=35°2根据旋转变换的性质可得ZB=ZB,因为ZkAOB绕点。顺时针旋转52。，所以ZBOB，=52。，而ZA*CO是B9C的外角，所以ZAX

9、O=ZBZBOB然后代入数据进行计算即可得解.解答:解：是由ZkAOB绕点。顺时针旋转得到，ZB=30AZB/=ZB=30°,V AAOB绕点0顺时针旋转52。，.ZBOBZ=52%/ZAZCO是B，OC的外角，ZAfCO=ZBz+ZBO.故选D.3全等三角形的性质：对顶角、邻补角；三角形内角和定理.分药,根据全等三角形的性质得出ZA=ZDEB=ZDEC,ZADB=ZBDE=ZEDC,根据邻补角定义求出ZDEC.ZEDC的度数，根据三角形的内角和定理求出即可.解答:解：.'ADB丝ZkEDB丝ZkEDC,.-ZA=ZDEB=ZDEC,ZADB=ZBDE=ZEDC,/ZDEB+

10、ZDEC=180%ZADB+ZBDE+EDC=180.ZDEC=90ZEDC=60°,ZC=180°-ZDEC-ZEDC,=180o-90°-60o=30°.4分析：根据旋转的性质，可得知ZACAT5。，从而求得NA，的度数，又因为NA的对应角是ZA即可求出NA的度数.）解答：解：三角形ABC绕着点C时针旋转35。，得到ABC.NACA'=35°,ZAlDC=90°ZAJ=55%NA的对应角是ZA即ZA=ZAZA=55°；故答案为：55。点评:此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固

11、定角度的位置移动.其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变.解题的关键是正确确定对应角5因为AB二AC三角形ABC是等腰三角形所以AB+AC+BC=2AB+BC=50BC=50-2AB=2(25-AB)又因为AD垂直于BC于D,所以BC=2BDBD=25-ABAB+BD+AD=AB+25AB+AD=AD+25=40AD=40-25=15cm6解:VBD±DE,CE1DEcAZD=ZEZBAD+ZBAC+ZCAE=180°又VZBAC=90°,AZBAD+ZCAE=90°.在RtAABD中，ZABD+ZBAD=90°AZA

12、BD=ZCAE.在ABD与ZCAE中ZABD=ZCAEZD=ZEAB=AC/.AABDACAE(AAS)BD=AE,AD=CEVDE=AD+AE/.DE=BD+CEVBD=3,CE=2/.DE=57证明：.胡。是NBAC的平分线AZEAD=ZFAD又.DE_LAB,DF±ACZAED=ZAFD=90°边AD公共ARtAAEDRtAAFD(AAS)AAE=AF即AAEF为等腰三角形而AD是等腰三角形AEF顶角的平分线AAD1底边EF(等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(简写成“三线合一)8AD平分ZBAC,贝IJZEAD=ZFAD>ZEDA=ZDF

13、A=90AD=AD所以AEDAAFDDE=DFSAABC=SAAED+SAAFD28=l/2(AB*DE+AC*DF)=l/2(20*DE+8*DE)DE=29AB=AE,ZB=ZE,ZBAC=ZEAD则左ABC丝ZXAEDAC=ADAACD是等腰三角形ZCAF=ZDAFAF平分ZCAD则AF±CD10 解：VAD±BCZADB=ZADC=90AZCAD+ZC=90VBEXAC.ZBEC=ZADB=90AZCBE+ZC=90.ZCAD=ZCBEVAD=BDAABDHAADC（ASA）.BH=AC11 解：（1）证明：VAD1BC（已知），AZBDA=ZADC=90o（垂直定

14、义），.Zl+Z2=90°（直角三角形两锐角互余）.在RtABDF和RtAADC中，.-RtABDFRtAADC（）.AZ2=ZC（全等三角形的对应角相等）.VZl+Z2=90°（己证），所以Zl+ZC=90°.VZ1+ZC+ZBEC=18O°（三角形内角和等于180°）,AZBEC=90°.ABE±AC（垂直定义）;12证明：（1）.DAC、ZkEBC均是等边三角形，.AC=DGEC=BC,ZACD=ZBCE=60%ZACD+ZDCE=ZBCE+ZDCE,即ZACE=ZDCB.在ZkACE和zDCB中，AC=DCZACE=

15、ZDCBEC=BCACE丝ZkDCB（SAS）AAE=BD（2）由（1）可知：ZACE丝DCB,AZCAE=ZCDB.即匕CAMNCDN.DAC、AEBC均是等边三角形，.AC=DGZACM=ZBCE=60°.又点A、C、B在同一条直线上，ZDCE=180°-ZACD-ZBCE=180°60°-60°=60°,即ZDCN=60°.ZACM=ZDCN.在ZkACM和ZkDCN中，ZCAM=ZCDNAC=DCZACM=ZDCNAAACMADCN（ASA）ACM=CN.（3）由（2）可知CM二CN,NDCN二60°.CM

16、N为等边三角形由（3）知ZCMN=ZCNM=ZDCN=60°（.ZCMN+ZMCB=180°MN/BC13分析:（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到CANAMCB,结论得证：（2）由（1）中的全等可得ZCAN=ZCMB,进而得出ZMCF=ZACE.由ASA得出CAE竺ZkCMF,即CE=CF,又ECF=60。，所以CEF为等边三角形.解答：证明：(1).ACM,ACBN是等边三角形，.AC=MC,BC二NC,ZACM=60°,ZNCB=60°,在ZkCAN和AMCB中，AC=MC,ZACN=ZMCB,NC=BC,AACAN

17、AMCB(SAS),AAN=BM.(2)VACANTACMB,AZCAN=ZCMB,又VZMCF=180o-ZACM-ZNCB=180°-60o-60°=60.ZMCF=ZACE,在ZCAE和ZkCMF中，ZCAE=ZCMF,CA=CM,ZACE=ZMCF,CAE竺ZkCMF(ASA),CE=CF,.CEF为等腰三角形，又VZECF=60°,CEF为等边三角形.点评:本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用.14考点：等边三角形的性质：全等三角形的判定与性质：旋转的性质.分析:由题中条件可得左ABE丝ZkCBD,得出对应边、

18、对应角相等，进而得出左BGDABFE,AABFACGB,再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论.解答:解：VAABC与ZBDE为等边三角形，AAB=BC,BD二BE,ZABC=ZDBE=60°,ZABE=ZCBD>即AB=BC,BD=BE,ZABE=ZCBD.ABE丝ZCBD,AE=CD,ZBDC=ZAEB,又VZDBG=ZFBE=60%BGD丝ZkBFE,ABG=BF,ZBFG=ZBGF=60%.BFG是等边三角形，.FGAD,VBF=BG,AB=BC,ZABF=ZCBG=60°,ABF丝ACGB,.ZBAF=ZBCG,ZCAF+ZACB+ZBCD=Z

19、CAF+ZACB+ZBAF=60°+60°=120°,ZAHC=60%/ZFHG+ZFBG=120°+60°=180%AB.G、H、F四点共圆,VFB=GB,AZFHB=ZGHB,ABH平分ZGHF,题中都正确.故选D.点评:本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握.15考点：全等三角形的判定与性质.分析：仔细分析题意，若能证明八ABF丝ZkGCA,则可得AG=AF.在ABF和AGCA中，有BF二AC、CG=AB这两组边相等，这两组边的夹角是NABD和ZACG,从己知条件中可推出/ABDNACG.在RtAAGE中

20、，ZG+ZGAE=90而ZG=ZBAF,则可得出ZGAF=90%即AG_LAF.解答：解：AG=AF,AG1AF.VBD.CE分别是ZABC的边AC,AB上的高.ZADB=ZAEC=90°AZABD=90°-ZBAD,ZACG=90°-ZDAB,AZABD=ZACG在ZABF和ZkGCA中BF=ACZABD=ZACGAB=CGAAABFAGCA(SAS).AG=AFZG=ZBAFj又NG+/GAE=90度.AZBAF+ZGAE=90度.ZGAF=90°.AG_LAF.点评：本题考查了全等三角形的判定和性质：要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关系灵活解

21、题,考查学生对几何知识的理解和掌握，运用所学知识，培养学生逻辑推理能力，范围较广.161、证明：VBEXACZAEB=90AZABE+ZBAC=90VCF±AB)ZAFC=ZAFG=90AZACF+ZBAC=90,ZG+ZBAG=90AZABE=ZACFVBD=AC>CG=ABAAABDAGCA(SAS)AAG=AD2、AG1AD证明vAabdAgca.ZBAD=ZG.AZGAD=ZBAD+ZBAG=ZG+ZBAG=90AAG±AD17过E做EG1AF于G,连接EFVABCD是正方形.ZD=ZC=90°AD=DCVZDAE=ZFAE,ED1AD,EG1AFA

22、DE=EGAD=AG.E是DC的中点ADE=EC=EGVEF=EFRtAEFGRtAECFAGF=CF.AF=AG+GF=AD+CF18因为：角EDB=60°DE=DB所以：AEDB是等边三角形，DE=DB=EB过A作BC的垂线交BC于F因为：AABC是等腰三角形所以：BF=CF,2BF=BC又：角DAF=30°所以:AD=2DF又：DF=DB+BF所以：AD=2（DB+BF）=2DB+2BF=2DB+BC（AE+ED）=2DB+BC,其中ED=DB所以：AE=DB+BC,AE=BE+BC19补充：B是FD延长线上一点：ED=DF（角平分线到两边上的距离相等）：BD=CD；

23、角EDB=FDC（对顶角）：则三角形EDB全等CDF：则BE=CF：或者补充：B在AE边上；ED=DF(角平分线到两边上的距离相等)：DB=DC则两直角三角形EDB全等CDF(HL)即BE=CF20解：VAF/DEAZD=ZAFCVZB+ZD=180°/,ZAFC+ZAFB=180°AZB=ZAFB(AAB=AF=DEAAFC和EDC中：ZB=ZAFBzZACF=ZECD(对顶角)，AF=DEAAFCAEDC/.CF=CD21证明：.点P在ZAOB的角平分线OC上，PE10B,PD±AO,PD二PE,ZDOP=ZEOP,ZPDO=ZPEO=90%AZDPF=ZEP

24、F,在ZkDPF和AEPF中PD=PE)ZDPF=ZEPFPF=PF(SAS),AADPFAEPF.DF=EF.22考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得ZBED竺ZkCFD：（2）连接AD.利用（1）中的ABED竺ZCFD,推知全等三角形的对应边ED=FD.因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点D在匕A的平分线上.解答:AFC证明：（1）VBFXAC,CE±AB,ZBDE=ZCDF（对顶角相等），azb=zc（等角的余角相等）；在RtABED和RtACFD中,ZB=ZCBD=CD(己知)ZBDE=ZCDFAABEDACFD

25、(ASA)；（2）连接AD由（1）知，BEDWZkCFD,AED=FD（全等三角形的对应边相等），AD是NEAF的角平分线，即点D在NA的平分线上.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质.常用的判定方法有：ASA,AAS,SAS,SSS,HL等，做题时需灵活运用.公考点:角平分线的性质.分析:要求二者的距离，首先要作出二者的距离，过点。作FGJ_AB,可以得到FGXCD,根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG,即可求得AB与CD之间的距离.A,尸B*解答:CG。解：过点。作FG±AB,.'ABCD,.ZBFG+ZFGD=180°,VZBFG=90%.ZFGD=90

26、.FG_LCD,.FG就是AB与CD之间的距离.O为ZBAC,ZACD平分线的交点,OEXAC交AC于E,AOE=OF=OG（角平分线上的点,到角两边距离相等），AAB与CD之间的距离等于2OE=4故答案为：4.点评:本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB与CD之间的距离是正确解决本题的关键.4考点:梯形中位线定理：平行线的性质；三角形内角和定理：等腰三角形的性质.专题:作图题：探究型.分析:（1）畚两直线平行同旁内角互补，及角平分线的性质不难得出Zl+Z3=90°,再由三角形内角和等于180%即可得出ZAEB是直角的结论：（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM

27、,由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出边之间的关系：（3）由（2）中得出的结论可知EF为梯形ABCD的中位线，可知无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E,AD+BC的值总为一定值.解答:解：（1）AMBN,AZMAB+ZABN=180°,又AE,BE分别为NMAB、ZNBA的平分线，AZ1+Z3=7（ZMAB+ZABN）=90°,ZAEB=180°-Zl-Z3=90%即NAEB为直角：(2)过E点作辅助线EF使其平行于AM,如图则EFADBC,.-ZAEF=Z4,ZBEF=Z2,VZ3=Z4,Zl=Z2tAZAEF=Z3,ZBEF=Z1,

28、.F为AB的中点,又EFADBC,根据平行线等分线段定理得到E为DC中点,AED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E,总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB.点评:本题是计算与作图相结合的探索.对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质，三角形内角和定理，及梯形中位线等基础知识解决问题的能力都有较高的要求.B25C卫如图，AABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将ABC分为三个三角形，则Saabo：Sabco：S.t.cao等于（）A.1：1：1B.1：2：3C.2：3：4D.3：4：5考点:角平分线的性质.专题:数形结合.分杭利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20,30,40,所以面积之比就是2：3：4.解答:解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C.故选C.点评:本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式.做题时应用了三个