2016年湖南省高中数学竞赛试题教(学)案答案

1、专业学习资料2016 年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共 6 6 个小题，每小题 5 5 分，满分 3030 分.每小题所提供的四个选项 中只有一项是符合题目要求的）1.设集合SA,A,A,A?，在S上定义运算“二”为：A二宀二Ak，其中k为i j被4除的余数，i, j = 0,1,2,3 则满足关系x二x二A2=AO的xx S的个数为（ ）A A. 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D. 4 4答案：B B.提示：因为x二x二人二人，设x二x=Ak,所以Ak二A2=ao,k=2,即x二X=A2,故x=A或x = A3.答案：A A.2 2 个骰子由 1-61-6 六个

2、数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？的数字是 （）3.3.设函数f x = 2 x-cos x,an是公差为的等差数列82f an i；=5二，则 |_|_f fa3-3氏=（）f a1f a2HIA A.0B B.161C.C.- -8d216专业学习资料答案：D D .专业学习资料提示：因为U是公差为丄的等差数列，且8f aif a2JIT f a5=：2印-cosaj i亠2a2-cosa2H| 2a5- cosa5i；=5二，即2耳 a2 | a5icosa1 cosa2cosa5i：= 5二,所以阳iH兀即10a312cos 2cos 1 cosa3=5二.I48丿

3、记g x =10 x i2cos 2cos 1 cosx-5二，kI 48丿r(Tl兀)g x =10 _l2cos 2cos 1 sin x 0， I48丿即g x在R为增函数，有唯一零点x，所以a32z + ni - z mi = m在同一复平面内的图形答案：B B.提示：z+n i +zmi = n表示以斤（0, n）, F2（0,m）为焦点的椭圆且n0.z+ni - z mi = m表示以F1（0, n ）, F2（0,m）为焦点的双曲线的一支.由-(ji )10a3一cos a3-cos a3-C 8丿Jicosa3cos a3cos a3JI所以f a?$ -aja5= 2 - 0

4、JI(Tl兀YJI2I I - I + 22424164.4.设m,n为非零实数，i为虚数单位，z，C,则方程z + ni + z mi = n与方程（其中R,F2是焦点）是（）BCD专业学习资料n = z+ ni +z mi + n,知m cO.故双曲线z+ ni - z mi = m的一支靠近答案：C C.6 6 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场 ，但有 3 3 名选手各比赛了两 场之后就退出了 ，这样全部比赛只进行了 5050 场，那么上述 3 3 名选手之间比赛场数是( )A A. 0 0B B. 1 1C C. 2 2D D. 3 3答案：B B.提示：设这 3 3

5、 名选手之间比赛的场数是r,共n名选手参赛，依题意有2n -3 n -4C：6r =50，即44 r.2因为0辽r乞3,所以分 4 4 种情况讨论：1当r=0时，有n_3 n_4 =88,即n2-7n- 76=0,但它没有正整数解，故r =0；5.5.给定平面向量1,1,变换得到的，答案是 (A A.顺时针旋转60所得AC C.逆时针旋转60所得)B B.顺时针旋转120所得提示：设两向量所成的角为贝yCOST=1V3 1 + 31,1,2 24,又0,180，所以 v- 60.口心口。所以C正确.那么，平面向量是将向量1,1经过专业学习资料2当r =1时，有n -3 n -4 =90,解得n

6、 = 13,故r =1符合题意；专业学习资料当r =2时，有n-3 n-4 =92,即n1 2 3-7n-80=0,但它没有正整数解，故2;当r =3时，有n-3n-4=94,即n2-7n -82 = 0,但它没有正整数解，故r - 3.二、填空题（本大题共 6 6 个小题，每小题 8 8 分，满分 4848 分，解题时只需将正确答案直 接填在横线上）7 7 规定：对于x R,当且仅当n乞n：n 1 n N*时，xl -n.则不等式4 lx2- 36 R h：；45空0的解集是_ .答案：2乞x岂8.提示：所求不等式为关于仪的一元二次不等式.由4x I2-36X -45乞0,得315x，故21

7、17,即2乞x：8.228 8 在三棱锥S- -ABC中，SA=4,SB-7,SC-9,AB=5,BC乞6, AC空8,则三棱锥的体积的最大值为1L 2一61-,故si n： .1 - cos, S-SABSA AB si n：_ 4、6.55由于棱锥的高不超过它的侧棱，所以FCSAES,SABBC8飞事实上，取SB =7, BC=6,且CB_面SAB时，可以满足已知条件，此时VCSAB=8、6.9 9 . 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字0,两个面上标以数字1, 一个面上标以数字2。将这个正方体的抛掷两次 ，则向上的数之积的数学期望是 _根据余弦定理有cost二SA2AB2- S

8、B22SA AB专业学习资料提示：由题意知，抛掷小正方体向上的数为0的概率为1,向上的数为1的概率为1,向231上为2的概率为_ ,如下表所示6_ _第一次抛掷0 01 12 2第二次抛掷111 11 10 0XX X 222 32 6111 11 11 1X一X X 323 33 6111 11 12 2XX X 626 36 6于是所得向上的数之积的分布列为0 01 12 24 43111P49936E丸3 1 1 2 1 4丄上4993691010 .观察下列等式c9+C；+C；= 27+23；G；C13C13C1；3=211-25；小1小5小9小13小17小15小7Cl7* Cl7 C

9、17 C17C1722由以上等式推测出一般的结论：对于n e N*, C4n+C：n卅+C4+L + C：n* =_答案：24心十（1，22心、11111 .方程16sin二xcos二x =16x的解的集合是 _4252-72专业学习资料x1 11答案：丄，一丄4J11提示：当x 0时，16x8,当且仅当x时取“二”.而x4116sin二xcos二x =8sin2二x8,当且仅当x k, k三Z时取“二号.于是，当x 04一一1 1时，方程只有一个解x.由奇函数的性质可知，x是方程的另一个解.故方程的44f111解集合为丄，-丄.144J1212 .当一个非空数集F满足条件 如果a,b F,则

10、a b,b,a b F,且当b =0时,aF”时，我们称F就是一个数域。以下四个关于数域的命题 ：b0是任何数域的元素；若数域F有非零元素，则2016 F；集合P = x | x =3k,k Z是一个数域：有理数集是一个数域。其中真命题的代号是 _(写出所有真命题的代号)答案：.a 1提示：根据数域的定义判断， 均正确.取a =3,b =6,则a,b P,但- P,b 2即错误.三、简答题(本大题共 4 4 个小题，满分 7272 分)2 21313 .(本小题满分 1616 分)已知椭圆C:笃占=1(a b 0)经过点0八3,离心率为a b1丄，经过椭圆C的右焦点F交椭圆于 代B两点，点A,

11、F,B在直线x = 4的射影依次是2D,K,E。(1)求椭圆的C的方程；专业学习资料(2)连接AE,BD，试探求当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标并给予证明 ；否则，说明理由。专业学习资料解：(1 1)由经过点0八空,得b = 3,得2a a 2a=2.2 2故椭圆C的方程为C:1.43(2)当直线l的斜率不存在时，直线I -X轴，则ABED为矩形，由对称性知，直线AE证明：设A x-!, y1, B x2, y2, D 4,y1,E 4, y2直线AB的方程为y二k x-1，联立椭圆C的方程消去y得3x4+4k2（x1 $ =12，即（3 + 4k2

12、）x28k2x + 4k2-12= 0,2 28k4k一12中斗y2一M.5 ,x1x22, x1X2厂又因为IAE: y - y2-x-4，当x时，3+4k3+4k4 冷2y=kx2_1|-5kx2一2如宀4 X2222=0,与BD相交于FK的中点N 50丿由此猜想直线AE与BD相交于定点N -12即点N i5,02直线IAE上.2 4-为专业学习资料-8k 3 4k -2k 4k -125k 8k同理可证，点N5,0在直线IBD2丿上，所以，当直线I的倾斜角变化时，直线AE与BD相专业学习资料1414 .（本小题满分 1616 分）已知四边形ABCD是正方形，P是边CD上一点（点P不与顶

13、点重合），延长AP与BC的延长线交于点Q。设ABQ，PAD，PCQ的内切圆半径分别是口，r2, r3。2（1 1）证明：ri_4r2，并指出点 P P 在什么位置时等号成立2 2 21(2)若AB =1,试求证：3 - 2；2 :口r2- r32证明：(1 1)如图所示,因为ABQPDAPCQ,所以 口：r2: r3= AB : PD : PC.交于定点而AB = CD -PD PC,ADBCQ专业学习资料一2，端,即-4卯3当且仅当2二3,即P为CD的中点时，等号成立.(2(2)由(1 1)2PDPCPCT,2PD1 -PDPD=2- PDPD-PDI1話1专业学习资料3c 11彳1 PD

14、- AP=r2221 =2PD2PD.21 PD一J PD2122PD_PD1PD1.记.DAP - v 0,则I 4丿22I (1 +cot日-cot日)2231.1r1r2r31 tan v -2(cosBj2221COSTsi nr -1 sin v cos v - sin v cos v -2cos vsin二21COSTsin v -1 j 1 -sin cosr2si nrCOST2令cosrCOST=t，贝U1：t：,2，且sin cos2(t-1)1t2-123-t2它是关于t的单调递增函数，所以3-2迈1Jr22J ”：3 2(1+1)即3 -2一2:r22r321515 .

15、已知函数f(x) =xln1-.212 _x mx - x, m R.2(1)当m =-2时，求函数f (x)的所有零点；(2)若f (x)有两个极值点,X2，且xX2，求证：X!x2e2。解：(1 1 )当m = -2时，f xi=xln xx -x=xlnx xT,x 0.设1p x = In x x T,x 0,则p x10,于是p x在0,亠上为增函数.x又p 1 = 0,所以，当m = -2时，函数f x有唯一零点x = 1.专业学习资料专业学习资料(2)若f x有两个极值点Xi,X2,则导函数f X有两个零点Xi,X2.由f (x)=Inx _mx，可知In Ximx _0,In

16、x2- m为=0. 2要证x,x2e,可转化为证明：In x-iln x2- 2.设0：x-i: x2，则0：t=卷:1，Inx1Inx2二t Int.下面证只须证明：X2t 11 t I nt2 t-1M由吩一叫 2 可得mIn % -m%二0In x-iIn x2X-Ix2由Inm，可得mIn冷mx2= 0In论In x2为_x2两式联立，得InX1InX2X-Ix2nInx2.进一步，得% _x2 Inx2x1小小x2X1x2二1 + In X2丿X2% -x24 4 个不专业学习资料同的三角形，即是任取 3 3 个数作为边长均可构成不同的三角形.下面用反证法给出证明：若存在某三个数为边

17、长的不能构成三角形，由对称性可知不妨设这三个数为Xi,X2,X3，且满足Xi_ X2X3.因为1 1 1 1(X * X2 * X3 * X4 ) + + + 刍X2X3X4丿11由条件，得12 4t 17，即4t t 0 t -1 .事实上，当t 1时，tt4t2-5t +1(组-qt-1上这与上面所得结论矛盾所以，原命题成立4答案；4.92，即证In t当0: t: 1时恒成立t -1t 12设函数g(t)=Int-辽丄),则gYt)丄=”、0, t+1t(t+1)t(t+1)故函数g t在0,1上为增函数，g t : g 1 =0.所以，In t 一当0:t : 1时恒成立，即X2X3X1X2(1/4为丿亡3X2丿X4X2丿 卫4为丿丿1 1+ +X2+X3+2x412 +为1 1 + X2+ X3宀X3X1SX3丿X1X1+色十