高中数学 必修四 2.4 平面向量的数量积 教案 B

1、.教案 B第一课时教学目的一、知识与技能1. 理解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2. 体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进展相关的判断和运算二、过程与方法体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的才能三、情感、态度与价值观通过自主学习、主动参与、积极探究，学生能感受数学问题探究的乐趣和成功的喜悦，增加学习数学的自信心和积极性，并养成良好的思维习惯教学重点平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用教 具多媒体、实物投影仪

2、内容分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的3个重要性质；平面向量数量积的运算律教学流程概念引入概念获得简单运用运算律探究理解掌握反思进步教学设想：一、情境设置：问题1：回忆一下物理中“功的计算，功的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？力做的功：W = |cosq，q是与的夹角引导学生认识功这个物理量所涉及的物理量，从“向量相乘的角度进展分析二、新课讲解1平面向量数量积内积的定义：两个非零向量a与b，它们的夹角是，那么

3、数量|a|b|cosq叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a|b|cosq，并规定：0与任何向量的数量积为0问题2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，运算结果是数量注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定2两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“ 在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“代替3在实数中，假设a0，且ab=0，那么b=0；但是在数量

4、积中，假设a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cosq有可能为04实数a、b、cb0，那么ab=bc a=c但是在向量的数量积中，ab = bc 推导不出a = c .如以下图：ab = |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc ，但a c. 5在实数中，有abc = abc，但是在向量中，abc abc 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线 “投影的概念：作图2定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为

5、直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|3向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积例1 平面上三点A、B、C满足|=2，|=1，|=，求+的值. 解:由,|2+|2=|2，所以ABC是直角三角形.而且ACB=90,从而sinABC=，sinBAC=.ABC=60，BAC=30.与的夹角为120，与的夹角为90，与的夹角为150.故+=21cos120+1cos90+2cos150=-4. 点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点一样,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角

6、是120,而不是60.探究1：非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为0 ，何时为负？当0 90时ab为正；当 =90时ab为零；90 180时ab为负.探究2：两个向量的夹角决定了它们数量积的符号，那么它们共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？4两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量1ab ab = 02当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b| 特别的aa = |a|2或3 |ab| |a|b|公式变形：cosq =探究3：对一种运算自然会涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？引导学生类比得出运算律，老师作补充说

7、明向量a、b、c 和实数，有 1 a b= b a 2a b= a b = ab 3a +b c = a c+ b c进一步你能证明向量数量积的运算律吗？引导学生证明1、2例2 判断正误：a00；0a；0-；aa；假设a0，那么对任一非零有a；a，那么a与中至少有一个为0；对任意向量a，都有a；a与是两个单位向量，那么a上述8个命题中只有正确；例3 a，当a，a，a与的夹角是60时，分别求a解：当a时，假设a与同向，那么它们的夹角，aacos036118；假设a与反向，那么它们的夹角180，aacos18036-1-18；当a时，它们的夹角90，a；当a与的夹角是60时，有aacos60369

8、评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180，因此，当a时，有0或180两种可能评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律三、课堂练习1|a|=1，|b|=，且a-b与a垂直，那么a与b的夹角是 A60 B30 C135 D2|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为 A2 B2 C6 D123a、b是非零向量，假设|a|=|b|那么a+b与a-b .4向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，那么|a+b|a-b|= 5a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么ab=

9、6|a|=1，|b|=，1假设ab，求ab；2假设a、b的夹角为45，求|a+b|；3假设a-b与a垂直，求a与b的夹角参考答案:1D 2B 3垂直4 5-3 6. 解：1假设a、b方向一样，那么ab=；假设a、b方向相反，那么ab=；2|a+b|=345四、知识小结1通过本节课的学习，你学到了哪些知识？2关于向量的数量积，你还有什么问题？五、课后作业教材第108页习题24 A组 1、2、3、6、7教学后记数学课堂教学应当是数学知识的形成过程和方法的教学，数学活动是以学生为主体的活动，没有学生积极参与的课堂教学是失败的本节课教学设计按照“问题讨论解决的形式进展，并以学生为主体，老师以课堂教学的

10、引导者、评价者、组织者和参与者同学生一起探究平面向量数量积定义、性质和运算律的形成与开展过程始终做到以“学生为主体、老师为主导、思维为主攻、训练为主线第2课时教学目的 一、知识与技能掌握平面向量的数量积坐标运算及应用二、过程与方法1.通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性.2.从详细应用体会向量数量积的作用三、情感、态度与价值观学会对待不同问题用不同的方法分析的态度 .教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用.教 具多媒体、实物投影仪.教学设想一、复习引入向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便上

11、一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题二、探究新知： 平面两向量数量积的坐标表示两个非零向量，试用和的坐标表示设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生才能开展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为进步学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背与进步学生素质并不矛盾。相反,它恰是进步学生语文程度的重要前提和根底。所以又，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即2 平

12、面内两点间的间隔 公式1设，那么或假如表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么平面内两点间的间隔 公式2向量垂直的断定设，那么3两非零向量夹角的余弦 cosq =三、例题讲解例1 a = 3， -1，b = 1， 2，求满足xa = 9与xb = -4的向量x解：设x = t， s， 由 . x = 2，-3.例2 a，b，-，那么a与b的夹角是多少？ 分析：为求a与b夹角，需先求ab及ab，再结合夹角的范围确定其值解：由a，b，-.有ab-，a，b记a与b的夹角为，那么.又，.评述：三角形函数值求角时，应注重角的范围确实定例3 如图，以原点和A5， 2为顶点作等腰直角OAB，使B

13、= 90，求点B和向量的坐标解：设B点坐标x， y，那么= x， y，= x-5， y-2. xx-5 + yy-2 = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0.又| = | x2 + y2 = x-52 + y-22即：10x + 4y = 29.由.B点坐标或；=或 .例4在ABC中，=2， 3，=1， k，且ABC的一个内角为直角，求k值解：当A = 90时，= 0，21 +3k = 0， k =当B = 90时，= 0，=-= 1-2， k-3 = -1， k-3，2-1 +3k-3 = 0 k =当C = 90时，= 0，-1 + kk-3 = 0， k =四、小结1本节课的

14、内容：有关公式、结论由学生归纳、总结.2本节课的思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、方程组思想等.五、课外作业教材第107页练习其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记之后会“活用。不记住那些根底知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正进步学生的写作程度,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从根底知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的成效。观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目

15、的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云滚滚。当幼

16、儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿可以生动形

17、象地描绘观察对象。观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云滚滚。当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：