圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习

1、圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题一常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形） ，圆）二热点问题1.定义与轨迹方程问题2. 交点与中点弦问题3. 弦长及面积问题4. 对称问题5. 范围问题6. 存在性问题7. 最值问题8. 定值，定点，定

2、直线问题第二部分 知识储备一 与一元二次方程 ax2bx c 0（a 0） 相关的知识（三个“二次”问题）1.判别式：b24ac.与直线相关的知识点到直线的距离公式：A2B2()d2k2)3.弦长公式：直线y kx b上两点A(x,yJ, B(x2, y2)间的距离:5.中点坐标公式：已知两点A(X1,yJ, B(X2, y2)，若点M x, y线段 AB 的中点，则三.圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线1.圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。2.圆

3、锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程双曲线的标准方程 抛物线的标准方程2.韦达定理:若一兀二次方程ax2bx c0(a0)有两个不等的实数根xX2，则X-Ix2bc，x X2aa3.求根公式: 若一兀二次方程ax2bx c0(a0)有两个不等的实数根Xl,X2，则bxi,2.b24ac2a1.直线方两点式，一般式2.与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率:y tan，0,)；AB &k2x1x2.(1 k2)(xiX2)24xiX2(或 ABy2)4.两直线 h: y1kx1bi, I2：y2k2X2b的位置关系:l1l2kk21l1/l2k1k2且bb21.22,所求双曲线C的方程为x2y2

4、3.圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数a,b,c三者的关系，p的几何意义等4.圆锥曲线的其他知识：2b22b2通径：椭圆2b，双曲线2b，抛物线2paa焦点三角形的面积：p在椭圆上时S呼PF2b2tan p在双曲线上时 SVF1PF2b2/ tan 四常结合其他知识进行综合考查1.圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系2.导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识3.向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等4.三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质5.不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五

5、不同类型的大题(1)圆锥曲线与圆例 1.(本小题共 14 分)【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.a23(I)由题意，得c 3，解得a 1,c3,a2 2已知双曲线C：x21(aa b0,b0)的离心率为3，右准线方程为x(I)求双曲线C的方程;(n)设直线I是圆0 : x2y22上动点P(x0, y0)(x0y00)处的切线，I与双曲线C交于不同的两点A, B，证明AOB的大小为定值(n)点p Xo,yoxyo0在圆x2y22上,2(n)点P xo, yoxoyoO在圆x圆在点P xo,yo处的

6、切线方程为yyoXoXo化简得XoX yoy 2.yo22y彳xi2XoX yoy22Xoyo222 2o4 x 4XoX8 2x：O,切l与双曲线 C 交于不同的两点AB,2Xo 3x4 O，且2 2i6xo4 3xo48 2xoO,设AB 两点的坐标分别为Xi, yi, X2,y24xo3x24，X X28 2xo2，3xo4 COS AOBUJUUUJOA OBUJU| |UUUOA OB，且uuuOAUJUOB xix2yiy2xiX2XoXi2XoX2,X1X2xO2xoXiX22XoXiX28 2x23Xg48x23xO42 2Xo8 2xo8 &3x：428 2xo3x：

7、O.AOB的大小为9O.2上，圆在点P xo, yo处的切线方【解法 2】(1)同解法 i.3X248y0X 82xo 028 2xo3XFy2方程的判别式均大于零)(2)圆锥曲线与图形形状问题x2例已知A,B, C是椭圆W +y2= 1 上的三个点，O是坐标原点.4(1)当点B是W的右顶点，且四边形OAB(为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OAB(是否可能为菱形，并说明理由.2X2解：椭圆 W +y= 1 的右顶点B的坐标为(2,0).程为yXoX X0,化简得XoXyoy2.由X2XoX2y1I222及X)y02y0y 23X2x24x0 x8 2x：切线I与

8、双曲线 C 交于不同的两点A、B,二3xf40,设 A、B 两点的坐标分别为Xi, yi,X2,y2，2y。UJU二OAUJUOBX1X22且xy00y“2AOB的大小为90.2X02,02 2y。2，从而当3X04 0时，方程和则XjX22X02823X34练习 1:已知点A是椭圆2XC :9的左顶点，直线I:Xmy 1(m R)与椭圆C相交于E,F两点，与x轴相交于点B.且当m 0时，AEF的面积为兰.3(I)求椭圆C的方程;(n)设直线AE,AF与直线X 3分别交于M,N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过点B并请说明理由4因为四边形OAB(为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A

9、(1 ,m)，代入椭圆方程得-+ ni= 1，即 m=4所以菱形OABC勺面积是 丄|0BAQ=-x 2X 2|m=3.2 2(2)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y=kx+m(k丰0, m0).222消y并整理得(1 + 4k)x+ 8kmx+ 4m 4= 0.设A(xi,yi) , Qx2,y2),1因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为 .4k1因为k工一 1，所以AC与OB不垂直.4k所以OAB(不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OAB(不可能是菱形.2占1(a b 0)过点(.2 ,1)，且以椭圆短轴

10、的两个端点和b2一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形(I)求椭圆的标准方程;(n )设M (x, y)是椭圆 C 上的动点，P ( p,0)是X轴上的定点，求MP的最小值及取最小值时点M的坐标.x24y24,kx m则一x224kmy1y22，1 4k22X1X22m1 4k2所以AC的中点为M4km m1 4k21 4k2练习 1:已知椭圆C:2x2a(3)圆锥曲线与直线问题2 2例已知椭圆C:x 2y 4,(1)求椭圆C的离心率.2 2与圆x y2的位置关系，并证明你的结论2 2解析：椭圆的标准方程为：1，42a 2，b . 2 则 c 2，离心率 e -；a 2 2 2直线AB与圆 X

11、 y2相切证明如下：设点 AB的坐标分别为 Xoyot 2，其中Xo 0.mu luin因为OA 丄0B，所以 OA OB0，即 txo2yo0 ,解得 t2当 Xot 时，yo-,代入椭圆C的方程，得 t2 ,2故直线AB的方程为X 2.圆心 O 到直线AB的距离d.2.2 2 _此时直线AB与圆X y 2相切.当Xot 时，直线AB的方程为 y 2 生二 X t ,Xot即 yo2 xXot y 2Xotyoo 此时直线AB与圆 X2y22 相切.(2)设0为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OA0B,求直线AB2yoXo圆心 O 到直线AB的距离2Xotyo2Xot2.由题意知

12、，直线 OA 的斜率存在，设为 k，则直线 OA 的方程为y kX,OA 丄 OB,当k 0时，A 2 0，易知 B 0 2，此时直线AB的方程为 x即 k .1 2k2x 1k 1 2k2y 2k2202 k22原点到直线AB的距离为、2，此时直线AB与圆x22相切;当k 0时，直线OB的方程为 y 1 x，k联立kx2y22得点A的坐标1 2k242k.厂2k222k22k.厂2k2；联立1xk 得点B的坐标2由点A的坐标的对称性知，无妨取点A71 2k22k12k2进行计算，于是直线AB的方程为:2k22y22x二2k1 2k22k法三:此时直线AB与圆 x2y22 相切;设 AN%Bx

13、2y2，则OA/ k2|xi,OB原点到直线AB的距离2 ._ . 21 2k21k1 2k2此时直线AB与圆2相切。综上知，直线AB一定与圆x2y22相切.当k 0时，A 2 0，易知2，此时 OA 2 OBAB222 2，原点到直线AB的距离 dOA OBAB2 2 -2、22，、当k0时，直线 OB 的方程为 y1 kX，1 k2y221 k2，2k联立y2kX2得点A的坐标1录1录或1 2k212k2x 2y 4于是|0A J kg丫打；，OB 2j1 k2,2 2 1 k2.1 2k2.厂 2k2综上知，直线AB一定与圆 x2y22 相切2 2练习1：已知椭圆C:笃 爲1(a b 0

14、)过点(0,1)，且长轴长是焦距的.2倍过椭a b圆左焦点F的直线交椭圆C于A, B两点，O为坐标原点.(I)求椭圆C的标准方程；(H)若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由;(川)若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围(4)圆锥曲线定值与证明问题例已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 二3，且椭圆C上的点到两个2焦点的距离之和为4.(I)求椭圆C的方程；2 2解：(I)设椭圆C的标准方程为 冷 与1(a b 0),a b2k所以 dOA OBAB2,直线AB与圆x2y22相切;(n)设A为椭圆A的直线I与椭圆交于点M，与y

15、轴交于点N，过原点与I平行的直线与椭圆交于点P.证明：| AM | | AN | 2|OP f.AB4 1 k22.2 1 k2由题意知Ea2a所以椭圆C的标准方程为| AN | 4 4k22 .1 k2.设直线OP的方程为：y所以| AM | | AN | 2|OP|2.例：已知椭圆 C:X1(ab0)的离心率为 一3, A ( a,0 ) ,B(0,b) , 0( 0, 0),a b2 OAB 的面积为 1.b224,解得a(n)设直线AM的方程为：y k(x2)，则N(0,2k).由y2k(x2x24y22)，得(1+4k2)x24,16k2x 16k24 0(*).设A( 2,0M (

16、xi, yi)，则2,xi是方程(*)的两个根,所以x112 8k4k28k24k2 2).2所以叫4k21 4k|AM|AN|4E2C8(1 k2)1 4k24k2y kx,由I 4y24得(14k2)x2设P(x0,y。)，则x0242，4k2yo4k21 4k2所以|OP|244k21 4k2,2|OP|28k21 4k2| AM |1 4k24、1 k2(I )求椭圆 C 的方程;(I I)设 P 的椭圆 C 上一点，直线 PA 与 Y 轴交于点 M 直线 PB 与 X 轴交于点 N。求证：AN ? BM为定值。19.门由已知得，5 = * = v“” 恥呂=：血=I* I怔乩川=川+

17、以，由0 22亠 “ 亠亠 ,用傭得2上=1 椭闘方畀为十+泸=1.(II)设Iffi圆上点P的全标为 心咖飢事他,又已ApRQ.R(OJtHKfJJ PA的方程为八话RD令就可耳得到何点举标为*I呵样町以再到N的坐标为(筈窗.则|册-|刑I鵲 TI吊“I * I甞器TI唱鄴I2也“ -2止田金学尸（siw- cos（一ZCOJH苫）X2练习 1：已知椭圆C :笃a焦点构成的三角形的面积为(I)求椭圆C的方程;(n )已知动直线y k(x 1)与椭圆C相交于A、B两点若线段AB中点的横坐标17uuur umr为，求斜率k的值；若点M (,0),求证：MA MB为定值.23练习 2:已知抛物线

18、C : y2= 2 px (p 0 ),其焦点为 F, C 为坐标原点，直线 AB (不垂直 于 x 轴)过点 F 且抛物线 C 交于 A , B 两点，直线 CA 与 0B 勺斜率之积为p .(1 )求抛物线 C 的方程；(2)若 M 为线段 AB 的中点，射线 0M 交抛物线 C 于点 D，求证：-|0D|2y21(a b 0)的离心率为上色，椭圆短轴的一个端点与两个b235.23|0M |1XoXo练习 3:动点P(x, y)到定点F(1,0)的距离与它到定直线l:x 4的距离之比为 丄2(I )求动点P的轨迹C的方程；(H) 已知定点A( 2,0)，B(2,0)，动点Q(4,t)在直线

19、I上，作直线AQ与轨迹C的另一个交点为M，作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：M , N, F三点共线(5) 圆锥曲线最值问题例 5:已知椭圆c：笃笃1(a b 0)的离心率为匚3，椭圆C与y轴交于A, B两点，a b2|AB|2.(I)求椭圆C的方程；(H)设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x 4分 别相交于M, N两点若以MN为直径的圆与 x 轴交于两点E, F,求点P横坐标的取值范围及| EF |的最大值解: (I)由题意可得，b1,. 1分c.2分ea2-a213得-2.3分a4解2a 4,.4分椭圆C的标准方程为2xy21.5分4(n )设P(

20、x),y0)(0 x2),A(0,1),B(0, 1),所以kPA止，直线PA的方程为yx 1 ,.6 分同理：直线PB的方程为y生x 1,Xo线段MN的中点(4,他)圆于M N两点。(1)求椭圆 C 的方程;直线PA与直线x 4的交点为M(4,4(y1)Xo1),直线PB与直线x 4的交点为N(4,4(yo1)Xo1)，所以圆的方程为(x 4)2(y4y)2Xo42(1 -)，Xo因为所以0,则(X 4)216y：2Xo(12X。2yo1，所以y212Xo1o 分11 分(x4)2Xo因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解,所以5Xoo,解得Xo(8,2.512设交点坐标(X1,o),(X2,o)，则|x1x2| 2(5 Xo所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.142 2练习已知椭圆話1ab的一个焦点为F(2，o)，离心率为寸。过焦点F的直线I与椭圆C交于A E两点，线段ABK点为D, C为坐标原点，过Q 的直线交椭(2)求四边形AMBN面积的最大值。练习 2:已知椭圆C: mx23my21(m 0)的长轴长为2 6,O为坐标原点.(I)求椭圆C的方程和离心率；(n)设点 A(3,o)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若 | BA| |BP|，求四边形OPAB面积的最小值(6)圆锥曲线存在性问题2