曲线积分和曲面积分习题与答案

1、1第十章 曲线积分和曲面积分(A A)1 1 计算下列对弧长的曲线积分1)1)：L(x2y2)nds，其中:L : x = a cost, y = a s in t(Ot乞2二)2 2）Lxds,其中L为由y=x及y=x2围成3 3）JTX2yzds,其中 T T 为折线 ABCDABCD 这里 A A，B B, C,C, D D 依次为点（O O, O O, O O）,（ 0 0，0 0，2 2），（1 1, 0 0, 2 2）， （1 1, 3 3， 2 2）4 4)L(x2y2)ds,其中 L L：x=a(cost tsin t),y =a(sin t-t cost), (0乞t乞2二)

2、2 2、计算下列对坐标的曲线积分1 1）. L（X2-y2）dx,其中 L L 是y=x2上从（0 0, 0 0）到（2 2, 4 4）的一段弧（逆时针向）2 2: Lxydx,其中 L L 是（X - a）2 y2二a2及 x x 轴围成的在第一象限内的区域的整个边界23 3)qTdxdy+yd z,其中T为有向闭折线 ABCABC A A 这里 A,B,C 依次为点(1 1, 0 0, 0 0), ( 0 0,1 1, 0 0), (0 0, 0 0, 1 1)4 4) L(x2-2xy)dx - (y2-2xy)dy，其中 L L 是y =x2上从点(-1-1 , 1 1)到(1 1,

3、1 1)的一段弧3 3、利用格林公式，计算下列曲线积分1 1）L（2x -y - 4）dx - （5y - 3x - 6）dy,其中 L L 为三顶点分别为（0 0, 0 0）,（3 3, 0 0）和（3 3,2 2）的三角形正向边界2)2)L(x2ycosx 2xysin x - y2ex)dx (x2sin x -2yex)dy,其中 L L 为正 向星形线2 2 2x3y3=a3(a 0)4 4、验证下列P(x, y)dx Q(x, y)dy在整个xoy面内是某个u(x, y)的全微分，并求这样的u(x,y)1)1)(x 2y)dx (2x y)dy3 3L(2xy3- y2cosx)d

4、x (1 - 2ysin x 3x2y2)dy,其中 L L 为抛物线2x = y2上由(0 0,JI0 0）到（一,1）的一段弧23222)2)(2xcosy y cosx)dx (2ysinx-x siny)dy5 5、计算下列对面积的曲面积分4x y z1 1)(2x y z)ds,其中二为平面1在第一卦限中的部分32342)I i(xy yz - xz)ds,其中为锥面. x2y2被柱面x2y2= 2ax所截得的有限E部分6 6、计算下列对坐标的曲面积分1 1)11 x2y2zdxdy,其中 是球面x2y2z2= R2的下半部分的下侧Z2 2)xzdxdy xydydz yzdzdx,

5、其中 是平面x = 0, y=O,z = O,x y z=1围成区Z域的整个边界曲面的外侧7 7、利用高斯公式计算曲面积分1 1)Iix3dydz y3dzdx - z3dxdy,其中二：为球面x4y2z2二a2的外侧4 4A = exyi cos(xy)j cos(xz2)k4Z2 2)匸ixdydz ydzdx zdxdy,其中工为界于z =0,z =3之间的圆柱体x2y2-9的E整个表面的外侧8 8、求下列向量的散度1 1)A =(x2yz)i (y2xz) j (z2xy)k2 2)A = (z sin y)i(z -xcosy) j(B)(B)1 1、一段铁丝成半圆形其质量. .y

6、= a2-x2，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求2、把Lx2ydx-xdy化为对弧长的曲线积分，其中L L 为y=x2从点 A A (-1-1 , 1 1)到 B B (1 1,1 1)的弧段. .3 3、把ifxyzdyzdyxzd化成对弧长的曲线积分，其中】为曲线9 9、求下列向量场 A A 的旋度1 1)A=(2z-3y)i (3x -z) j (y-2x)k523x=t, y=t,z=t(0_t -1)一段弧. .4 4、求心形线x = 2acost -a cos2t, y = 2asint-asin 2t所围图形的面积5 5、求L(y2ex3x22xy y2)dx (2

7、yexx22xy _3y2)dy，其 中：L为y =1X X2从 A A (1 1 , 0 0)到 B B (0 0, 1 1)6 6、把 1111Pdydz - Qdzdx - Rdxdy化为对面积的曲面积分，其中X1 1 )2)2 是平面x - 2y 36在第二卦限部分上侧2 2)匕是z -a2- x2- y2上侧7 7、！!(x2- yz)dydz (y2- zx)dzdx 2zdxdy,其中二为锥面z =1 - f x2y2(z一0)的y上侧. .8 8、I(y2-z2)dx (z2-x2)dy (x2- y2)dz，其中丨为柱面x2y2=1与平面x y的交线，从 z z 轴正向看-为

8、逆时针方向. .6(C(C)-2 2 2x y a1 1、 计算I=吋L( y _ z)dx + (z _x)dy + (x _ y)dz,其中：L L：x z(a a 0,h a 0),+ =1,.a h从 X X 轴正向看去 L L 为逆时针. .2 2、 已知曲线积分I =Ly3dx - (3x - x3)dy,其中 L L 为x5y2= R2(R - 0)正向，求(1)R R 为何值时I=0;=0;(2)求I的最大值. .3 3、 计算I = lf(x,y,z) xdydz 2f(x,y,z) yldzdxf (x,y, z) zIdxdy, ,其中：yf (x, y,z)连续，三为x

9、-y在第W卦限部分的上侧. .第十章 曲线积分和曲面积分习题答案(A A)1 1、1 1)2二a2n12)2) (5、5 6 .2-1)(3)9(4)2二2a3(1 2二2)1256:31142 2、1 1)2)-a3)-4)-1522153 3、1)122)0J!23)4124 4、1) x22xy12尹2) y2si rx x2co s5 5、1)4.612)65一2a46 6、1)125 R72)11257 7、1)一二a52)81 -15105858 8、1)divA = 2x 2y 2z2)divA二yexy-xsi nxjy)2xzsi nx2)9 9、1)rotA =2i 4j

10、6k 2)r otAi j(B(B)二Lyds二2a2丄：y = a2-x2，上半圆2a22 1 2xL : y二x , y = 2x, tan：- 2x,cos：=,sin :-hx2ydx-xdy= JL(x2yX _x1+4x21+4x23 3、提示:x =t, y =t2,z =t3,x；=1, yt=2t,Zt=3t2,1 1、提示:2 2、提示:75+4x2J1 + 4x22)ds = JL(y 2)：dsP1 +4x8COS：-,COS L - -.1 4t59t41 4t29t4-1 4t29t45.=，. =3二。3t32t9124 4、sLxdy - ydx二6二a15 5

11、、 连 OA,OB,(0(0( 0 0, 0)0),使 OA,OB,L L 构成一圆周,4二06x dxOB二0(-3y)dy - -1, 16 6、1)h = 1, -2,3”；cos, cos146xyzdx yzdy xzdz =2xyz 2tyz 3t xz6xyz.1 4t29t4ds = i _Jl+4t2ds9t4而.OA：,cos.14-兰止=0=0-:y10 x,z z= (Pcosx Qcos：Rcos )ds丄H(P 2Q +3R)ds,14cos。= *Jx2y2z2yy2z2x2y2z2Px+Qy十Rz. = .(x y2丄2丄2二xyzds。7 7、设 1111x2

12、y2=1” y下侧,则一Z1构成闭曲面，于是:iii(2x - 2y z)dvQ2=兀3COS：cos :cos:x2y -z:y2 2z -x-z2xds,2 2)zx2、a211441.3X y力叮3ds ,=二;4什J3dxdy =-4JI J3三I = llaco ts-h(1_coB(_asi n)+ h(co-asirtkcot5a(cot&si rt)hsi rVdt - -2 a(a h)另解：用stokes公式：I - -2 11 dydz dzdx dxdy - -2II(COSJ】cos：cos )ds,a +hI = 2.22ds = 2二a(a h)ah.(1)R二、2时I =0,(2)l =6：R(1 R2)=0,R = 1,.3_.R - 1, 1ma x-T23 3、解：平面匕的法向量h =1,-1,心,则cos1,cos-1,cos =1331 1 解:XL:参数