数学之旅测试题

1、仅供个人参考不得用于商业用途1爱因斯坦创立广义相对论时用到了下列什么重要的数学工具？黎曼几何2 2下面这个方程有没有整数解?方程一卞-有没有整数解？有3下列哪个是孪生素数对？(17,19)(17,19)4圆与椭圆在下列哪个数学分支中可看作一样？拓扌卜5具有同样周长的下列图形哪个面积更大？圆6以下汉字哪一个可以一笔不重复地写出？日7偶数与正整数哪个多？一样多8数列极限趋于 o 的直观定义的弱点是下面哪一点？缺乏可操作性9课程中费曼的故事告诉我们懂得一件事情最重要的是下面列岀的哪一条？找到感觉1010超弦理论中蜷缩的空间可以用下面那个空间来描述？Calabi-YauCalabi-Yau 空间111

2、1下面哪一位人物用穷竭法证明了圆的面积与其直径平方成正比？欧多克索斯1212以下什么成果是阿基米德首先得到的？抛物线弓形的面积1313阿基米德求几何级数的和用的是什么方法？几何的方法1414欧多克索斯、阿基米德和刘徽等人对微积分的贡献主要体现在什么方面？定积分1515一种发展连续不可分量的新几何学的方法是下列哪位数学家的著作？卡瓦列里1616现在我们一直在用的函数(function )”这个词是谁引进的？莱布尼兹1717本课程提到的最美的风景点是指？牛顿- -莱布尼兹公式1818一直沿用至今的 &S语言是哪位数学家引入的？魏尔斯特拉斯1919康托尔所创立的什么理论是实数以至整个微积分理

3、论体系的基础？集合论2020下面关于黎曼可积和勒贝格可积的论述那一项是正确的？黎曼可积函数类是不完备的,积函数类是完备的 2121试用阿基米德的方法求下面几何级数的和。勒贝格可仅供个人参考不得用于商业用途十.解：类似于阿基米徳求几何级数 2十缶+十命+的方法。如圏 所贰 我们取一个边反为 1 的正方形*对边进行三嚨分*从网将单位 E 方 恢写罕 接存把圧下角的恪子涂黑（而枳为存 然厉山耙1 l-ft的擀子依 法 9 等分*涂黑圧下角的-亍格子（而积为M接 fil#把右上角的小格估等 爪 涂懊其兀下饬格 r（向枳为古）.依法继续下耳 显然所求级数的和刚好 等于所有热色格予的而积礼而所仃黑色格产的

4、向枳和宵总和积的款这是 肉为与帑 个尖色格子等面积的格子都仃 8 个），故答案为罷2222 计算加百列号的表面积与体积，并解释为何在这个号角里面灌满油漆，油漆的体积是有 限的，但它却能够涂满无限的表面积?解：求解表面积与休积需要用到积分的知头加百列号角是函数茁= 哉 1）绕柠无轴旋轧血戍的.山旋转刖面面积计算公式得农面积_ fg v/1 + 2?r /dx. +OQ.K 丿 1工如采我们把油漆出成现实中的油漆,那么你会发现宙十油漆分子具 fj -淀的尺度大小,因训在号角很细的地方,油漆是进不去的。但是, 当我们把油漆看成理想状态下（可无限剖分）的时候,就会出现有限 体积的油漆灌满了号用，并且涂

5、满了无限表而积的怙形。再举一个例 子*比如如何用单位体积的可无限细分的艸笊 、漆滿整个2维平面。 我们可以这么做,首先把平面用单位网格剖分,由于是可列的，因此 可以进行编 A 12.仏.然后用*体积的油漆漆满 1 号网格,農体 积的汕漆漆備 2 弓网格磊休积的油漆漆満 n 号网格,.最终,刚 好扌于柑+十召+=1 体枳的油漆漆满胳个平面 f2323举例说明黎曼积分中积分号和极限号有时不可交换，并给出可交换时需要的条件。1 1仅供个人参考不得用于商业用途解；设爲 3）=班肝一工加）,则两数序列凡（工）在区间oaI：收敛到函 数 = o.从而故此时枳分号 G 极限 U 不可交换 川交换的条件是；L

6、 函数序列傾鳞的毎-项在血 b上连续:；2 函数序列民 3）在陆可匕 致收敛 J S（上）.呱 时任意给進的史 0,存在 仅出冇关的疋整数V（J为兀 N也|Sh(37)- S(x)| 对一切工 a, 6成乙2424下列四个定义中，哪个不能作为 Rn 中的度量（距离）？A（T,y）= xi-311 X Xxn- yn25度量的三个基本属性中不包括下列哪一个？连续性（三角不等式，正定型，对称性）2626下列关于度量和范数的说法中正确的是？由范数可以定义距离，但由距离不可以定义范数2727下列说法中不正确的是？对二曲戏，若 I 冷为 的范数，则下列说法中不正确的是？若为实数，则有丨心冷 八丨：II2

7、828以下现象可以用什么原理来解释？在三维空间中，波的传播有清晰的前后阵面，但是在二维空间中却没有？惠更斯原理2929下列选项中正确的是？以下向量组中哪个不能构成的基向量？（ 0 0，1 1，1 1），（ 2 2，1 1，1 1），（ 1 1，0 0，0 0）3030下列哪个选项是正确的？若向量 a= （ 1，0，5，2），b=（ 3，-2，3，-4），c=（-1，1，t，3 ）线性相关，那么 t 的值为？ 131 下列选项正确的是？向量和1的夹角为？级3232下列说法哪一个是正确的？向量组、內 轻W込 J 线性无关的充分必要条件是？齐次线性方程组d一八门-一只有零解但是limSn(x)dx

8、0*仅供个人参考不得用于商业用途3333下列哪个属性不是内积所具有的？三角不等式(对称性，对第一个变元的线性性, 正定性)34给定一个集合，试验证下面两个集族是否构成集合 M M 上的拓扑?1)1). A =2)2) . .上-忆|計亿：肚:NdNd和価解： 只需要逐个验证是習满足构成拓扑的条件即可 A构成集介耐上的拓扑。容易验证： (i)A内任惡个集介的井仍属 JU：(ii)A内仃限个集介的交仍属 TX：(iii)0和 Af 属于儿盘不构成集TM 上的扌石扑。因为* =卩 $4 不满足盘内仃 限个集合的交仍属于虫这个件质随着网络的迅速发展，人们越来越多的使用e-maile-mail 联系和交

9、流。试通过任意两人之间在一段时间内的 e-maile-mail 交流的次数来定义一个距离，使得交流多的距离近，交流少的距离 远，并验证它满足度量(距离)的三条属性。解：这个距离的足义仃很多，只要*量的三条性质即可,人竦打分 的时候注意。比如记人全体为匚充中任恿两个人儿B.IL 他们两人化段时间内& mail 交漩次数为机扎Ba那么我们 I才以定义两人的卅离为1十1+厶司1if A羊B,0?if A = B.下而验证这个距离函数满足度量的三条属性:(i) 非负性显然3 詁 有心 B)B) =OS 且仅当沦=耳(ii) 对称性显然成立*(iii)淌等弋VA,B,C(仃if A = C or

10、 A = B ar B = C7others,36函数？(x)=x2+5X+4在实数域上的不动点是什么？-2-237假如你正在一个圆环形(注意是圆环形)的公园内游玩，手里的公园地图不小心掉到了地上，问此时地图上是否有一点，使得这个点下面的地方刚好就是它在地图上所表示的位置？有38慢慢搅动咖啡，当它再次静止时，问咖啡中是否有一点在搅拌前后位置相同？有35P(Ac)p(A, B) + p(BtC)t20).仅供个人参考不得用于商业用途综上所述，在自行车定价为2t 计算机定价 3t 条件下可使供求达到平衡此时，甲有自行车 3 辆计算机 2 台，乙有自行车 6 辆计算机 4 台.4747（双煎饼问题）

11、有两张形状任意的煎饼，任意重叠在一起，问能够一刀切下去，同时将两煎饼二等分吗， 如果能，请说明理由。|解：能。（以下把煎饼抽象成平面上的封闭凸域）理由如下：先给个简单小引理：即对一个煎饼，不论相对形状如何，必可切一刀，使它面积二等分再应用连续函数的介值定理即可（对于凹域可以转化为多个凸域证明）。三煎饼问题证明（不重叠情形）：如图（请见附件），在两封闭凸域 P,Q 间任取一点 0,作一水平轴作参考系，将 0X 逆时针旋转到 OXo与 两图形相交。48 拟微分算子在 20 世纪 60 年代成为了一种系统的数学理论，它的集大成者为下列哪位数学家?L.HormaL.Horma ndernder49 有

12、一段声乐可以用 y=a sin（bt）来表示，那么这段声乐的音量是由其中哪个数值决定的？a a证明过程请见附件（原谅我很对新系统无语）仅供个人参考不得用于商业用途f（巧=50 间断函数1,-1,0）讥能不能由 Fourier 级数表出？能仅供个人参考不得用于商业用途5151式子 ：1；，-、的值为？0 05252一个音叉振动的位移与时间的关系式为y=0.01sin400 xt,那么这个音叉的振动的振幅和频率分别为?0.010.01 , 2002005353频率表示的是物体每单位时间(每秒)振动的次数，它是以什么为单位的？赫兹5454光的三原色是什么？红蓝绿5555下列哪个著作可视为调和分析的发

13、端？热的解析理论；5656振动快的波相对于振动慢的波称为什么波？高频波分数阶导数可以由什么理论来定义？FourierFourier 分析写出 f(x)的 Fourier 级数gf(r) = +2(如cosnx十 亦sinTJX),n=l卅：由 F函数/(工)住区河(一兀 7T)上为盏函数，故由公式/(jj sinnjrdi:= InrdT7T贰J7T广1f応 zd(cosnx)=(z cosru?)11 打一 / cos mdx) -ITn7F J-7TITS T7 7T* 9所 LU/(x)的 Fourier 级数为丁仗)-刀霊一 1 尸十細询血.59 求调制信号的表达式。如果载波信号为,调

14、制信号为，那么经过调幅后的已调波的表达= UAJWcossM =Vc(1 + FncosQt)easa7cfT式m畧口其中P, k是一个比例常数。57575858f(x)是周期为f(z)=的函数，且_e -7T. 7T),a其中 Fourier 系数n = 7 J：COSTixdr. bn=-1仅供个人参考不得用于商业用途试用上面给出的调幅信号的表达公式来求解以下问题：已知一个载波信号为，经过调制后的已调波为fjf /) = ( KKJ -I- 2 j cos，上”i 八 从 丄广，假设比例常数 k=i，求调制信号的表达式。解：11 题意可知：= 100* TTitZc = 25*故有 H1

15、= 根据 TR 的表达式 E = 驴，可得七 = 25,乂己知比例常数恵=1,从而 = 25,故闊制信号的衣达 ；(为員=25 coswt”60 皮亚诺曲线是一条填满正方形的曲线，那么它的相似维数是多少呢？2 261 科克曲线的 Hausdoff 维数是多少？In4/ln3In4/ln362 一个外径为 3，内径为 2 的圆环的 Hausdoff 维数是多少？2 263 下列和混沌与分形最不相关的是？三角初等函数6464费根鲍姆(Feigenbaum )在研究混沌理论时，发现前两个分叉点参数距离是后两个分叉点参数距离的4.669倍，这个现象说明了？非线性系统造成的混沌中有一定规律6565若.，

16、那么 a 是周期为多少的点呢？366 具体到每时每刻的长期天气预报是可能的吗，为什么？不可能，由于蝴蝶效应67 蝴蝶效应指的是初始值的微小变化可以极大地影响结果，可以用于股票、天气等一段时间内难以预测的复杂系统中，那么蝴蝶效应来源于谁的发现呢？洛伦兹68 科克曲线所围的图形面积是有限的吗？有限69 为了使肺泡与空气有更多的接触面，人的肺泡结构十分复杂，其表面的Hausdoff 维数是多少呢？接近于 3 37070 设生成科克曲线(Koch(Koch curve)curve)的初始三角形为边长为1 1 的单位正三角形。(i)(i) 试求出科克曲线所围图形的面积；(ii)(ii) 证明科克曲线长度

17、为无穷大。仅供个人参考不得用于商业用途图形的一部分，依此画下去将图、图.图中的图形依次记作Mn设 4Mi的边长为U p披的边数为 an, Mn的面积为S城的长度亠解二由题知二的递推公式为h =3所以务为等比数死其通项公式为陽=3-4(1)图的面积5；=的面积S, = +-X4亠42图的面积s；= s. + 12x x473 fl?A/31 (1丫73/3x=23图仅供个人参考不得用于商业用途 当由A如生成时海条边上多了一个面积匕氏的小等边欄4三角形，共有馮-个* *=5孑+ a；H+ 当(w- 2)“ _A/3 JLJ|一4/. S裡裡二迈(1 + 3(丄)2 +34(丄)耳+34*2(i)2

18、-243332V3 3V3z4-i-一-1)5209当 n 趋于无穷时，Sn=$frac2sqrt35$2心 5(3)由题知：每个图形的边长都相等，且长度变为原来的丄所以边长的.谨霸公式为 4n-i昼 j 成1j JS-2 -1仅供个人参考不得用于商业用途二当齐趋于犬时*匚趋于无穷大 4所以E厂叮气=(中)旷1仅供个人参考不得用于商业用途7171试求此康托尔集的Hausdoff 维数。将封闭的0,1区间 3 等分，删去中间的开区间(1/3,2/3)，然后把剩下的 2 个闭区间0,1/3 , 2/3,1再 3 等 分，并删去中间的 2 个开区间，即(1/9,2/9) ,(7/9,8/9)，如此继

19、续下去，自然有些点永远删不去，比如 1/3,2/3 等，这些点的集合称为康托尔(Cantor)集。试求此康托尔集的 Hausdorff 维数.1. 将封闭的0,1区间 3 等分，删去中间的开区间(1/3,2/3)是其中的一份，剩下的是其中的两份，并按照此法继续下去，根据相似性维数的定义把对象在长度上缩小成员对象的1/3，并取其中图形的 2 个相似图形组成新图形，可得康托尔集的Hausdorff 维数 D=log2/log32. 把剩下的 2 个闭区间0,1/3，2/3,1再 3 等分，并删去中间的 2 个开区间，即(1/9,2/9) ，(7/9,8/9)，分法上次一样依此继续下去，都能得到康托尔集的Hausdorff 维数 D=log2/log3仅供个人参考不得用于商业用途仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fudierStForschung, zu kommerziellen Zwecken verwen