第六讲-离散时间跨时套利定价理论.docx

1、第六讲离散时间跨期套利定价理论6.1介绍本讲主要讨论离散时间多期衍生证券定价问题，衍生证券的价格通常 并不采用均衡定价方法，而是采用套利定价方法。Harris&Kreps(1979)等发现，如果一个价格系统不存在套利时机，那么 该系统存在一个等价鞅测度，利用鞅测度，我们可以非常方便地定价各种衍 生产品的价格。下面我们通过两个简单例子，来说明等价鞅的存在及期权定价。例1：考虑个两期模型，假定第一期标的资产价格为S=35,期权的执行 价格为X=35,连续复利无风险利率为9.531%,因此7? = #3一')=1.1,成 熟期为一期。假定资产价格或者上升25%,或者下跌25%,即上升

2、后价格 为Su=43.75,下降后价格为Sd=26.25,其资产价格变化如下列图6.1所示。 由此一个看涨期权的回报如图6.2所示。Su=43.75Sd=26.25图6.1 )： 一期资产价格树=max。佃一 X = 8.75图6.2)： 一期看涨期权树当 as c at 时，将(6.2.9)代入(6210),有:、*>TC,、"(q)= */兀，、E°yM(c3,T)£冲由，ms 7)£x，妃(ewe)其中cKm)为个体i在t期、事件为发生时的最优消费量。注意到对任意 t<T-l,有&(%*) = £"3

3、74;,T)成立,因此我们有：咛兀M'(cl0,t)如果 (6.2.11)如果，=T8(%,s) )(G)*'(c'(%.,s)B0,t)妃(<?(%/)1 ，a (%)妃(决(,矽)s5(。")"(C'(Q")接下来我们来证明S； + £>；在1*下是一个鞅:当 t<T 时，由(6.2.5)和(6.2.11),有:E*S；Q + l) + *(/ + l)| 月。类似于风险中性个体下的讨论，我们有:S； (/) + D； (0 =矿S； (s) + D； (s) | E /T>s>t因此S；

4、+O；在/下是一个鞅，必要性得证。(充分性)：假定对于所有的t<T, B(t)>0,并且存在一个等价鞅测度勿*, 在该测度下Sj +D；是一个鞅，要证明该经济中不存在套利时机。采用反证法，假定经济中存在一个消费计划c,为一个可接受的交易策 略(a,9)所融资，满足：c>0, c = 且(0)5(0) + 0T(0)(5(0) + X(0) <0»由交易策略(a,。)所融资的消费计划c是一个套利时机，个体不需要付出任 何成本就有正的时机获得正的消费，即一种免费午餐(free lunch)。如果消费计划c由交易策略0,。)所融资，则有：c(T) = a(T) +

5、0T (0)(S(0) + X(0)T=6Z(0)B(0) + eT (0)(S(0) + X(0) + Za(s)(B(s) B(s-l) + x0 (s)S=1(6.2.13)+ 抄(s)(S(s) S(s 1) + X(s) - £ c(s) o5=1S=0即T期消费等于T期的财富量，后者等于初始财富加上各期买卖资产所导致的财富增加，再减去各期消费。类似地，我们有: c* (T) = a(0) + 研(0)(5* (0) + X * (0)=0(0) + 0(0)( S * (0) + X * (0)+ £>7'(s)(S*(s) S*(s 1) + X

6、*(s) c*(s)5=15=0c(t) / B0)W)t<Tt = T记则有：Xt) = Dt)-Dt-l)o 因 此我们有:X C* (0 = a(0) + 0T (0)(5* (0) + X * (0)r=0T+ 2X(”。)+。*")-s¥-1)-1) o (6.2.14) i=i因为在鞅测度/下S；+q是一个鞅，所以我们有：E*尹 Q)(S* + 心)S*( 1) - D*(1) | % =尹(，)(步s* +。)| 已_| s*( 1)d* a-i) =0 o相应地，我们有：E0t (0( 5*(0 + O* Q) - S* Q -1) - D* Q -1

7、)=E*E*研(S +/)¥) - S¥ -1) -。*(一 1) | =0所以我们有：£ C* (圳=。(°)+ 伊(°)(S*(°)+ X * (0)t=0+ 矿眼(以 S* (0 + D* S% 1) D* (t -1)t=a(0) + 0T (0)(5*(0) + X* (0) o因为B(t)>0对于所有的t<T成立，有c>0 ,所以(圳>0,这蕴涵：t=0«(0) + 0T (0)(5*(0) + X * (0) > 0考虑到 B(0)>0,所以有«(0)B(0) +

8、0T(0)(5(0) + X(0) > 0 ,与假设矛盾。 充分性得证。下面我们用一个证券市场实例，来说明无套利时机与等价鞅测度的关 系，以及等价鞅测度的求解。例6.2.1：假定经济中有三种长生命证券，j=0,l,2,它们只在t=2时支付 红利，t=0、1时的价格和t=2时的红利支付如图6.6所示。在该经济中，第 0种资产是一种无风险资产。下面我们通过构造一个等价鞅测度来说明该价5t=0t=lt=2（图6.6）：证券市场原始价格系统i2376t=0t=lt=2（图6.7）：证券市场贴现价格系统格系统没有套利时机。此处无风险资产的价格在t=0和t=l时不为1,因此 我们可以首先对该价格系统

9、进行贴现，如图6.7所示。如果经济中不存在套利时机，则存在一个鞅测度，s；+o；在该测度下 JJ是个鞅。记从t=l上面一个节点出发，即事件刃，刃2,刃3)发生后自然状态 刃，口 2, 口 3出现的条件概率为Pi、和P3，则P1、和必须满足：Pl + P2 + P3 T< 5 +72 +6P3 = 6，(6.2.15)3p + 22 +4p3 = 3该方程组存在唯一的解：(Pi，P2, P3) = (1/3,1/3,1/3) o(6.2.16)类似地，从t=l、事件口45。6)发生后自然状态(04,0)5,0)6出现的 条件概率为P4、P5和P6必须满足：p+ p2 + p3=l<

10、2 + 32 + P3 = 2，(6.2.17)2P +52 +3,3 = 3该方程组存在唯一解：(。4，P5，)=(1 / 2,1 /4,1 /4) o(6.2.18)记事件(,692,693,694,695,696)在t=0发生后，事件少卜饥,？)和 口4 05，©6)在t=l发生的条件概率为(01,02)，贝"(01,02)满足：01+02 = 1< 6q + 2q2 = 4,(6.2.19)3q、+ 3q2 = 3上式存在唯一解：(01,02)=(1/2,1/2)。(6.2.20)根据上述条件概率，我们可以直接计算出鞅测度兀(外)1/6、*(%)1/6*(饥)

11、1/6灯 *(S)1/41*(5)1/8顶 *(%)/W饥(6.2.21)因为该经济中存在等价鞅，所以该价格系统不存在套利时机。如果t=0时的资产价格发生变化，从(1/4,1,3/4)变为(1/4,1,1/2),则方程(6.2.19)应变为：01+02 =1< 6/ + 22 = 4,3q、+ 3务2显然该方程组无解，从而系统不存在等价鞅测度，这蕴涵该价格系统存在套 利时机。该套利时机可以轻易地构造，在第0期卖空两份资产。，购买一份 资产2,则该投资组合的成本为零，是一个套利组合；到第一期将资产变现, 个体可以无风险地获得1/2单位消费品。因此经济中存在套利时机。三、消费计划的鞅性质一个

12、消费计划刻画了不同时间-事件下个体的消费量，而一个长生命证 券由它在各时间-事件下的回报消费品)刻画，因此一个长生命证券等价 于一个消费计划。在无套利条件下，一个市场化了的消费计划或长生命证券 的价格是唯一确定的，因为衍生产品是一种长生命证券，所以其价格也是唯 一确定的，可以利用等价鞅测度来计算，衍生产品的这种定价方式称为套利 定价。定理：一个消费计划有定义好了的价格，如果该消费计划是上市的， 且经济中不存在套利时机。证明： 如果消费计划c是由交易策略(久。)融资的，则该消费计划的初 始成本为：a(O)B(O) + 0T (0)(5(0) + X(0),(6.2.22)此即t=0时该消费计划的

13、连带红利的价格。其唯一性是显然的，如果存在一 个交易策略0愣)融资该消费计划，满足：。(0)8(0) + 7 (0)(5(0) + X(0) > d(0)B(0) + T(0)(S(0) + X(0), 则(a-a,0-O)是一个可接受的消费计划，其初始成本小于零，未来消费 恒为零，存在套利时机。如果上述不等式取小于符号，类似地可以证明存在 套利时机。进一步可以得到，该消费计划的除息价格等于：。(0)8(0) + eT (0)(S(0) + X(0) - c(0)也是定义好的，唯一决定的。2一个消费计划的t期除息价格，是指t期需要多少消费品的成本 来启动一个动态交易策略，以获得该消费计划

14、t期之后的所有消费。消费计 划C是由交易策略融资的，贝I c(s) | s =，+ 1,.,7的价格可以刻画 为：+ 0T (0(5(0 + X(ty)- c(t) = a(t + l)B(r) + OT (t +1)5(0。 类似地，我们可以证明该价格是唯一的。证明完毕。记该消费计划t期价格为：(6.2.23)Se (0 =+ l)B(r) + 尹 Q +1)5(0。下面我们来证明消费计划具有鞅性质。定理：如果价格系统(B,S)不存在套利时机，则上市的消费计划具有鞅性质。证明：定义消费计划的贴现价格为：(6.2.24)fcW/BW t<T I 0所以我们有：S；Q) = aQ + l)

15、 + " + l)S*Q)=a(t) +。W(S*Q) + X* (Z) - c*(/) o (6.2.25) 当价格系统(B,S)不存在套利时机时，存在一个等价鞅测度*,使得 5；+D；是一个鞅。下面我们来证明S；Q) + £c*(s)也是一个鞅。5=0T由 Z c*。)= a(°)+ °T(°)(S* (。) + X * (0)r=0T+ £#(s)(S*(s)-S*(s-1) + X*(s),s=得：Sc (f) = c(t +1) + 0T (z + 1)S (f)=Q (0) +。r (0)( S * (0) + X * (

16、0)+ £(s)(S*(s) s*(s 1) + X*(s) £c*(s)。5=1S=0TZ c* (s) = a(t + l) +伊(t +1)5* (0s=t+i+ 芸伊(s)(S*(s) + O* (s) S*(s 1) + O* (s -1) os=f+l所以我们有：TE Z I=a。+1) + eT Q + 1)S* (0s=f+lT+ 二£步研($)($%) +。*3) S*(s 1) + O*(s 1)1 月 _|F,s=t+= a(t + ) + 0T(t+)St)=S；(。上式蕴涵，一个消费计划的t期贴现价格等于未来消费贴现和关于鞅测度;T* 的

17、预期。由此我们可以进一步得到：s：(t) + £ c* (s)=，交 c* (s) |FJ,vn(6.2.26)S=05=0所以有：矶 s； (s) + £ cp) | E = E*E* £ cv)FsF,vv=0= Ecv)Ftv=0= S；“) + £c*(s)。5=0因此=S；(r) + £c*(s)在/下是一个鞅。定理证明完毕。5=0利用消费计划的等价鞅性质，我们可以给消费计划定价。下面我们给 出一个例子来加以说明。例6.2.2：考虑一个如图6.8的消费计划，假定价格系统由图6.6所示。试计算该消费计划的价格。0012222t=0t=l

18、t=2(0 6.8)：-个上市的消费计划。因为价格系统中不存在套利时机，所以该消费计划具有鞅性质，该消 费计划的t期贴现价格等于未来消费贴现和关于鞅测度*的预期。所以我 们有：*1111113Sc (0) = (-)0 + (-)1 + (-)2+ (-)2+ (-)2+ (-)2 =-， o o o 4 o 82S；(,692,693),1) = ()0 + ()1 + ()2 = 1 ,S：(®405 *6),1)=(；)2 + G)2 + (：)2 = 2。考虑到B(0)=l/4, B(l)=l/2,所以该消费计划在时间t=0和t=l时的价格为:Sc (0) = 3 / 8 ,

19、 Sc (69, 692,693 ),1) = 1 / 2 , Sc (694,饥，)=1。6.3 Black-Scholes公式的推导二叉树方法)一、 模型的建立：考虑一个具有两个长生命证券的多周期证券市场经济，一个是普通股 票，一个是无风险债券。假定该经济持续很长时间，我们仅考虑交易日t=0、 1、2、.、T。假定该经济满足如下假定：1、不考虑标的资产的红利收益，假定资产的波动性相同且已知，资产价格满足一个二项随机游动，如图6.9所示。S(0)。； ,、"(0),投£(0)/欲0)Ws(0)d 括(0)馈0)1-7Z*以於(0)颂：0)I场(0)倾 0)1-7Z*7T1

20、 一厅K(0)(图6.9)：二项随机游动和等价鞅测度。2、假定在期权生命中短期无风险利率R己知，个体可以以一个相同的 无风险利率进行借贷，假定无风险资产不支付红利，t期价格为R O3、不考虑交易成本和税收，允许证券卖空，在期权成熟前不考虑有价下面我们来构筑一个投资组合，利用期权来对该风险资产进行完全的套 期保值，从而使得该组合成为一个无风险资产。假定我们出售H份标的在 该资产上的看涨期权，使得该组合不存在风险，则其第一期成本为S-Hc, 完全套期保值后的回报都是26.25,其回报过程可以用图6.3来刻画。1、出售的期权份额H：因为完全套期保值后成熟时的回报相同，因此我们有：Su Hcu Sd

21、Hed 26.25 ,因此我们可以求解出H：将相关数值代入，得H=2。海_如& =26.25(图6.3)： 一期的无风险投资组合树2、无套利时机时的期权价格：因为无套利时机存在，无风险组合的回报率应该等于无风险资产上的回报率，因此我们有：R(S-Hc) = Su-Hcu整理得:此即欧式看涨期权价格，欧式看跌期权的价格可以根据看涨-看跌平价关系 得到。证券的转让等事件。4、假定个体拥有的信息结构由股票价格生成。乙=。; §有两个 事件；互有三个事件，；任意的E Ft有两个子集0+1 U/, at+ e Ft+i。假定个体可能有不同的主观概率，但每一事件上的主 观概率都大于零。二

22、、 等价鞅测度的求解在图6.9所示的价格系统中，任意的at e Ft有两个子集+ u %， at+x e Fl+l ,根据前面的假定，我们在求解等价鞅测度时，只需在一个节点 上求出即可。因为BQ) = Rf,所以我们首先对价格系统进行贴现调整： S' (I) = S(t), B (?) = 1 ,(6.3.1)如果经济中不存在套利时机，则价格加上红利和构成的随机过程是一个鞅。 考虑到此处不考虑标的资产的红利收益，因此我们有：E*S*Q + 1)|F, = S*。)，V/<To(6.3.2)将具体价格代入上式，假定等价鞅测度为(缶1-)，则我们有： 71U.R + (1 - 7T)

23、dR 1 1 ,由此可得：(6.3.3)R-d71 u-d当d<R<u时，71 (0,1),因此经济中确实存在一个等价鞅测度，相应地, 该价格系统不存在套利时机。三、Black-Scholes公式的推导下面我们利用风险资产的二叉树结构，来推导出一个标的在普通股票 上、操作价格为K、成熟期为T的欧式看涨期权的价格。在图6.9的二叉树 中，从第0期出发,T期股票价格为S(Q)undT-n的概率为 芥(1-1),一； 从t期出发，T期股票价格到达的条件概率为(T-t考虑到该欧式看涨期权在T期的回报为：maxS(T) - K,0, 因此t期该看涨期权的贴现价格为：p (0 = E* max

24、 s(7) - K,0)R-，Ft,所以t期该看涨期权的价格可以表示为：T-t=re)£p(S(t), t, K) = R'E*max( S(T) - K,0)RT Ft /(1_时一- maxS0)Ws K,0, (6.3.4)/(1_时一- maxS0)Ws K,0, (6.3.4)(T t、记j为满足Sgdf ZK的正整数，贝【J：7>ln /ln/们。S(t)di从而 p(SQ),t,K) = R2T)£从而 p(SQ),t,K) = R2T)£7T(1 7T)f- K)，T 八=八=s应=八7TU n (1 7l)d、T-t-nn 7一 K

25、R-(t-政n 7一 KR-(t-政(T-t=八(T-t记中(j;T-顷)=2(云)=0 Jp(SQ), t, K) = 5(00(; T Ljiu/R) KR-(")/(j; T t" (6.3.5) 该公式由 Cox、Ross 和 Rubinstein(1979)给出。(6.3.6)当独立时间数趋向于无穷时，即在区间T-t中将时间间隔分得足够小， 则二项分布趋向于正态分布，从而上式可以改写为标准的Black-Scholes公 式：p(S(t),t,K) = SQ)N(Xt)-Ke«T)N(x, 其中Xt =1 + 3(yjT t , I和CT为无风险资产的连续

26、复利和风险资产的标准差。3、等价鞅测度:事实上我们可以将上式改写为：C = 7TC, R一' + (1_ 7T)CdR'，其中=昼4相当于一个概率，称为一个等价鞅测度。在该测度下，期权 u-d价格等于未来受益的期望贴现，与个体偏好等因素无关。注：该测度仅是一个假想的测度,并不真正反映上升和下降出现的概率。率。52.2117.21S=354.3728.6538.686.4842.759.3847.2513.0738.684.5131.671.5231.67042.757.75025.93028.66023.460图6.4)：资产价格和期权收益树例6.1.2：考虑一个四期的期权定价

27、例子。假定标的资产的价格S=35,期权 的执行价格X=35,成熟期为一年。连续复利无风险利率为9.525%,因此 R = /)=1.09993 ； 如果将一年分为四季，则 R = eg) =e009525x0-25 =1.024098 o假定资产价格变化如下列图6.4所示。 则 u=l.10517, d=0.904837, R= 1.024098, 1 = 0.59512。由此我们可以求 解各种欧式期权和美式期权的价格。(1)在第。期开始时发行的、成熟期为4、执行价格为35的欧式看涨期权价格，则个体只能在第4期执行该期权，其价格可以表示为:C = 4(S"4乂) +0/(I x)/(

28、l + r)4= 4.37(2)计算在第一期当资产价格为38.68时发行的、第三期成熟的、操作价格为40的欧式看涨期权价格： /c = /(38.68 xu2-X)/(l + r)2以此类推。6.2无套利时机与等价鞅测度一、 模型的建立考虑一个多期证券市场经济,t=0,l,.,T。假定在该经济中存在I位个体, / = 1,2,.,/。为简化讨论，假定经济中只有一种易腐烂的消费品，并将这 种消费品作为计价单位，因此消费品的现货价格为1。信息结构：假定经济中有有限个自然状态，它们构成一个状态空间Q。假定经济 中的信息是逐渐展示出来的，到T期个体才能知道真正的自然状态是。中 的哪一个。我们可以用一个

29、事件树来刻画信息结构。图6.5描述了五个自然状态、三个交易日的信息结构。在t=0时，个体 仅知道真实的自然状态在a)5中。t=l时，部分信息被披露出来，或 者事件发生，或者事件a)4,co5发生；当事件口,口2,口3发生时，个体知 道真实的自然状态只能是丹、或刃3；当事件饥,明发生时，个体知 道真实的自然状态只能是刃4或刃5。t=2时，信息完全展示出来，个体就知 道具体哪个自然状态发生了。定义：一个事件是。的一个子集。称两个事件不相交，如果这两个事 件的交集是空集，即一个自然状态如果属于一个事件，它就不属于另一个事 件。定义：Q的一个分割是一组事件的集合耳，人2,如果这些事 件彼此不相交，且它

30、们的并等于。称一个给定分割要比另一个分割更精 细，如果后一个分割的任一事件都是前一分割中事件的并。(图6.5)：信息结构。我们可以用F = 氏H = 0,1,., T来记个体被赋予的公共信息结构，其 中每一个F,都是。的一个分割，满足：如果t>s,则已比兀更精细； F。= Q, Ft =| co e Q。定义：一个随机过程是一个由时间t标识的随机变量序列。定义：称一个随机过程S = SQ)| 1 = 0,1,.关于F适应(adapted to F),如果对于任意的t, S关于孔可测。定义：称一个随机过程S关于F可料的(predictable to F),如果对于任 意的t, SQ)关于F

31、-可测。资产结构：定义：一个时间事件或有权益(time-event contingent claim)是一种证券， 在交易日,21、事件ateFt发生时支付一单位消费品，在其它时间和情形 下没有支付。定义：一个复杂证券是由时间0消费品和一族时间事件或有权益构成的证券，它可以被表示为工=(x0,xa | at E Ft,t = 1,2,., T),其中尤0和 分别为以消费品衡量的时间0和时间t、时间at下的红利。定义：一个长生命证券(long-lived security)是一种在任意交易日都可以 交易的复杂证券。假定经济中存在N+1种长生命证券，j=0,l,.,N。假定第0种资产是面 值为1的

32、T期贴现债券，其红利流可以表示为：X。= (0,0,., x0(T) = 1),(6.2.1)记第0种资产的除息价格过程为8。)| 1 = 0,1,2,.幻,则有B(T) = 0 o 假定其它N种资产是风险资产，第j种资产的随机红利流可以表示为：Xj = Xj = 0,1,2,., T o(6.2.2)记第j种资产的除息价格过程为Sg)t = 0,1,2,., T,则有5 . (T) = 0。 i己 S(/) = (Si (，),.，SN (f)T , X (。= (%xN (f) 丁 o 显然，七(r)、BQ)和(0关于F,可测，因此红利过程、价格过程都关于F适应。个体行为：假定每一位个体，

33、的偏好都具有von Neuman-Morgenster期望效用表示, 假定个体效用函数uit (cz (f)单调增、严格凹、充分光滑，假定 lim uh' (z) = +oo oztO*假定个体，在各自然状态上被赋予的主观概率为：nl = n0 | 69 e Q o在该主观概率下，记在给定事件at eFt下，事件e Fs (s>t)发生的 条件概率为(ar),根据Bayes公式，<可以表示为：V 7l如果 o at假定个体都是理性预期的，所有个体都相信当前资产价格是自然状态力和 时间t的函数，即可以表示为和，(口/) o记个体被赋予的长生命证券的数量为：不(0),伊(0)

34、= (0(0)以。个体的交易策略是一个N+1维的随机过程，可以简记为：0, = 如),。)=0(£)以&，其中。(。和e.(/)代表个体在t-i期交易发生后，到t期交易发生前所持有 的第o种资产和第j种资产的数量。由于。和勺是在t-l期被决定的, 它们关于E可测，因此交易策略关于f适应。个体的消费计划是一个随机 过程，可以简记为：c = c(£)11 = 0,l,2,.,T。其中c(。是t期消费量。定义：称一个交易策略(四。)是可接受的(admissible),如果存在一个消 费计划C,满足：W +1)6。) + 0T(t + 1)SQ) = «(r)B(

35、z) + 0T Q)(SQ) + X。) - c(0 ,(6.2.3)对Vr = 0,l,.,T-1 成立，且有：a(T) + 6>r(T)X(T) = c(T)。(6.2.4)相应地，我们也称该消费计划c是由交易策略(a,0)融资的，也称为上市的 (marketed)。二、无套利条件和等价鞅测度定义：一个套利时机是一个由可行交易策略融资的消费计划c,满足： 1)c非负,且至少存在某个时期t和事件ateFt,有c(q *)0 ； 2)其成本非负，即«(0)B(0) + eT (0)(5(0) + X(0) < 0 o定义：一个随机过程Y = (7(0 11 = 0,12.幻被称为是一个在概率兀下对F适应的鞅，如果它满足:EY(s)Ft = Y(t), /s>t,其中EDIT；是关于概率"、给定F,下的条件概率。定理：一个价格系统(8, S)不允许