信号与系统重点笔记

1、信号与系统第一章1.1连续时间与离散时间信号确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数E=门?(/)dl连续时间信号在t1,t2t1,t2区间的能量定义为：n12,2,、2 2P-I|x(?)di连续时间信号在t1,t2t1,t2区间的平均功率定义为：二八离散时间信号在n1,n2n1,n2区间的能量定义为一餐1n-尸二77EM离散时间信号在n1,n2n1,n2区间的平均功率为-1 1一均在无限区间上也可以定义信号的总能量：民二血阚力二件咖连续时间情况下：J*旦=lim|X(M)|2=2|x(w)|2离散时间情况下：-x-x在无限区间内的平均功率可定义为:1limzzT2Tx(t)dt信号的总能量

2、和平均功率都是无限的.即:如果信号是周期信号,那么X-或X(N)=Q)这种信号也称为功率信号,通常用它的平均功率来表征如果信号是非周期的,且能量有限那么称为能量信号.1.2自变量的变换1 1.时移变换7,一/.)t(),当时,信号向右平移.V0,、时,信号向左平移加.)当向右平移时limT 丫2N+1能量信号信号具有有限的总能量,即:功率信号信号有无限的总能量,但平均功率有限.即:口=8,028f或口以dt1NA,仁丁目M哨或B二U(球/1时,*.是将在时间上压缩a倍,0时,是指数增长的正弦振荡.r0r1时,呈单调指数增长aa11 时,呈单调指数衰减1 10 0 时,呈摆动指数衰减a1aI当时

3、幅度呈指数增长,时幅度呈指数衰减.卜一一一二二中立.JI三.离散时间复指数序列的周期性条件.设周期为 N,N,说明只有在3n与 2 2 兀的比值是一个有理数时,才具有周期性.2nmm m与N N无公因子Nm此时80即为该信号的周期,也称为基波周期,因此该信号的基波频率为2笈自O=Nm离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐波关系的信号集.离散时间复指数序列定是周期性的,要具有周期性,必须具备一定对=当TT时,对应的信号振荡频率越来越高不会发生逆转.当变化时,并非所有的都是互相独立的离散时间信号的有效频率范围只有J2kn2 2 兀区间.由于2口2 2 乃 4 4 处都对应最低频率,k k 为整

4、数2*2*五处都对应最高频率.k k 为整数在满足周期性要求的情况下,总能找到互为质数的两个正整数m,Nm,N 使得:27r每个谐波分量的频率都是N的整数倍.特别值得指出的是：该信号集中的所有信号并不是全部独立的.这说明：该信号集中只有 N N 个信号是独立的.即当 k k 取相连的 N N 个整数时所对应的各个谐波才是彼此独立的.因此,由 N N 个独立的谐波分量就能构成一个完备的正交函数集.1.人不同,信号不同1.频差2打的整数倍时,信号相同四.7)=*=0,L2该信号集中的每一个信号都是以N N 为周期的,N N 是它们的基波周期.k=称为直流分量.k=1称为基波分量.1=2称为二次谐波

5、分量等等信号和乙的比拟2.对任何信号都是周期的3.2出.=基波频率4.基波周期：T02.仅当2笈V二竺阳时,信号是周期的xn3(ri)=x(0)(/7)%=m3,基波频率N4,基波周期：N1.4单位冲激与单位阶跃一,离散时间单位脉冲与单位阶跃1.1.单位脉冲序列00/?00,(Z-r)t/r(,)也具有提取连续时间信号样本的作用.工(,2.)=?(0)6(f)MOMVQ)二(幻凶-Q)limx(O)(/-)=x(OW)用阶跃表示矩形脉冲G(t)G(.二)一(/一7)(/)=S(TchG=utt()u(tr)1.5连续时间与离散时间系统一.系统连续时间系统：输入信号与输出响应都是连续时间信号的系

6、统.离散时间系统：输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统.工)离散时间系统系统分析的根本思想：1 1 . .根据工程实际应用,对系统建立数学模型.通常表现为描述输入-输出关系的方程.2 2 . .建立求解这些数学模型的方法.系统的互联可以通过对简单系统(子系统)的分析并通过子系统互联而到达分析复杂系统的目的也可以通过将假设干个简单子系统互联起来而实现一个相对复杂的系统这一思想对系统分析和系统综合都是十分重要的.1 .级联2 .并联_v() )工程实际中也经常将级联、并Gl(t)连续时间系统II联混合使用,如:3 .反应联结式,)1X0I三x(n)|口二1y(n)1.6系统的根本性质1.记忆系

7、统与无记忆系统在任何时刻,系统的输出都只与当前时刻的输入有关,而与该时刻以外的输入无关,那么称该系统是无记忆系统.否那么就是记忆系统如果一个系统的输出响应不仅与当时的输入有关,而且与该时刻以外的其它时刻的输入有关,那么系统是记忆的.在无记忆系统中有一种特例,即任何时刻系统的输出响应与输入信号都相同,即量/=工,或=%力这样的无记忆系统称为恒等系统2 .可逆性与逆系统如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同的输出,即输入与输出是一一对应的,那么称该系统是可逆系统如果一个系统对两个或两个以上不同的输入信号能产生相同的输出,那么系统是不可逆的,称为不可逆系统如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个

8、恒等系统,那么称后者是前者的逆系统如：X(K)例子：*()=9.)iS=2W)2是可逆系统,其逆系统是：八635=2(左)=丈二一工是可逆系统,其逆系统是：v(/)-x()是不可逆系统,由于有两个不同的输入能产生相同的输出.1)=._八,也是不可逆系统.yi/7)=x(2n)工(2M)xin)JJ,是不可逆系统,由于无法从、7复原为/调制或编码过程必须是可逆的,其逆系统是解调器或解码器.3 .因果性如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个时刻的输入以及该时刻以前的输入有关,而和该时刻以后的输入无关就称该系统是因果的.否那么就是非因果的.一般说来,非因果系统是物理不可实现的.v()=双一)77

9、5(左)=2Snk)即1对任何离散时间信号,如果每次从其中取出一个点,就可以将信号拆开来,每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲.当增量线性系统的%(,)=时v(O=M(O.此时系统的输出响应完全由决定.此时系统处于零初始状态,故将称为系统的零状态响应.离散时间信号中,最简单的是,我们已经看到可以由它的线性组合构成订()xn=k于是有：说明：任何信号,都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合.二.卷积和8y(n)ZA)=*(打)这说明：一个 LTILTI 系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征.这种求得系统响应的运算关系称为卷积和.三.卷积和的计算计算方法：有图解法、列表

10、法、解析法包括数值解法运算过程：一个信号不动,另一个信号经反车 t t 后成为一,再随参变量移位.在每个门值的情况下,将与h.?k对应点相乘,再把乘积的各点值累力口,即得到时刻的】.=aftu(n)0a1的二()如果一个线性系统对加阳的响应是,由线性特性就有系统对任何输入xin)的响应为:8y(v)=2左)5)k-假设系统具有时不变性,即:5(2Sn-k)hn-k石/,人1J因此,只要得到了LTILTI 系统对的响应力()单位脉冲响应就可以得到LTILTI 系统对任何输入信号xn的响应:工(4) )=a./(1) )hnk)=u(nk)III4o1I1TTk|11114do.盯(/7)=x(n

11、)*/?(?7)x(k)h(nk)=a%(儿)“(77k)k工一QC=Na=k=0例 2:2:I0/?4x(/i)=h(n)=1,0/?10时,W)=例3.列表法分析卷积和的过程,可以发现有如下特点:y(n)=Zx(k)h(n-k)=x(n)h(n在遍乘后,各点相加时,根据*=T,参与相加的各x(k)h(tik)八/与的宗量之和为优点：计算非常简单.缺点：只适用于两个有限长序列的卷积和;D一般情况下,无法写出J(*)的封闭表达式.x(0)x(l)x(2)x(3)h(n)102112IW.：oe口33V(2)0rX3)y(4)“歹(5*)y2.2连续时间LTI系统：卷积积分一.用冲激信号表示连续

12、时间信号连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合.至少单位阶跃=S(rdr-3t-r)Jr与单位冲激之间有这种关系：-对-般信号,可以将其分成很多八宽度的区段,用-个阶梯信号*近似表示人 S 当A-0时,有/-X)引用(),即：X(H)与伙编的所有各点都要遍乘一次；点都具有力(T)1A(0)2力0A(2)3A(3)110F.时,儿一丁E-J6,-bf-T%,一为y(t)=匚7假设系统是时不变的,即：假设？华?测有:C！Iyn=Zxkhn-k=珈*hn于是系统对任意输入的响应可表示为：J式子n换成t,k换成？?说明：LTILTI 系统可以完全由它的单位冲激响应力来表征.这

13、种求得系统响应的运算关系可式/=Jl/AI.0/Qh(t)=u(t)ut-r)=x(T)*h(i)=匚X(干一r)二Jernruvi(Jry/v=(eiTdr=J.卜ft0/2Zotherwise力)一oolhenviseo210例 1:1:x(t)=3,例 2 2: :y(t)h(f)-Jx(r)Z?(r-v)dr=jx(t-r)/(r)t/r当/vO时,歹)=当0/37时,y(/)=2.3线性时不变系统的性质一.卷积积分与卷积和的性质1 1 . .交换律：=*/=:“左内打一kAr=-g=zk、hJC=/?;?*k=一芯当27Vh2(n)4 4 . .卷积运算还有如下性质：卷积积分满足微分

14、、积分及时移特性：假设工(/)*(/)=y(f),那么V.)*h(t)=*(,)*ht)=/(/)4小力=M.叫：力()=J(r)出假设x(r)*(,)=M)那么卷积和满足差分、求和及时移特性：假设x(/?)*()=y(),那么x(/7)xn1)J瓶力()7)x(/7)*/?(7)A(/71)=V一V(-l)巨=*(*22ky=豆y(k)假设X(/?)*/?()=/(/?),那么x(n-w0)*h(n)=x(ri)*h(n-nG)=y(n-nQ)例如：2.22.2 中的例 2 2将N)微分一次有：巾)=5-M-T)x(n)1时,如果交换级联次序,那么由于x(n)*u(n)不收敛,因而也是不允根

15、据微分特性有：yo=*/=/字上然,一方-ry二.LTI系统的性质LTILTI 系统可以由它的单位冲激/脉冲响应来表征,因而其特性记忆性、可逆性、因果性、稳定性都应在其单位冲激/脉冲响应中有所表达.1 1 . .记忆性：根据歹双人据-机如果系统是无记忆的,那么在任何时刻,都只能和时刻的输入有关,和式中只能有长二打时的一项为非零,因此必须有；hn-k=0,kn：h1n=0,金ihitht1利用积分特性即可得：八所以,无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为:h(ri)-kS(n)h(t)=k6(t)此时,x(w)*h(n)=kx(n)x(Z)*h(t)=kx(t)当左=1时系统是恒等系统.如果 LTIL

16、TI 系统的单位冲激/ /脉冲响应不满足上述要求,那么系统是记忆的.2 2 . .可逆性：如果 LTILTI 系统是可逆的,一定存在一个逆系统,且逆系统也是 LTILTI 系统,它们级联起来构成一个恒等系统.5.一g()F因此有：力Og(t)=-(f)h(n)*g(n)=6(n例如:延时器是可逆的LTI系统,岫)=_小,其逆系统是前)=河+幻,显然有；(.*第,)=5(/-.)*况,+幻=5(,)累加器是可逆的LTI系统,其力5)=5),其逆系统是#5)=S(n)S(n1)显然也有：h(n)*(/?)=i,(n)*|3()6n1)()un1)5Q?)但差分器是不可逆的.微分器也是不可逆的.3

17、3 . .因果性：由尸 5)=X工(*历,当LTI系统是因果系统时,在任何时刻,y(w)都只能取决于时刻及其以前的输入,即和式中所有4A的项都必须为零BP：A=O*人A?或：/?(w)=O,nc0对连续时间系统有：力=0,r0这是LTI系统具有因果性的充分必要条件.4 4 .稳定性：根据稳定性的定义,由双打)=力伏)xS-麦),假设,有界,贝牛(一女)归/;假设系统稳定,那么要求y()必有界,由y(n)=Zh(k)x(n-k)Zh(kx(n-kAh(k)|RI-3Oh-*土/可知,必须有:可做)|磴一,这是 LTILTI 系统稳定的充分必要条件.5 5 .LTI.LTI 系统的单位阶跃响应：在

18、二匚程实际中,也常用单位阶跃响应来描述LTI系统.单位阶跃响应就是系统对或(外所产生的响应.因此有：$(1)=u(t)*力(,)s(门)=it()*h(n)w.ds(t)=h(*drh(t)=一s(t)J-dtS0?)=Z/1()h(H)=5(?)-(77-1)k二一LTILTI 系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述.对连续时间系统,相应有:-x/?(1),002.4用微分和差分方程描述的因果LTI系统线性常系数微分方程1.1.分析这类 LTILTI 系统,就是要求解线性常系数微分方程或差分方程.求解该微分方程,通常是求出通解% 和一t特解匕,贝！1H,=% /+勺2%也均为常数k=0dt

19、即对守=.v次芳程蹙立一个特征方程：的解.欲求得齐次解,可根据齐*=0求出其特在信号参加的时刻给出的零附加条件称为零初始条件.6.6. 结论：LCCDEMLCCDEM 有一组全部为零的初始条件可以描述一个因果的 LTILTI 系统.这组条件是：y(0)=0,0)=0,LL,0)=0如果一个因果的 LTILTI 系统由 LCCDELCCDE 苗述,且方程具有零初始条件,就称该系统初始是静止的或最初是松弛的.如果 LCCDEMLCCDEM 有一组不全为零的初始条件,那么可以证实它所描述的系统是增量线性的.二.线性常系数差分方程：一般的线性常系数差分方程可表示为：.VMho青口与微分方程一样,它的解

20、法也可以通过求出一个特解匕,()和通解,即齐次解片(切来进行,其过程与解微分方程类似.1.1.2 2 . .要确定齐次解中的待定常数,也需要有一组附加条件.同样地,当 LCCDLCCDE E 具有一组全部为零的初始条件时,所描述的系统是线性、因果、时不变的.3 3 . .对于差分方程,还可以将其改写为：1 I-一yn=2卜必1-k)-工-k)_A=0k=l_可以看出：要求出y(0),不仅要知道所有的还要知道L/N),这就是一组初始条件,由此可以得出)电).进一步,又可以通过),(0)和y(-l)j(-2),LLj(fV+l)求得y,依次类推可求出所有力20时的解.假设将差分方程改写为:y一N=

21、2b/5-k、_外丫5-k、口式|_=U4=0那么可由yj(2),/(N)求得、(0),进而由歹(0),y(l)j(2),J(N1)可求得W-1),依次可推出理工0时的解口由 于 这 种 差 分 方 程 可 以 通 过 递 推 求 解 , 因 而 称 为 递 归 方 程(recursiveequation).当q=0,人工0时,差分方程变为：y(n)=JCInk)k=o%此时,解方程不再需要迭代运算,因而称为非递归方程(nonrtcursiveequation).显然,此时方程就是一个卷积和的形式,其中方5)=区,0HM此时,系统单位脉冲响应力(是有检长的,因而把这种方程描述的LTI系统称为FIR(FiniteImpulseResponse)系统口将递归方程描述的系统称为1IR(IntlniteImpulseResponse)系统,此时系统的单位脉冲响应是一个无限长的序列自4 4 .FIR.FIR 系统与 IIRIIR 系统是离散时间 LTILTI 系统中两类很重要的系统,它们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异.5 5 .