函数图象的性质及其应用

1、b函数 y=ax+-图像性质及其应用的教学设计x设计思想：前后贯穿系统化,相关知识结构一体化,滚动式.原那么：由浅入深,循序渐进.利用现代信息技术,但不唯信息技术而论；知识要点：1,运用函数 y=ax+-及 y=ax2+b的图像性质去判断函数的单调性及划分函数xxy=ax+b的单调区间,并用函数单调性定义加以证实.x2.运用上述函数的性质解决相关的一次分式函数与二次分式函数的单调区间及函数值域问题,进一步求二次分式函数在给定区间上的最值.b.一.知识网络：函数 y=ax+的图像及其性质a 的情况b 的情况图像奇偶性单调性最值情况a0b=0a1.11b010/x=ax,乙士奇函数增无a0a-0.

2、00b-0.6,I-,-21S-1,-奇函数(-8,0)减(0,8)减无a=0b0b0a=0.,b=0.9(,fx)/gx=,奇函数(-J-增,aa-1件,0)减aa(0,、但减aa,+8)增a当 x=*他aa时,y最小=2Jab,当x=-J时,yVa最大=-2aab1-6111-4111-21一;Ja0b0fa=0.40b=-0.97,1一3-bfx=ax+x尸f=1xI1奇函数(-00,0)增(0,+8)增无4a=-0.53一r1.I-fbfx=ax+x-gx=ax奇函数(-8,0)减(0,+8)减无a0V1卜,7 二；C1a=-0.39b=-0.90(-JR减,aafb-栏,0)增(0,

3、冏增aa,+8)减aa当 x=J-aa时,y 最大=2Jab,当x=-时,y最小=-2jaba0b猜证、类比匚二合情推理、归纳概括及利用函数单调性求最值等.三、精典问题回忆：一根底知识复习:一1121.函数y=x一一123xx0的最小值为4.当 x0 时,y=3-3x-4一一的最大值是x二典型例题:例 1.求函数 y3x53x5的单调区间及值域.x2初3x53(x2)1解：y=由图可知：函数 y=23x51=3+x2可以看作是由3x-5x-2向右移动 2 个单位后再向上移动 3 个单位而得到的.所以函数在-8,2上单调递减,在2,+oo上单调递增,函数的值域为-oo,33,+8.2010153

4、x2-14x+242251115102030 x=3一2,一3x14x24,、,、例 2.求函数 y=3x24的单调区间及1011函数的值域.x-3_2一一一2解：y=3x%24=3(x3)=3(x-3)+4+-9x324一9*父可以看作是 y=3x+9分别向右与向上移动 3 个单位与 4 个x单位后而得到的.所以函数在(-8,3-,;3)与(3+J3,+8)均为增函数,在(3-J3,3)与(3,3+J3)均为减函数,函数的值域为(-8,-6、；3与6J3,+8).例 3.某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台.现销售给 A 地 10台,B 地 8 台.从甲地调动 1

5、台至 A 地、B 地的运费分别为 400 元和 800 元,从乙地调运 1 台至 A 地、B地的费用分别为 300 元和 500 元.(1)设从乙地调运x台至 A 地,求总费用y关于 x 的函数关系式；(2)假设总运费不超过 9000 元,问共有几种调运方案；(3)求出总运费最低的调运方案及最低的费用.解：由甲、乙两地调运至 A、B 两地的机器台数及费用(元)如下表：调出地甲地乙地调至地A 地B 地A 地B 地台数10 x12(10 x)x6x每台运费400800300500运费合计400(10 x)80012(10 x)300 x500(6x(1)依题意得y400(10 x)80012(10

6、 x)300 x500(6x),即y200(x43)(0 x6,xZ)(2)由y9000,解得x2.xZ,0 x6,x0,1,2.所以共有三种调运方案.(3)由一次函数的单调性知,当x0时,总运费y最低,ymin8600元.4(x3)9x3C2/,.一3x14x由图可知：函数 y=3x即从乙地调 6 台给 B 地,甲地调 10 台给 A 地,调 2 台给 B 地的调运方案的总运费最低,最低运费为 8600 元.说明：此题数量关系较多,利用列表法将数量关系明朗化,有利于函数关系的准确建立.例 4.甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过C千米/小时,汽车每小时的运输本钱以

7、元为单位由可变局部和固定局部组成：可变局部与速度V千米/小时的平方成正比,且比例系数为b；固定局部为a元.1把全程运输本钱y元表示为速度V千米/小时的函数,并指出这个函数的定义域；2为了使全程运输本钱最小,汽车应以多大速度行驶？解： 因全程运输本钱由两局部组成,所以值时,y最小.s(-bv),v(0,c.vy就是两局部的和,第2问就是当 v 为何由题意,得y对任意的v1,v2,且v2,易得f(V2)f(Vi)s(V2Vi)(ba)V1V2由知,当v1V21,当 x(0,1,不等式f(3mx-1)f(1+mx-x2)f(m+2)恒成立,求实数 m 的取值范围0af(1+mx-x2)f(m+2)恒

8、成立a3mx-1a1+mx-x2am+2 恒成立即 3mx-11+mx-x2m+2 恒成立由 3mx-11+mx-x2 恒成立得,(3-x)m2-x22x27.x(0,1.力6(3x)3x3x令 3-x=t,那么 2Wt3,m0,b0)性质可知当 t2,J7时函数递减,当txtJ7,3)时,函数递增111-m6=22由 1+mx-x2m+2 恒成立得当 x=1 时,显然 mR 时不等式均成立,一1x2.当 0 x-=-(1-x)-+2 恒成立1x1x令 t=1-x,那么 0t1,令 y=-t-2,那么由函数 y=ax+(a0,b0)性质可知在(0,1)上函数是单调递增的,txy-11综上可知,

9、-1m1,即当 x(,0)时,ax1,-1,11当 t=2 时,y 取大=2当 t=时,y 最小=2%打m(1-x)-1-x2恒成立天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利2 .某工厂方案建造一座底面为矩形 ABCD 深 1 米且面积为 200 平方米的三级污水处理池(如图),由于受地形限制,矩形的长与宽都不能超过 16 米,池的外墙建造单价为每平方米 400元,中间两隔墙建造单价为每平方米 248 元,池底建造单价为每平方米80 元.(1)试求总造价 y(元)与矩形长 x(米)之间的函数关系式 y=f(x);(2)求 y=f(x)的最小值及其相应的 x 值

10、.3 .某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的平方成正比,经测试,当船速为 10 公里/小时,燃料费用是每小时 20 元,其余费用(不管速度如何)都是每小时 320 元,试问该船以每小时多少公里的速度航行时,航行每公里耗去的总费用最少,大约是多少？将题中：某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的平方成正比船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比4 .求以下函数的单调区间及函数的值域：附练习参考答案:润最大?算他一个月最多可赚得多少元?,改为：某轮,那么应如何求解？2x5CDy=x4令3x26x6=x12,一肉4x14x16丫二1,假设设每天从报社买进x(250 x400,x

11、N)份,那么每月共可销售(20 x10250)份,每份可获利润 0.10 元,退回报社10(x250)份,每份亏损 0.15元,建立月纯利润函数f(x),再求f(x)的最大值,可得一个月的最大利润设每天从报社买进X份报纸,每月获得的总利润为y元,那么依题意,得y0.10(20 x10250)0.5x625,x0.1510(x250)250,400.函数y在250,400上单调递增,x400时,ymax825(元)即摊主每天从报社买进 400 份时,每月所获得的利润最大,最大利润为2.解:(1)二.矩形面积为 200,长 AB=x,825 元.宽 BC200,于是外墙长度为 2(x+200),隔

12、墙长度为 2-工00,于是由题意可得,xxf(x)=4002(x+200)+2482200+80-200=800(x+324)+16000.x又由0 xW16,且0-20016,故 12.5WxW16.xy=f(x)=800(x+324)+16000(12.5WxW16)即为所求.(2)先证 f(x)在12.5,16上是单调递减函数.设 12.5x1x216,一一111贝Uf(x1)-f(x2)=800(x1-x2)+324(一一)=800-(x1-x2)(x1x2-324).X1x2x1x2.12.5Wx1x2W16,.1.x1-x20,0 x1x20,由此可得 f(x)在12.5,16上是

13、单调递减函数.当 x=16 时,f(x)小=800(16+324)+16000=45000,此时 BC=12.516即当长 AB=16 米,宽 BC=12.5 米时总造价最低,最低价为 45000 元.3 .略4 .略五.课后思考(可通过引导学生得出 a、b 值的 8 种情况,再进一步让学生通过类比、猜想去得到各种情况下函数的图象及其相关的性质,从而培养学生的思维水平)函数 y=ax2+-的图像及其性质xa 的情况b 的情况图像奇偶性单调性最值情况a0b=0643.a=Ob=0.0一一一.二?一J/=ax+x246810偶函数(,0减当 x=0 时,y最小=0230,+)增a0a=0.00b=0.64Ifbfx=ax+x奇函数(-8,0)减(0,+)减无-241_.a=(=-0.92.00(-8,0)增a=0b0b018116128a=0.55i6b=0.92-42JB.JJiI1Jfxf1b=ax2+-x非奇非偶函数(-8,0)减,(0,3,1-减,+00)增当 x=3也22a时,y最小=3楞-15-10-5i510152025a0b03Mb=-0.30.=0.20非奇非偶函数V2a减,