专题四恒成立问题

1、专题四恒成立问题在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立.用函数思想作指导，解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的：1恒成立问题若不等式fxA在区间D上恒成立，则等价于函数fx在区间D上的最小值大于A,若不等式fxB在区间D上恒成立，则等价于函数fx在区间D上的最大值小于B2. 能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式fxA成

2、立，即fxA在区间D上能成立,，则等价于函数fx在区间D上的最大值大于A,若在区间D上存在实数x使不等式fx:B成立，即fx:B在区间D上能成立,，则等价于函数fx在区间D上的最小值小于B.3. 恰成立问题若不等式fxA在区间D上恰成立，则等价于不等式fxA的解集若不等式fx:B在区间D上恰成立，贝S等价于不等式fx:B的解集为D,如果从解题模式看，好象问题很简单，但是，由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同，就使得题目变得十分灵活，如何对这类题目进行思辨和模式识别，把问题化归到常见的基本的题型，是高考复习的一个课题.【例1】若关于x的不等式x?axa-0的解集为（_：,：），则实数a

3、的取值范围是；若关于x的不等式x?-ax-a乞-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是.【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题，设fx=x?-ax-a则关于x的不等式X?-ax-a0的解集为（：）=fx0在-：上恒成立=fminx0,即fminx=-4aa0,解得-4-a:04第二个填空是不等式能成立的问题设fx=x?-ax-a则关于x的不等式x?-ax-a虫-3的解集不是空集二fx乞-3在.匚上能成立：=fminX_-3,即fminX二一复旦空一3,解得a乞一6或a2.4【例2】三个同学对问题关于x的不等式x?+25+|x3-5x?"X在【1,12】上恒成立，求实数a的取值范围

4、”提出各自的解题思路.甲说：只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说：把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”.丙说：把不等式两边看成关于X的函数，作出函数图像”.参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是.【分析及解】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.设f(x)=x2+25+x5x2,g(x)=ax.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设f(x)=x2+25+x-5x2,g(x)=ax其解法相当于解下面的问题：对于xr1,12l,x21,121,若f为gX2恒成立

5、，求a的取值范围.所以，甲的解题思路与题目1,121,fx-gx恒成立，求a的取值范围的要求不一致因而，甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数f(x)=X2+25+x-5X2的图象和gx二ax的图象，然而，函数fx的图象并不容易作出.由乙的解题思路，本题化为丄_a在x1,12上恒成立，等价于1,121时,-a成立.Ix抑由-x=x25XX-5在x=51,121时，有最小值10,于是,a<10.XX【例3】已知向量a=(x2,x1),b=(仁x,t),若函数fX二ab在区间-1,1上是增函数，求t的取值范围【分析及解】依定义f(x)二X2(1-X)t(x1)=-x3x2txt

6、,则f(x)二-3x22xt.fx在区间-1,1上是增函数等价于x0在区间-1,1上恒成立；而X0在区间-1,1上恒成立又等价于t.3x22x在区间一1,1上恒成立；设gx=3x2-2x,x1,1进而tgX在区间-1,1上恒成立等价于t-gmaxXX-1,1考虑到g(x)=3x2-2x,(-1,1在-1,1上是减函数，在1,1j上是增函数,I3丿i3丿则gmaxx=g-1=5.于是,t的取值范围是t_5.【例4】已知函数fxi；=x33ax-1,gxfx-ax-5，其中f'x是fx的导函数.(1) 对满足-仁a叮的一切a的值，都有gx0，求实数x的取值范围；(2) 设a=-m2，当实数

7、m在什么范围内变化时，函数y=fx的图象与直线y=3只有一个公共点.【分析及解】只考虑（I）.解法1由题意gx=3x2_ax3a5，这一问表面上是一个给出参数a的范围，解不等式gx：0的问题，实际上，把以x为变量的函数gx，改为以a为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令ay-xa3x5，-1_a_1，则对-1乞a乞1，恒有gx:0，即a：0，从而转化为对-仁a叮，a：0恒成立，又由a是a的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到为此只需：1：0即3xxV0，申（1）0Ox?十x险o.解得-：x:1.3故x-,1时，对满足-仁a叮的一切a的值，都有gx：0.3解法2考虑

8、不等式gx=3x-ax3a-5：0.由一1曲叨知，厶二a-36a600，于是，不等式的解为a-a-36a'60a:a-36a60x.66但是,这个结果是不正确的，因为没有考虑a的条件，还应进一步完善.为此,设ga-36a60,ha，36a60.66不等式化为ga：x：ha，-仁a1恒成立，即gamax：x：hamin'T一1由于ga60在_1二叮上是增函数，则gamg12,63haa-36a60在"注叮上是减函数,则hamih1=1.所以,6-2：x：:1故x-2,1时，对满足I3丿故x-2,1时，对满足I3丿一仁a叮的一切a的值，都有d=-rgx：o【例5】求与抛物

9、线E:y=ax2相切于坐标原点的最大圆的方程【分析及解】因为圆C与抛物线E:y=ax2相切于坐标原点,所以,可设C:x2y-r2寸2由题意,抛物线E上的点Px,y除坐标原点0,0之外,都在圆C的外边设P和圆心C0,r的距离为d，则本题等价于在y-o的条件下,恒成立整理式得y2r-丄a于是,本题又等价于式在y-0的条件下,恒成立即ymin-2r-丄,a由ymin=0得0一2r-1，即r_丄.a2a所以,符合条件的最大圆的半径是1，最大圆C的方程为2a【例6】设aR，二次函数f(x)=ax?_2x2a.若f(x)0的解集为A,BJx1：x：3l,AB，求实数a的取值范围.【分析及解】这是一个题目在

10、不等式成立的前提下，求参数的范围的问题，这个题目的常规解法是：由题设，a=0.fx=0的两个根为&=丄-、212，X?=1二212，显然，Xi：Ox-0aVaaa(1)当a：0时,A=xXi：x：x：,11AB一：=x212：21=a：-2.aVa当a>0时,A=xxcx(Jxx>x2,AB-一=x2:3=12：3二a6aa27于是，实数a的取值范围是-=-2我们注意到,题目的要求与大部分见到的题并不相同这类题目在试题中出现最多的是不等式恒成立的问题，而本题却是一个不等式能成立的问题，因为，题目的条件是只要集合A,B的交集不是空集就可以，即只要不等式f(x)0在区间1,3有

11、解就可以，这等价于fmaxx0,x1,3成立解法就简单些解法如下：(1)当a<0时，因为fx的图象的对称轴丄：0,则对x1,3，f1最大,afmaxX=f1二a-2-2a0.=a：-2.当a0时，fmaxx,XW1,3在f1或f3实现,由f1=2-a:0,f3=7a-6，则f3=7a-60=a-于是，实数a的取值范围是：，一2.辽丿这个解法的关键是用函数思想指导，学会用函数和变量来思考【例7】已知函数fx=Inx，gx=-ax2bx，a=0.2若b=2，且hx=fx-gx存在单调递减区间，求a的取值范围;【分析及解】只研究第(1)问.心时皿)皿-如2亠，贝h(x)二-ax2二x贝h(x)

12、二-ax2二x2ax2x-1x因为函数hx存在单调递减区间，所以h(xb：0有解.由题设可知,hx的定义域是0,=,而hx:0在0,上有解，就等价于hx:0在区间0：能成立,minmin即a2-2,0：成立,进而等价于a-Uminx成立,其中xx“12ux-7-一.xx1-1-1得,UmmX=-1.x于是,a-1,由题设a=0，所以a的取值范围是-1,00,-【例8】设x=3是函数f(x)=(x2axb)e3"(xR)的一个极值点.(I)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间；25(H)设a0,g(x)=(a24)ex，若存在i,20,4使得f(J-g(2):1成立，

13、求a的取值范围【分析及解】本题的第(H)“若存在1,20,4使得f(i)-g(2厂：1成立，求a的取值范围”如何理解这一设问呢？如果函数fx在x10,4啲值域与gx在X-0,4的值域的交集非空，则一定存在1,0,4使得f(i)-g(2)|；：1成立，如果函数fx在x1.0,4啲值域与gx在x：=10,4啲值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.由(I)可得，函数fx在x：IO,4的值域为卜2a3e3,a-6,又gx在x0,4的值域为字a2gmaxgmax存在1,20,4使得f(1)-g(2)<1成立，等价于至a6.4x-fminx：1，容易证明fmaxx-gminx&l

14、t;1或(225)0®3.2于是,疋+2T,W+6)"a>0.f(x)g(x)Jx-(2a+3)e3a+6a2+25(a2+25)e4【例9】已知函数f(x)=二2X0,1.2x(1) 求f(x)的单调区间和值域；设a-1，函数gx=x3-3a2x-2a,x，0,1，若对于任意x<0,1，总存在X。0,1使得g(xo)=f(xj成立，求a的取值范围.2【分析及解】(1)对函数f(x)求导，得f(X)二彎-7-1)-7)(2-x)(2-x)令f(x)=0解得X=1或X=7.22可以求得，当x(o£)时，f(x)是减函数；当(2,1)时，f(x)是增函数.

15、当x0,1时，f(x)的值域为-4,-31.(2)对函数g(x)求导，得g(x)=3(x2-a2).因为a_1，当x(0,1)时，g(x)：3(1-a2)乞0.因此当X，(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x0,1时有g(x)g(1),g(0).又g(1)“-2a-3a2,g(0)=-2a,即x0,1时有g(x)的值域为是1-2a-3a2,-2a.如何理解“任给捲0,1，f(xj-4,-3，存在X。0,1使得g(X0)=f(X1)”，实际上，这等价于f(x)值域是g(x)值域的子集，即1-2a-3a2,-2a二Y,-3.这就变成一个恒成立问题，f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，f(x)

16、的最大值不大于g(x)的最大值12a-3a2aK-3.12a-3a2aK-3.-4,解式得a一1或a-；3解式得a乞32又a-1,故a的取值范围为仁a.2以上几个例题主要探讨的是不等式的“恒成立”与“能成立”的问题,在历年高考中还出现过“恰成立”和“部分成立”的题目，例如：【例10】已知fX=x2仝巴对任意X.1,.二，fX_0恒成立，试求X实数a的取值范围；已知fx2Xa,当1：，fx的值域是0：，试求实数ax的值.【分析及解】这两问给出的函数的表达式相同，X的范围相同，fX的取值区间也相同，但是，由于设问的含义不相同，所以解题的目标也不相同.本题的第(1)问是一个恒成立问题，2fx2-a-

17、0对任意1,恒成立X等价于x=x22xa_0对任意x1,恒成立，又等价于x一1时x的最小值-0成立.由于®(x)=(x+1f+a-1在1,咼)上为增函数,则-minX1=a3,所以a3一0,a一-3第(2)问是一个恰成立问题，2+.这相当于fx沦Xa_0的解集是X，1,=X当a一0时，由于X-1时,2fx=X2X一=x-2_3，与其值域是0,心I矛盾,xx2当a：0时,fx/=x-2是1,；上的增函数,xx所以，fx的最小值为f1,令f1=0，即1a2=0,a3.【例11】已知c0，设P:函数y=cx在R上单调递减；Q:x+|x-2c>1的解集为R如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.【分析及解】函数Z在R上单调递减二0：c:1，(x+x-2C山=2c.J+|x-2c2x2c，x=2c，Zc,x<2g二x十x-2c>1在R上恒成立x2c1的解集为R1(X+X-2C人山>22c>1二C?.如果P正确，且Q不正确，则0：cJ,2如果Q正确，且P不正确，则c_1.由以上,c的取值范围是0,|1+-3C这是一个部分成立问题.【例12】已知：fxAx3px2qxr,且p2：3q，若对xR都有fm2-sinx一f