2019-2020学年人教B版必修第四册11.1.3多面体与棱柱学案

1、关键能力-素养形成类型一与多面体有关的概念【典例】1.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形2.画出如图所示的几何体的表面展开图.【思维弓I】1.依据多面体的棱、顶点、面的定义判断.2.表面展开图是将其表面的平面图形放在一个平面内.【解析】1.选D.该几何体用平面ABC回分割成两个四棱锥，因此它 是这两个四棱锥的组合体，故四边形ABCD是它的一个截面而不是一 个面.2.表面展开图如图所示Cl(I)Q)【内化

2、悟1如何解决与多面体结构有关的问题？提示：解决与多面体结构有关问题的方法：从与多面体有关的概念出 发，结合题设条件逐个判断即可.【类题通】绘制展开图绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征 ，发挥空间想象能 力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点 标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到 其表面展开图.【习练破】下列说法：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中正确的个数是 （）A.1B.2C.3D.4【解析】选A.不正确，除底面是矩

3、形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;不正确，当底面是菱形时就不是正方体；不正确，两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面，故不一定是直平行六面体；正确，因为对角线相等的平行四边形是矩形，由此可以推断此时的平行六面体是直平行六面体.类型二棱柱的结构特征【典例】1.下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形.(2)每一个面都不会是三角形.(3)两底面平行，并且各侧棱也平行.(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是.2.判断下列四个多面体是否为棱柱？若是棱柱，如何用符号表示？【思维弓I】1.依据棱柱及其有关的概念逐个进行判断即可.2.利用棱柱定义逐个判断，若是棱柱根据底面多边

4、形的边数用恰当的 符号表示.【解析】1.(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.(2)错误，棱柱的底面可以是三角形.(3)正确，由棱柱的定义易知.(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4).答案:(4)2.(1)是棱柱，可记为五棱柱 ABCDE-A iBiCiDiEi.(2)不是棱柱，不满足棱柱的定义.(3)是棱柱，可记为三棱柱 ABC-A iBiCi.(4)是棱柱，可记为四棱柱 ABCD-A iBiCiDi.【内化悟】棱柱定义中的三个要点是什么？提示：(i)有两个平面(底面)互相平行.(2)其余各面都是平行四边形.(3)每相邻两个平行四边形的公共边

5、互相平行.【类题通】棱柱结构特征的辨析技巧(i)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义 .看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都 是平行四边形；看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平 行.(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合, 给予排除.【习练破】下列关于棱柱的说法错误的是（）A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互 相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面【解析】选C.对于A,B,D,显然是正确的；对于C,棱柱的定义是这样 的

6、：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四 边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题 中漏掉了 “并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.所以C错误.【加练固】如图所示的是由18个棱长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少【解析】从题干图中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9,所以第三层摆了 9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后、左、右两个面的表面积也是分别相同的.因为小正方体的棱长是1 cm,所以上面的

7、表面积为12 x 9=9(cm2)；正面的表面积为12x8=8(cm 2)；左面的表面积为12X7=7(cm 2),几何体的表面积为9X2+8 X2+7X2=48(cm 2).类型三多面体的展开图问题 角度1由展开图复原多面体【典例】如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题:点H与点C重合;点D与点M点R重合;点B与点Q重合;点A与点S重合.其中正确命题的序号是【思维弓I】固定一个正方形(如FGPN的位置，将其他正方形折起先确定各正方形的位置，然后定顶点用什么字母表示【解析】将其还原成正方体，如图.答案：在与由展开图复原几何体有关的问题中，经常利用核心素养中的直观想

8、象，通过研究空间几何体与展开图之间的关系，培养学生空间想 象思考问题的习惯，提高学生借助空间图形分析、推理、论证的能力.若将一个正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，并沿该正方体的一条棱将正方体剪开，朝上展平得到如图所示的 平面图形，试确定标“”的面的方位.【解析】将三个空白正方形分别标为1,2,3,如图所示,易知1处标下,2处标西，和3处应标南北，进一步根据“上北下南左西右东”可知，处标北角度2求最大值、最小值问题【典例】如图，几何体ABCD-A B' C D是一个纸皮箱,AB=a,BC=b,BB' =c,且a>b>c,如果一只蚂蚁从A点出发爬

9、行到点C',那么它走过的最短路程是多少？【思维弓I】本题中由于长方体的三条棱长不相等，所以有三种展开 方式，把这三种情况的最后结果求出来，再比较它们的大小，就可得出 最小值.【解析】将长方体表面沿棱展开，由于长方体的三条棱长不一样，因此展开有三种可能，如图三个图形(1),(2),(3) 中AC的长分别为：fl C A « B 4 a 88'(I)(2)0)v : l1 J - ，=.,"一 一； 一 .二",；r ：I =: ",=. T7T ；u -一/ - ；：；、.因为 a>b>c>0,所以 ab>ac>bc>0.所以蚂蚁从A点出发爬行到点C'走过的最短路程为【类题通】多面体展开图问题的解题策略(1)由展开图复原几何体：首先想象出复原后的几何体，再将展开图中 的面、点标注到该几何体上.(2)多面体表面上两点间的最短距离问题常常要归纳为求平面上两点 间的最短距离问题.常见的解法是先把多面体的表面展开成平面图形 再用平面几何知识求有关线段的长度.