全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】

1、希望杯第一届1990年初中二年级第一试试题一、选择题:每题1分，共10分1一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是( )A45°.B75°.C55°.D65°22的平方的平方根是( )A2. B-2. C±2.D43当x=1时，a0x10-a1x9+a0x8-a1x7-a1x6+a1x5-a0x4+a1x3-a0x2+a1x的值是( )A0Ba0. Ca1Da0-a1 4. ABC,假设AB=,BC=1+,CA=,那么以下式子成立的是( )AACB;BCBA;CBAC;DCAB5平面上有4条直线，它们的交点最多有( )A4个B5个. C6个.D7

2、6的立方根是 A. B.C. D.7把二次根式化为最简二次根式是 (A) . (B). (C) . (D) 8如图1在ABC中，AB=BC=CA，且AD=BE=CF，但D，E，F不是AB，BC，CA的中点又AE，BF，CD分别交于M，N，P，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( )A2组B3组.C4组D5组。9. 等于一个固定的值，那么这个值是( )A0.B1. C2. D4. 把f1990化简后，等于( )A. B.1-x. C. D.x.二、填空题每题1分，共10分1.2.3.=_.4如图2，A=60°，1=2，那么ABC的度数是_5如图3,

3、O是直线AB上一点,AOD=117°,BOC=123°,那么COD的度数是_度6ABC中，C=90°，A的平分线与B的平分线交于O点，那么AOB的度数是_度7计算下面的图形的面积长度单位都是厘米见图4.答：_8方程x2+px+q=0，当p0，q0时，它的正根的个数是_个9x，y，z适合方程组 那么1989x-y+25z=_103x2+4x-7=0，那么6x4+11x3-7x2-3x-7=_答案与提示一、选择题提示：1因为所求角=5(90°-),解得=75°应选(B)2因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2应选(C)3以x=1代入

4、，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0应选(A)3，根据大边对大角，有CBA5如图5，数一数即得又因原式中有一个负号所以也不可能是(D)，只能选(A)7a0，应选(C)8有ABE，ABM，ADP，ABF，AMF等五种类型选(D)9题目说是一个固定的值，就是说：不管x，y取何值，原式的值不变于是以x=y=0代入，得：应选(B)应选(A)二、填空题提示：4ADC=2+ADB=1+ADB=180°-A=120°所以ADC的度数是120度5COD度数的一半是30度8=p2-4qp29方程组可化简为：解得： x=1，y=-1

5、，z=01989x-y+25z=1990106x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0希望杯第一届1990第二试试题一、选择题:每题1分，共5分 1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成53的两局部，那么这个三角形的底边长是 A7.5B12. C4.D12或42.P=，那么P的值是 A1987B1988. C1989D19903abc，xyz，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，那么 AMPN且MQN. BNPM且NQMCPMQ且PNQ. DQMP且QNP4凸四边形ABCD中，DA

6、B=BCD=900, CDAABC=21,ADCB=1,那么BDA= A30°B45°. C60°. D不能确定5把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四局部，使得在其中的一局部内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割 A是不存在的. B恰有一种. C有有限多种，但不只是一种.D有无穷多种二、填空题:每题1分，共5分1 ABC中，CAB-B=90°，C的平分线与AB交于L，C的外角平分线与BA的延长线交于NCL=3，那么CN=_2 假设,那么的值是_.3 a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，那么c的取值范围

7、是_4 ABC中, B=300,AB=,BC=,三个两两互相外切的圆全在ABC中，这三个圆面积之和的最大值的整数局部是_5 设a,b,c是非零整数,那么的值等于_.三、解答题:每题5分，共15分1从自然数1，2，3，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是1772平面上有两个边长相等的正方形ABCD和ABCD，且正方形ABCD的顶点A在正方形ABCD的中心当正方形ABCD绕A转动时，两个正方形的重合局部的面积必然是一个定值这个结论对吗？证明你的判断3用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n

8、由小到大排成一列n1n2n3n4，试求：n1·n2之值答案与提示一、选择题提示：1假设底边长为12那么其他二边之和也是12，矛盾故不可能是(B)或(D)又：底为4时，腰长是10符合题意应选(C)=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1从而选(A)4由图6可知：当BDA=60°时，CDB5如图7按同心圆分成面积相等的四局部在最外面一局部中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形如果三个圆换成任意的封闭曲

9、线，只要符合分成的四局部面积相等，那么最外面局部中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形应选(D) 二、填空题提示：1如图8：NLC=B+1=CAB-90°+1=CAB-3=NNC=LC=35当a，b，c均为正时，值为7当a，b，c不均为正时，值为-1三、解答题1证法一 把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，(177，354)这样的组中，任一组内的两个数之差为177从1354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组也即至少有两个数之差是177从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它

10、们的差是177证法二 从1到354的自然数中，任取178个数由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，176这177种之一因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a-b=k×177又因1354中，任两数之差小于2×177=354所以两个不相等的数a，b之差必为177即a-b=177从自然数1，2，3，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是1772如图9，重合局部面积SAEBF是一个定值证明：连AB，AC，由A为正方形ABCD的中心，知ABE=ACF=45°又，当AB与AB重合时，必有AD与AC重合，

11、故知EAB=FAC在AFC和AEB中，SAEBF=SABC两个正方形的重合局部面积必然是一个定值3可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190其中 1990=7×284+2，1909=7×272+51099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6即

12、余数只有0，2，3，5，6五种它们加1，2，3都可能有余1的情形出现如0+11，6+21，5+3(mod7)而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n又：加5，6有：5+31，6+21(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13没有一个被7除余1所以7是次小的n即 n1=4，n2=7 n1×n2=4×7=28第二届1991年初中二年级第一试试题一、选择题:每题1分，共15分1如图1，AB=8，AP=5，OB=6，那么OP的长是 A2; B3; C4; D52方程x2-5x+6=0的两个根是 A1，6 ;B2，3; C2，3;D1，63A

13、BC是等腰三角形，那么 AAB=AC;BAB=BC;CAB=AC或AB=BC;DAB=AC或AB=BC或AC=BC4.a=,那么a,b,c的大小关系是 AabcBa=b=c Ca=cb Da=bc5.假设ab,那么(b-a)等于 A.; B.; C.; D.6x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有 A3个B4个; C5个D无数多个7两条直线相交所成的各角中， A必有一个钝角;B必有一个锐角;C必有一个不是钝角;D必有两个锐角8两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，那么这两个角 A一个是锐角另一个是钝角;B都是钝角;C都是直角;D必有一个角是直角9方程x2+|x|+1=0有

14、个实数根A4; B2; C1; D010一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是 A26;B28; C36;D3811假设11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是 A179;B181; C183;D18512.如果那么等于 A2x+5B2x-5; C1 D113方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是 A.; B.; C.; D.14当a-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 A两负根;B一正根、一负根且负根的绝对值大C一正根、一负根且负根的绝对值小;D没有实数根15甲

15、乙二人，从M地同时出发去N地甲用一半时间以每小时a公里的速度行走，另一半时间以每小时b公里的速度行走；乙以每小时a公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b公里的速度行走假设ab时，那么 到达N地A 二人同时; B甲先;C乙先; D假设ab时，甲先到达，假设ab时，乙先二、填空题:每题1分，共15分1一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于_度2.有理化分母:=_.3.方程的解是x=_.4分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=_5假设方程x2+(k2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，那么k的值是_6如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式

16、,那么=_.7方程x2-y2=1991有_个整数解8当m_时，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根9如图2，在直角ABC中，AD平分A，且BDDC=21，那么B等于_度 (2) (3) (4)10如图3，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，和G，连结每两个点的线段共可作出_条11D，E分别是等边ABC两边AB，AC上的点，且AD=CE，BE与CD交于F，那么BFC等于_度12如图4，ABC中，AB=AC=9，BAC=120°，AD是ABC的中线，AE是ABD的角平分线，DFAB交AE延长线于F，那么DF的长为_13在ABC中，AB=5，AC=9，那么BC边上的中线A

17、D的长的取值范围是_14等腰三角形的一腰上的高为10cm，这条高与底边的夹角为45°，那么这个三角形的面积是_15方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程的根是_答案与提示一、选择题提示：1OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3选(B)2以2，3代入方程，适合应选(B)3有两条边相等的三角形是等腰三角形选(D)4a=1，b=-1，c=1选(C)6x=y5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边选(D)7两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立选(C)8设两个角为,.那么(+)+(-)=180°,即

18、=90°应选(D)9不管x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的选(D)即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数故取(A)11设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，2n+21那么(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+21)=1991即 11(2n+11)=1991解得n=85第六个数是2×85+11=181应选(B)选(A)13原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0即 x4-10x2+1=0故取(C)14a-1时，a3+10，a2+10，a+10而假设方程的两根为x1

19、，x2，那么有15设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，那么有t1t2，即甲先另外：设a=1，b=2，那么甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果故取(B)二、填空题提示：1设所求角为，那么有(180°-)-(90°-)=90°4x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2) =(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y) =(x+y)(x2+xy+y2)5设二根为x1，-x1，那么x1+(-x1)=-(k2-9)即k2-9=0即k=±3又，要有实数根，必须有0即

20、 (k2-9)2-4(k+2)0显然 k=3不适合上面的不等式，k=-36由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c即b=17x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9BDDC=21，故有ABAC=21，直角三角形斜边与直角边之比为21，那么有B=30°10从A出发可连6条，从B出发可连5条，因为BA就是AB，从C出发可连4条，从F出发可连一条共计1+2+3+4+5+6=21条另法：每个点出发均可连6条，共有42条但每条都重复过一次，11如

21、图28F=1+A+2又：ADCCEB 1=3 F=3+A+2=B+A=120°12ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故BAD=60°，ADB=90°又：AE是分角线，故DAE=EAB=30°又：DFAB，F=BAE=30°在ADF中，DAF=F=30°AD=DF而在ADB中，AB=9，B=30°134BC14当BC为4时，BD=CD=2，AD7当BC=14时，BC=CD=7，有AD22AD714等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，那么顶角是90°，高就是腰，其长为10c

22、m15设两根为x1，x2那么x1+x2=-p x1x2=q由题设及，可知，x1，x2均为负整数q为质数，假设q为奇数，那么x1，x2均为奇数从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的假设q为偶数只能是2，两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2方程的根是-1和-2希望杯第二届1991年初中二年级第二试试题一、选择题:每题1分，共10分1如图29，B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，那么MNPQ等于( ) A1; B2; C3; D42两个正数m，n的比是t(t1)假设m+n=s，那么m，n中较小的数

23、可以表示为( ) A.ts; Bs-ts; C.; D.3.y>0时,等于( ) A.-x; B.x; C.-x; D.x.4(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，那么a，b，c的关系可以写成( )Aabc. B(a-b)2+(b-c)2=0. Ccab. Da=bc5如图30，AC=CD=DA=BC=DE那么BAE是BAC的( )A4倍.B3倍. C2倍.D1倍6D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，那么AD，BD，CD满足关系式( )A.AD2=BD2+CD2. BAD2BD2+CD2. C2AD2=BD2+CD2. D2AD2BD2+CD

24、2 7.方程的实根个数为( )A4B3. C2D18.能使分式的值为112的x2、y2的值是( )A.x2=1+，y2=2+; B. x2=2+，y2=2-;C. x2=7+4，y2=7-4; D. x2=1+2，y2=2-.9在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，完全平方数的个数为z，合数的个数为u那么x+y+z+u的值为( )A17B15. C13D1110两个质数a，b，恰好是x的整系数方程x2-21x+t=0的两个根,那么等于( ) A.2213; B.; C.; D.二、填空题每题1分，共10分1.1989×19911991-19

25、91×19891988=_2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=_3.(a2+ba+bc+ac):(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)的平方根是_4边数为a，b，c的三个正多边形，假设在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么=_.5.方程组有正整数解,那么正整数a=_.6.从一升酒精中倒出升,再加上等量的水,液体中还有酒精_升;搅匀后,再倒出升混合液,并参加等量的水, 搅匀后,再倒出升混合液, 并参加等量的水,这时,所得混合液中还有_升酒精.7如图31，在四边形ABCD中AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米且ABC

26、=90°，那么四边形ABCD的面积是_8如图32，1+2+34+5+6=_9.的最小值的整数局部是_.10两数积ab1且 2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,那么=_.三、解答题:每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整1. 两个正数的立方和是最小的质数求证：这两个数之和不大于22一块四边形的地如图33(EOFK，OHKG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的即两边都是直线但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时那么新渠的

27、两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明答案与提示一、选择题提示：3由y0，可知x0应选(C)4容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式应选(B)5ACD是等边三角形,BCA和ADE均为等腰三角形.故知BAC=30°,而BAE=120°,所以选(A)6以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2BD2+CD2应选(D)应选(C)选(C)9x=4，y=5，z=4，u=4选(A)10由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数二、填空题提示：11989×19911

28、991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=19912原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)3原式=(a+c)(a+b)(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)平方根为±(a+c)4正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，

29、所取的内角和才可能为180°5两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾a=1或27在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可ADC为直角三角形从而有面积为81+2+3+4+5+6，正好是以2，3，5为3个内角的四边形的4个内角之和和为360°10由条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看

30、成：三、解答题1设这两个正数为a，b那么原题成为a3+b3=2，求证a+b2证明反证法：假设a+b2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b1，a2-b，这个不等式两边均为正数，a3(2-b)3a38-12b+6b2-b3a3+b38-12b+6b26b2-12b+60b2-2b+10(b-1)20 矛盾a+b2即此题的结论是正确的2此题以图33为准由图34知OKAB，延长EO和FK，即得所求新渠这时，HG=GM都等于OK，且OKAB，故OHG的面积和KGM的面积相同即新渠占地面积与原渠面积相等而且只挖了KGM这么大的一块地我们再看另一种方法，如图35作法：连结EH，FG过O作EH平行

31、线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M连结EN和FM，那么EN，FM就是新渠的两条边界线又：EHONEOH面积=FNH面积从而可知左半局部挖去和填出的地一样多，同理，右半局部挖去和填出的地也一样多即新渠面积与原渠的面积相等由图35可知，第二种作法用工较多要挖的面积较大故应选第一种方法。希望杯第三届1992年初中二年级第一试试题一、选择题:每题1分，共10分1ab0，那么有 A.a+b>1; B.ab>1; C.; D.a-b>1.2三角形的三个内角度数之比为123,假设这个三角形的最短边长为,那么它的最长边等于 A.2; B.2; C.3; D.3.3.假设,那么a2-a

32、b+b2的值为 A.; B.; C.; D.4. 的值等于 A.; B.; C.; D.5ABC中，A=-，B=，C=+,0°90°假设BAC与BCA的平分线相交于P点，那么APC= A90°B105°. C120°D150°6一个自然数的算术平方根为a(a1)，那么与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为 A.a-1,a+1; B.; C.; D. a2-1,a2+1.7.实数a满足丨1992-a丨+=0,那么a-19922的值为 A1991.B1992. C1993.D1994.8正整数a被7除，得到余数4，那么a3+5被7除，

33、得到的余数是 A0.B2. C4.D6.9. 的值为 A.; B.; C.; D.1.10方程x2+667x+1992=0的较大的那个实根的负倒数等于 A.; B.; C.; D.二、填空题:每题1分，共10分1 一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数等于_2 二次根式化为最简根式应是_.3 假设(x-1)6=a0x6+a1x5+a2x4-a3x3-a4x2-a5x-a6，那么a6=_4 假设a、b、c为ABC的三边的长,那么=_.5如图39，ABC中，BCA=90°，BAC=60°，BC=4在CA延长线上取点D，使AD=AB，那么D，B两点之间的距离等于_6.的小

34、数局部我们记作m,那么m2+m+=_.7假设abc0，一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0的两个实根中，较大的一个实根等于_8如图40，1+2+3+4+5=_ 9一个两位质数，将它的十位数与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无瑕质数，那么所有“无瑕质数之和等于_10假设3x2+4y-10=0，那么15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=_答案与提示一、选择题提示：1用特殊值法，不妨设a=0.4，b=0.2，那么a+b=0.61，可排除(A)；ab=0.081，可排除(B)；2根据三角形内角和为180°及三个内角度数之比为123，容易得

35、出三个内角为30°，60°，90°30°角对边为最短边，由题设知，5由A+B+C=180°，即(-)+(+)=3=180°，应选(C)n-1=a2-1，n+1=a2+1，其算术平方根分别为7由题意知a-19930，因而a1993于是|1992-a|=a-1992从而a-1993=19922，故a-19922=1993应选(C)8设a=7k+4(k为正整数)，那么a3+5=(7k+4)3+5=(7k)3+3×(7k)2×4+3×(7k)×42+43+5=7(72k3+3×7k2×

36、;4+3k×42+9)+6因此，a3+5被7除余6，故应选(D)x2+667x+1992=0不能有非负根，所以x=667排除，剩下的-664，-1992，-3三个数中，最大者为-3，以-3代入原方程，恰好满足方程，所以应选(D)注：此题也可由方程化为(x+664)(x+3)=0，可知方程较大的实根为-二、填空题提示：1设所求角为，那么有180°-=3(90°-)，从而解得=45°3令x=0，得(-1)6=-a6，a6=-14由条件可知a0，b0，c0，且ab+c，bc+a，ca+b，a-b-c0，b-c-a0，c-a-b0，5连结AD如图41AD=AB，

37、BDA=DBA=30°因此，在直角三角形DBC中，BDC的对边BC等于斜边BD之半，而BC=4，所以BD=87由观察知，x=1满足方程，所以，方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0有实根1又知a-b0，b-c0，假设x1，那么有(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，所以方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0没有大于1的实根，因此较大的一个实根等于18如图42，6=7+4，7=2+5，但1+3+6=180°，1+3+4+7=180°，即1+2+3+4+5=180°9根据题意，容易检验，两位“无瑕

38、质数分别是11，13，17，31，37，71，73，79，97，共计9个，它们的和是11+13+17+31+37+71+73+79+97=42910因为15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=(3x2+4y-10)(5x+y+1)+10=10注：用因式分解的方法，凑出3x2+4y-10这个因子即可希望杯第三届1992年初中二年级第二试题一、选择题:每题1分，共10分173282-73252= A47249B45829. C43959D44969 2长方形如图43AB=2，BC=1，那么长方形的内接三角形的面积总比数( )小或相等 A.; B.1; C.; D.3当x=6，y

39、=8时，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是 A1200000-254000. B1020000-250400C1200000-250400. D1020000-2540004等腰三角形的周长为a(cm)一腰的中线将周长分成53，那么三角形的底边长为 A.; B.; C. 或; D.5.适合方程+3x2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值适合 A.;B.;C.;D. 6.四边形如图44,AB=,BC=1, A=B=C=300,那么D点到AB的距离是 A.1; B.; C.; D.7在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些

40、对应值中，最小的值是 A1B2. C3D48一个等腰三角形如图45顶角为A,作A的三等三分线AD，AE即1=2=3，假设BD=x，DE=y，EC=z，那么有 AxyzBx=zy. Cx=zyDx=y=z9方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根，那么a可以是 A5B9. C10D1110.正方形如图46,AB=1,和都是以1为半径的圆弧,那么无阴影的两局部的面积的差是 A.; B.; C.; D.二、填空题每题1分，共10分1.方程的所有根的和的值是_.2.a+b=,a-b=,那么ab=_. 3如图47，在ABC中，ACB=60°，BAC=75

41、76;，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE交于H，那么CHD=_4.x=,那么+1的值是_5如图48，边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，那么BPD的面积的值是_6. x+y=4,xy=-4, 那么=_.7在正ABC中如图49，D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，假设四边形ADPE与BPC的面积相等，那么BPE=_8.方程x2-19x-150=0的一个正根为a,那么+=_.9某校男生假设干名住校，假设每间宿舍住4名，那么还剩20名未住下；假设每间宿舍住8名，那么一局部宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生_名10n是自然数，19n+14与10n+3都是

42、某个不等于1的自然数d的倍数，那么d=_三、解答题写出推理、运算的过程及最后结果，每题5分，共10分1 假设a，b，c，d0，证明：在方程 ,中,至少有两个方程有不相等的实数根.2(1)能否把1，2，1992这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明(2)把上题中的“分成八组改为“分成四组，结论如何？请加以说明如果能够，请给出一种分组法答案与提示一、选择题提示：5等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0x+1=0，xy+1=0解之得x=-1，y

43、=1那么x+y=0应选(B)6由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30n=7应选(A)7由A=36°，AB=AC，可得B=C=72°ABD=CBD=36°，BDC=72°AD=BD=BC由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD应选(B)8原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0即|x-1|2-5|x-1|+6=0|x-1|=2，或|x-1|=3

44、x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4那么x1+x2+x3+x4=4应选(D)9连结CB,AB=BB,SBBC=SABC=1,又CC=2BCSBCC=2SBBC=2SBBC=3同理可得SACC=8,SABA=6SABC=3+8+6+1=17应选(D)10原方程为|3x|=ax+1(1)假设a=3，那么|3x|=3x+1当x0时，3x=3x+1，不成立(2)假设a3综上所述，a3时，原方程的根是负数应选(B)另解：图象解法设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象从图87中看出，当a3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限二、填空题提示：149=7×7

45、，所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42设a=7m，b=7n，(mn)，其中(m，n)=1由ab=(a，b)·a，b7m·7n=7·42，故mn=6又(m，n)=1，m=2，n=3，故a=14，b=21经检验，142+212=637这两个数为14，2121993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)而x1·x2=1993，且x1，x2为负整数根，x1=-1，x2=-1993或x1=-1993，x2=-1那么4设SBOC=S，那么SAOB=6-S，SCOD=10-S，SAOD=S-1由于S·(S-1)

46、=(6-S)(10-S)，解之得S=46432=184919001936=442，又193619932025=452其他都不适宜此时所求方程为14x2-53x+14=08过E作EHBC于HADBCEHAD又ACE=BCE，EAAC，EHBCEA=EH，AEC=HECEHAD，HEC=AFE，AEF=AFEAE=AF，EH=AF即可推出AGFEHBAG=EB=AB-AE=14-4=10BG=AB-AG=14-10=410设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(nm)依题意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1由于503+7n100，504+9m100得n=7，8，9，10，11，12，

47、13m=6，7，8，9，10但满足式的解为唯一解：n=13，m=10n+1=14，m+1=11获奖人数共有14+11=25人三、解答题1解：假设不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO或OCBAO，OACBO或OBCAO，OBACO或OCABO其中OABCO的距离最短记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离在AC上截取AB=AB，连结OB那么ABOABOBO=BOd(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-ABBCBO=CO-(BC+BO)0同理可得，d(OABCO)-d(OB

48、ACO)0所以路线OABCO的距离最短因此x与-y是关于t的方程解二：由条件得两边加上a4+1，得显然0a1，0a21希望杯第四届1993年初中二年级第一试试题一、选择题:每题1分，共15分1如果ab0，那么在以下结论中正确的选项是 A.a+b<-1; B.ab<1; C.<1; D.>1.2四个命题：-1是1的平方根负数没有立方根. 无限小数不一定是无理数. 一定没有意义.其中正确的命题的个数是 A1B2 C3D43.8个数:,0.236,3.1416, 其中无理数的个数是 A3B4C5D64.假设A=,那么A的算术平方根是 Aa2+3B(a2+3)2. C(a2+9

49、)2Da2+95以下各组数可以成为三角形的三边长度的是 A1，2，3. Ba+1，a+2，a+3，其中a0Ca，b，c，其中a+bc. D1，m，n，其中1-mn6方程x2+|x|-6=0的最大根与最小根的差是 A6B5. C4D37等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是 A50°,50°,80°. B50°,50°,80°或130°,25°,25°C50°,65°,65°D50°,50°,80°或50°,65°,65°8.如果x+y=,x-y=,那么xy的