2021年江苏高考数学一轮复习讲义第4章第4节三角函数的图象与性质

1、1第四节三角函数的图象与性质最新考纲1.能画出 y= sin x, y= cos x, y= tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2 上的性质(如单调性、最大值和最小值、n n图象与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间 一 2，2 内的单调性.必备知识填充1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图_ n正弦函数 y= sin x, x 0,2 图象的五个关键点是：(0,0), ， 1 ，(n0),、,n余弦函数 y= cos x, x 0,2n图象的五个关键点是：(0,1), 2, 0 , (n1),苧0, (2n1)2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与

2、性质函数y=sin xy=cos xy=tan x图象ri丿JU定义域RRXXMkn+ ,kZ值域T,11,1R护笏冬独也堪一 课3n二！ ,(2n0)2单调性递增区间：n一n2kn2，2kn+ -kZ,递减区间：递增区间：2 kn n,2knkZ,递减区间：2 kn,2kn+ n递增区间nnkn2,kn+?,kZn 3n2kn+2，2kn+k ,kZkZ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kn0),kZ对称中心nkn+2,0,kZ对称中心F,0 , kZ对称轴nx=kn+2 (kZ)对称轴x=knkZ)周期性2n2nn常用结论1.对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之

3、间的距离是半个1周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是4个周期.(2) 正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.函数具有奇偶性的充要条件函数 y= Asin(3汁 妨(x R)是奇函数？片 k(k Z)；n函数 y= Asin(3汁 妨(x R)是偶函数？= kn+2(k Z);n函数 y= ACOS(3+(D(x R)是奇函数？X kn+2(k Z);函数 y= ACOS(3+(D(x R)是偶函数？F=knk Z).学情自测验收:3一、思考辨析(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)函数 y= sin x的图象关于点(kn, 0)(k Z)中心对称.()正切函数 y=tan x

4、在定义域内是增函数.()(3) 已知 y= ksin x+ 1, x R,贝 U y 的最大值为 k+ 1.()(4) y= sin |x|与 y= |sin x|都是周期函数.()答案(1)V(2)X(3)X X4二、教材改编1 .函数 y= tan 2x 的定义域是（）nA. xXMkn+4,kZkn nB. xXM + 8, k ZnC. xXMkn+8，kZknn、厂=D. xXMy + 4, k Z.nr/口knnrD 由 2XMkn+2，kZ，得XM +4,kZ, y= tan 2x 的定义域为 xXM牙+才，k Z .n2 .函数 f（x） = cos 2X+4 的最小正周期是

5、_ .n nT= = n.n3. y= sin 2X4 的单调减区间是 _.3n7nnn3n8+kn8+kn（kZ）由+2kn2x4+2knkZ 得3n7n+knx +kn,kZ.4. y= 3sin 2x（在区间上的值域是_TT 577 I 66. 用珈（N千）E -y.3?即y - 3sin I 2.v - -7-）的備.城为-寻,3TTl2 J15课堂考点探究6曲:1. 1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线 或三角函数图象来求解.2.求三角函数最值或值域的常用方法直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解.(2) 化一法

6、：把所给三角函数化为 尸 Asin(+)+ k 的形式，由正弦函数单 调性写出函数的值域.(3) 换元法：把 sin x, cos x, sin xcos x 或 sin xicos x 换成 t, 转化为二次函数求解.n也莎 1.函数 f(x)= 2tan 2x+ 6 的定义域是()Al12 JC. I t x #EF+ 孚(ZrEZ) |I6k fD*鼻心竽亠于(XZ)nnD 由正切函数的定义域，得 2x+舌工 kn+2，k Z ,即 XMkn+ 6(k Z)，故选 D.3 冗2. (2019 全国卷I)函数 f(x) = sin 2x+ 3cos x 的最小值为_ .3n24 f(x)=

7、 sin 2x+ 3cosx= cos 2x 3cos x= 2cos x 3cosx+ 1，令 cos x= t，则 t 1,1.考点三角函数的定义域和值域二-2t+32177易知当 t = 1 时，f(t)min= 2X12 3X1 + 1 = 一 4.故 f(x)的最小值为一 4.nn3.已知函数 f(x) = 2asin 2x+ g + a+ b(av0)的定义域为 0,，值域为5,1，贝Ua+ b=_ .nn n7nn11因为 x 0, 2，所以 2x+ g g,石，所以 sin 2x+ g 2，1 .因为 av0,所以 f(x) 3a + b，b.因为函数的值域为5,1,所以 3a

8、 + b= 5, b= 1,所以 a= 2,所以 a+ b= 1.4.函数 y= sin x cos x+ sin xcos x 的值域为、222设 t = sin x cos x,贝Ut = sin x+ cosx2sin x cosx, sin xcos x=，且一.。三 t .2.t211二y=2+1+2=2(t1)2+1，t 2，2.当 t= 1 时，ymax= 1 ；当 t= .2 时，ymin= 2.丨-丄J函数的值域为 I m 打品疔申求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1) 形女口 y= asin x+ bcos x+ c 的三角函数化为 y= Asinx+ Q+c 的形

9、式，再求值域(最值).(2) 形如 y= asin2x+ bsin x+ c 的三角函数，可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函数求值域(最值).(3) 形如 y= asin3x+ bsin2x+ csin x+ d,类似于进行换元，然后用导数法求8最值.92 三角函数的单调性喘洽:形如 y= Asin汁妨的函数的单调性问题，一般是将汁看成一 个整体，再结合图象利用 y= sin x 的单调性求解；（2）如果函数中自变量的系数为考点负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性.考向 1|求三角函数的单调性n割函数 f（x） = tan 2x- 3 的单调递增区间是（）B.C

10、.1並（2019 大连模拟）函数 y= 2sin x+ 2 cos的单调递增区间(1)B (2)Hnnn(1)由kn 22x 3k n+ 2(k Z)，/口 kn nkn5n得 212xv7+12 化 Z)，nkn nkn n所以函数 f（x）= tan 2x 3 的单调递增区间为 勺12，2+12（歩 Z），故选B.1x/3n(2)vy=2sin x+-cos x=sin x+3，,7t冗7t由 2kn2=x+32kn+2(kZ)，5nn解得 2kn x0,函数 f(x)=sin3x+4 在 2, n上单调递减， 则3的取 值范围是()A. (0,2B. 0,1131 5C. 2, 4D.

11、2, 4(2)(2018 全国卷U)若 f(x) = cos x-sin x 在0 , a是减函数，则 a 的最大值是 ()n n3nA.4B2 C4D n(1)DC (1)由 2kn+彝3汁n2kn+孝 得经+产三 x2kn+尹,242 343343k Z ,n n因为 f(x)=sin3x+4 在 2n上单调递减,1515所以30,所以 k= 0,124，4 是 f（x）在原点附近的单调递减区间,结合条件得0，a?n3n4，4，3 冗 rr 3n r、，r aW4，即 amax4，故选 C.兰评 已知单调区间求参数范围的 3 种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子

12、集，列不等式（组）求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解周期性法1由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过4 周期列不等式（组）求解也紂药 1.若函数 f（x）= sin 讥30）在区间1 . |上单调递增，在区间上单调递减，则3=_n2.函数 f（x） = sin 2x+ 3 的单调减区间为 _n由已知，得函数为 y= sin 2x 3，欲求函n数的单调减区间，只需求 y=sin2x 3 的单调增区间即可.rnnn由 2kn_2 三 2x3W2kn+?，kZ，小n,5n得 kn12=x0)的周期性、奇偶性、对称性问

13、题， 其实质都是根据 y= sin x 的对应性质，利用整体代换的思想求解.讥.三角函数的周期性nn n酸曲引(1)(2019 全国卷U)下列函数中，以 2 为周期且在区间 4, 2 单调递增的 是()A. f(x)= |cos 2x|B . f(x) = |sin 2x|C. f(x) = cosXID. f(x) = sin|x|n(2)若函数 f(x) = 2tankx+ 3 的最小正周期 T 满足 1vTv2,则自然数 k 的值 为.A (2)2 或 3 对于选项 A,作出 y= |cos 2x|的部分图象，如图 1 所示, 则 f(x)在，扌上单调递增，且最小正周期T=n，故A正确.

14、n n对于选项 B，作出 f(x)=|sin 2x|的部分图象，如图 2 所示，则 f(x)在 4，2 上n单调递减，且最小正周期 T= 2，故 B 不正确.对于选项 C，vf(x) = cosKI = cos x， 二最小正周期 T= 2n,故 C 不正确.对于选项 D，作出 f(x) = sin|x|的部分图象，如图 3 所示.显然 f(x)不是周期考点14nn(2)由题意得，1vkv2,二 kvnv2k,即 qvk0)的最小正周期为 4n,则该函数的图象()16nA.关于点 3，0 对称5nB.关于点 y, 0 对称c.关于直线 x= 3 对称D.关于直线 x= 3 对称(2)已知函数 y= sin(2x+妨扌 0)的最小正周期是 4 罵而2n1丁=二=4n所以3=2，卄xn即 f(x)= 2sin 2 + 6 .xn n2n令 2+ 6=2+Z),解得 x= -3+ 2knk Z),2n故 f(x)的对称轴为 x= j + 2kWk Z),xnn令 2+ 6= kg Z),解得 x= 3+ 2knk Z).n故 f(x)的对称中心为 一 3+ 2kn0 (k Z),对比选项可知 B 正确.n2n(2)由题意得 f 3 = sin 3 + = ,2nnn3+ =kn+2(kZ),二=k