2020高考新课标数学(文)一轮复习教材：专题研究圆锥曲线中的范围、最值、证明问题

1、专题研究（一）圆锥曲线中的范围、最值、证明问题专题概述：1圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是 代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二 次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何 法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最 值；2圆锥曲线中的证明问题通常转化为利用坐标容易解决的问题， 通过坐标法来解决，合理转化是解决证明问题的关键.专题讲解题型一范围问题【典例 1 （2019 安徽皖西南十校期末联考）已知右焦点为x2y2 3 F2（C,0）的椭圆 C:孑+ b?= 1（ab0）过点 J, 2J,且椭圆 C 关于直线 x =C对称

2、的图形过坐标原点.（1）求椭圆 C 的方程；、 一过点 0 作直线 I 与椭圆 C 交于 E, F 两点，线段 EF 的中 点为 M，点 A 是椭圆 C 的右顶点，求直线 MA 的斜率 k 的取值范围.审题程序第一步：由椭圆过定点，确定 a, b 关系；第二步：由椭圆 C 关于直线对称的图形过原点确定 a,C关系；第三步：写出椭圆的方程；第四步：利用直线 I 与椭圆方程联立，由根与系数的关系，把斜 率 k表示利用参数表示；第五步：利用函数（或均值定理）求范围.3119规范解答（1）T椭圆 C 过点 J, 2，孑+4|?= 1,椭圆 C 关于直线 x=C对称的图形过坐标原点， a=2C,1Ta1

3、 2=b2+c2, b2=3a2，由得 a2= 4, b2= 3,椭圆 C 的方程为 x4 + 3 = 1./.0k0 时，4m+ 帚帚8,.044m + m依题意，直线 I 过点 1 o 且斜率不为零,故可设其方程为 x2 24(3m + 4)y + 12myy1+ y2.y=2=3m2 3m2+4 1Xo= my。+ 2 =23m2+ 4，.k= X0 2yo=m4m2+ 4当 m= 0 时,k= 0当 mz0 时,k=，4m+m当 m0 时,4m+ = 4m)+m 8, /.-g= k0.4m+m/.-8k . 3，求实数 k 的取值范围；若直线 OA, AB, OB 的斜率成等比数列(

4、其中 O 为坐标原点)， 求厶OAB 的面积的取值范围.x2y解(1)联立方程 3 + 2=1 和 y= kx+ m,得(2 + 3k2)x2+ 6kmx + 3m2 6= 0, 所以= (6km)2 4(2 + 3k2)(3m2 6)0,1所以 m23，即电, 解得于或 k 于.找关系得结果所以实数 k 的取值范围为(一=,申”捋，+乂设 A(xi, yi), B(x, y2),6km3 m2 6则xi+X2=右，xix2二 2+3?.设直线 OA, OB 的斜率分别为 ki, k2,因为直线 OA，AB，OB 的斜率成等比数列,(1)求直线 AP 斜率的取值范围；所以 kik2=x=xix

5、22kx1+ m kx2+ m k2,即 =x1x22化简得 2 + 3k2= 6k2, 即卩 k2= 3.k2(mz0)，因为 |AB|= M + k2凶一 X2|=532362m，点 O 到直线 I 的距离 h=fg，所以SRAB= 2AB|h = 663m2+ 63m22i39、(BQ，4J,抛物线上的点 P(x，y) 垂足为 Q.132x2 .过点 B 作直线 AP 的垂线,求|PA| |PQ|的最大值.审题程序第一步：表示出直线 AP 的斜率，求出取值范围；第二步：写出 AP、BQ 的方程，解出点 Q 的横坐标;第三步：利用弦长公式求出|PA|PQ|;第四步：借助函数知识求最值.规范

6、解答(1)设直线 AP 的斜率为 k,X -41-3k=- = x-2，因为2x2，x+ 2所以直线 AP 斜率的取值范围是(1,1).联立直线 AP 与 BQ 的方程，得(11kxy+2k+ 4=!93x+ky4k2=k + 4k+ 3解得点 Q 的横坐标是XQ=2.2(k2+ 1)因为 |PA| = p 1 + k2+ * = l 1 + k2(k + 1),2IPQI/l+k2(XQx)= (k”k+1,所以 |PA| |PQ|= (k 1)(k + 1)3.令 f(k)= (k 1)(k +1)3,0,0因为 f (k)= (4k 2)(k + 1)2,了 1 )(1所以 f(k)在区

7、间1, 2 上单调递增，2, 1 上单调递减，127因此当 k= 2 时，|PA|PQ|取得最大值解题反思本题隐含了点 A，B 在抛物线上的条件，表示出 AP的斜率后利用 x 的取值范围来求直线 AP 的取值范围.第(2)问涉及距 离问题，因 PA 在抛物线上可用弦长公式求，而点 Q 的坐标因是两条 垂直直线的交点，故需解直线方程求解.本题考查求范围问题常见的 方法一一单调性法，包括以导数为工具求最值.答题模板解决这类问题的答题模板如下:题型专练x2y22.已知椭圆 Ci： 8 + 4 = 1 的左、右焦点分别为 Fi、F2,过点 Fi作垂直于 x 轴的直线 h,直线 12垂直 li于点 P,

8、线段 PF2的垂直平 分线交 12于点M.(i)求点 M 的轨迹 C2的方程；过点 F2作两条互相垂直的直线 AC、BD，且分别交椭圆于 A、 B、C、D，求四边形 ABCD 面积的最小值.解连接 MF2,由题意知|MP|TMF2|,.点 M 到定直线 li：x= 2 的距离等于它到定点 F2(2,0)的距离，.点 M 的轨迹 C2是以 li为准线，F2为焦点的抛物线，二点 M 的轨迹 C2的方程为 y2= 8x.(2)当直线 AC 的斜率存在且不为零时，设直线 AC 的斜率为 k,iA(xi, yi), C(X2, y2)，则直线 BD 的斜率为k，直线 AC 的方程为 y+ k(x 2),

9、=k(x 2)，联立x2y28 + 4 =1,得(2k2+ 1)x2 8k2x+ 8k2 8= 0.8k28k2 8F +x2= 1+k2，xix2= 1+k2.AC 丄 BD，二四边形 ABCD 的面积116 k2+12S= 1|AC|BD|=k2+ 2 2k2+1 .由于(k2+ 2)(2k2+ 1)爭，当且仅当 k2+ 2 = 2k2+ 1, 即 k= 1 时，取等号.易知，当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形 ABCD 的面积 S= 8.64 综上，四边形 ABCD 面积的最小值为.题型三证明问题2【典例 3】(2018 全国卷皿)已知斜率为 k 的直线 I 与椭圆 C：4+ 3 = 1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M(1, m)(m0).64 2 k2+ 12k2+ 1同理可得|BD| =4 2 k2+ 1k2