2020年新高考一轮理数：选修4-4坐标系与参数方程

1、选修 4 一 4坐标系与参数方程本节主要包括 2 个知识点:第一节 坐标系1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换;突破点( (一) )平面直角坐标系下图形的伸缩变换抓牢双基自学区基本知识 了 x=入 xX0,设点 P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换$：i7的作用下,y，=心(口0)点 P(x, y)对应到点 P (x, y),称$为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换.基本能力1.判断题x(1)平面直角坐标系中点P( 2,3)在变换$: ly1=2x，的作用下得到的点为 P(1=3y1,1).( )x = 2x,已知伸缩变换 $1|y =1y，经0变换得到点 A (2,4

2、)，则原来点的坐标为A(4,2).()答案：( (1)2(2)X2.填空题x =x,(1)直线 I:x2y+3=0 经过0：ly=2y变换后得到的直线 I方程为x=x， 解析：设 I 上的任一点 P(x ,y )由题得 S1y=$,代入 x 2y+ 3 = 0 得 x y+ 3 = 0，直线 I 的方程为 x y+ 3 = 0.则所求焦点坐标为 F1( ( 5,0), F2( (5,0).答案：x y+ 3 = 0(2)已知平面直角坐标系中点A( 2,4)经过$变换后得 A 的坐标为 一 22，则伸缩变换为_ .丁 x=弦入 0,解析：设伸缩变换机$ ,护y=叮 口 0则有2=2人解得1入=1

3、，x$：彳1=4x，2=4(1,11 =.1=2y. 1，2x = x2由题意，将3代入 x2七=164y= 2yZBx_24y2得 9 64 =1,22化简得 9 - 16 =1，2 2即 I 16= 1 为曲线 C 的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线,研透高考*讲练区全析考法平面直角坐标系下图形的伸缩变换2典例求双曲线 C： x2 64= 1 经过=3x,变换后所得曲线 C 的焦点坐标.2y= y解设曲线 C上任意一点P (x , y),x答案：$：y方法技巧应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点 P 的坐

4、标( (X，y)与变换后的点P 的坐标( (xy),再利用伸缩变换公式x=入X0 ,建立联系.y = yP0(2)已知变换后的曲线方程f(x, y)= 0, 般都要改写为方程f(x , y )= 0,再利用换元法确定伸缩变换公式.全练题点x= 3x,1.求直线 l: y= 6x 经过机 1变换后所得到的直线 I的方程.2y= y解：设直线 I上任意一点 P (x , y), 1 ,|x = zx ,由题意，将代入 y= 6x 得 2y = 6x沪2y 所以 y = x ，即直线 I 的方程为 y= x.2.在同一平面直角坐标系中，将直线x 2y= 2 变成直线 2x y = 4，求满足图象变换

5、的伸缩变换.x=入 40解：设变换为 f代入第二个方程，得 2 入x尸 4,与 x 2y= 2 比较系ly =H 卩 0 x =x,x =x,数得=1,尸 4,即*因此，经过变换丫后，直线 x 2y= 2 变成直线y =4y.y =4y2x y = 4.x = x,3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线 C : x2+ y2= 36ly = 变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标.解：设圆 x2+ y2= 36 上任一点为 P(x, y),伸缩变换后对应点的坐标为P (x , y ),则乂=2X，所以 4X2+ 9y -36, y= 3y,2 2所以曲线C在伸缩变换后得椭圆春+=i,其焦点

6、坐标为( (土 5, 0).突破点( (二)极坐标系学区基本知识1.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定_ O,点 O 叫做极点，自极点 O 引一条射线 Ox, Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位(通常取弧度) )及其正方向( (通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为p0,B可取任意实数.(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标( (p B)与( (p, 0+2kn)k Z)表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为(0, 0)( R)， 和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定p0,00求出角

7、I工国若正切值不存在，则谏点在“轴上人问题即解(1)求圆 0 和直线 l 的直角坐标方程；当0(0，n时，求直线 l 与圆 0 公共点的一个极坐标.2解圆 0: p=cos0 +sin0,即p =pcos0+psin0,圆 0 的直角坐标方程为：x2+ y2= x + y,即 x2+ y2 x y= 0,直线 l: psin0才=， 即 in0pcos0=1,则直线 I 的直角坐标方程为：y x= 1, 即卩 x y+ 1 = 0.x2+ y2 x y= 0,x= 0,由得|x y+ 1 = 0y= 1,则直线 i 与圆 o 公共点的一个极坐标为 1,n.方法技巧1. 应用互化公式的三个前提条

8、件(1) 取直角坐标系的原点为极点.(2) 以 x 轴的正半轴为极轴.两种坐标系规定相同的长度单位.2. 直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角0的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标( (p, 0的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个当限定p0,00,2 时)除极点外，点M的极坐标是唯一的.当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角0应注意判断点 M 所在的象限( (即角0的终边的位置),以便正确地求出角0 00,2 的值.第一步第二步-例 1在极坐O: p=cos0+sin0和直线 l:极坐标方程的应用例 2 (2018 安徽合肥模拟) )在直角坐标系 xOy 中，以

9、坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为p=4cos 化(1) 求出圆 C 的直角坐标方程；(2) 已知圆 C 与 x 轴相交于 A, B 两点，直线 I: y= 2x 关于点 M(0, m)(m丰0)对称的直 线为 I.若直线 I上存在点 P 使得/ APB = 90,求实数 m 的最大值.2 2 2 2解(1)由p=4cosB得p=4 pcos0,即 x + y - 4x = 0,故圆 C 的直角坐标方程为 x+ y2- 4x = 0.(2)l: y= 2x 关于点 M(0, m)对称的直线 I的方程为 y= 2x+ 2m，而 AB 为圆 C 的直径，|4+

10、 2m|故直线 I上存在点 P 使得/ APB= 90的充要条件是直线 I与圆 C 有公共点，故寸5 2,解得2- 50), M 的极坐标为( (p,Q)(p0).4由题设知|OP|=p,|OM |=p1= cos0由 |OM|OP|=16,得 C2的极坐标方程p=4cos0p0).2 2因此 C2的直角坐标方程为(x 2) + y = 4(xM0).(2)设点 B 的极坐标为( (p, a(pB0),由题设知|OA|= 2,PB= 4cosa,于是 OAB 的面积1.1S=|OA|pBsinZAOB=4cosa sin(a=2 sina=表时，S 取得最大值 2+3.所以 OAB 面积的最大

11、值为 2+ 3.x= acost,2. (2016 全国卷I)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为(t 为参ly= 1 + asin t数，a 0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:尸 4cos0.直线 C3的极坐标方程为0= a,其中a满足 tana=2，若曲线 Ci与 C2的公共点都 在 C3上，求 a.解：消去参数 t 得到 Ci的普通方程为 x2+ (y 1)2= a2,则 Ci是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.2将 x = pcos0,y= psin0代入 Ci的普通方程中，得到 Ci的极坐标方程为p 2psin0+1a = 0.(2)曲

12、线 Ci, C2的公共点的极坐标满足方程组p 2 psin0+ia=0,p=4cos0.若pM0,由方程组得 i6cos08sin Qcos0+ i a = 0,2由已知 tan0=2，可得 i6cos0 8sin Qcos0=0,从而 i a = 0，解得 a = i(舍去)或 a = i.当 a = i 时，极点也为 Ci, C2的公共点，且在 C3上.所以 a= i.课时达标检测_i.在极坐标系中，已知圆 C 经过点,訂 圆心为直线 卩叫0-：=弓3与极轴 的交点，求圆 C 的极坐标方程.解： 在 psin(0n=号3中， 令0=0,得p=i,所以圆 C 的圆心坐标为(i,0). 因为圆

13、C经过点P2,n,的极坐标方程为p=2cos0离.解：因为 M , N 分别是曲线p+2sin0=0 和 psin0+才=子上的动点，即 M , N 分别2.设 M , N 分别是曲线所以圆 C 的半径 PC =圆 C 过极点，所以圆 C+2sin0=0 和 psinM , N 的最小距是圆 X2+ y2+ 2y= 0 和直线 x+ y 1 = 0 上的动点，要求 M , N 两点间的最小距离，即在直2 2线 x+ y 1 = 0 上找一点到圆 x + y + 2y= 0 的距离最小， 即圆心(0, 1)到直线 x + y 1 = 0的距离减去半径，故最小值为|0离 1=/2 1.3. (20

14、18 扬州质检) )求经过极点 0(0,0), A 6,n，B解：点 O, A, B 的直角坐标分别为(0,0), (0,6), (6,6),故OAB 是以 0B 为斜边的等腰直角三角形，圆心为( (3,3)，半径为 3.2,圆的直角坐标方程为(x 3)2+ (y 3)2= 18,即 x2+ y2 6x 6y= 0,将 x = pcos0,y= pinB代入上述方程，得p 6pcos0+sin0=0,即p=6 . 2cos04 .4. (2018 西质检) )在极坐标系中，曲线 C 的方程为p2=+0点 Rf2,亦.(1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极

15、坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时 P 点的直角坐标.2 2解：曲线 C:p=3 ，即p2+ 2p2sin20=3，从而1+2sin03x = pcos0,y= psin0,2曲线C的直角坐标方程为 x + y2= 1,点 R 的直角坐标为 R(2,2).设 P( 3cos0,sin0,根据题意可得 |PQ| = 2 3cos0 ,|QR|= 2 sin0,当0=6 时,|PQI + IQR|取最小值 2 ,，宁三点的圆的极坐标方程. PQ|+ |QR|

16、= 4 2sin矩形 PQRS 周长的最小值为 4,此时点P的直角坐标为 2，2.5. (2018 南京模拟) )已知直线 I: ein(0-力4 和圆 C:p=2kcosB+n( (k丰0),若直线 l 上的点到圆 C 上的点的最小距离等于2.求实数 k 的值并求圆心 C 的直角坐标.解：圆 C 的极坐标方程可化为p= _2kcos02ksin0,即p2= /2k pos0 /2k pin0,所以圆 C 的直角坐标方程为x2+ y2 2kx + .2ky= 0,直线 l 的极坐标方程可化为psin0云pcos0药=4,所以直线 l 的直角坐标方程为x y+ 4 2 = 0,即 |k + 4|

17、= 2+ |k|,两边平方，得|k|= 2k + 3,k0,kv0,所以或k = 2k+ 3 k = 2k+ 3,解得 k= 1，故圆心 C 的直角坐标为 一宁，今.6.已知曲线 C 的极坐标方程是 pin208cos0=0,以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为a的直线 l 过点(2,0).(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；设点 Q 和点 G 的极坐标分别为 2,宁，(2,n)若直线 l 经过点 Q,且与曲线 C 相 交于 A, B 两点，求 GAB 的面积.解：曲线 C 的极坐标方程化为p2sin208

18、pcos0=0,再化为直角坐标方程为y2= 8x.所以圆心 C 的直角坐标为所以密+乎 k+ 4 迄-2- |k|=2.X= 2 + tcosa,直线 l 的参数方程为(t 为参数)y= tsina(2)点 Q 2,乎的直角坐标为( (0, 2).因为直线 l 过点 P(2,0)和 Q(0, 2),所以直线 l 的倾斜角a=n4fx= 2+爭 t,所以直线 l 的参数方程为(t 为参数).将 I 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得今 t2= 8 2 + 22t .整理，得 t2 8 2t32 = 0.=(8 2)2+4X32=2560.设 ti, t2为方程 t2 8 2t 32= 0

19、的两个根，则 t1+t2=8 2,t1t2= 32,所以 |AB|= |t1 t2|=t1+ t22 4t1t2= , 256= 16.由极坐标与直角坐标互化公式得点G 的直角坐标为( (2,0).点 G 到直线 I 的距离为 d= |PG|sin 45 = 4 = 2 2,所以SMAB= 1Xdx|AB|=16X2 2= 16 2.7. (2018 贵州联考) )已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为 2,n.(1) 求出以 C 为圆心，半径长为 2 的圆的极坐标方程( (写出解题过程);(2) 在直角坐标系中，以圆 C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点 P 是

20、圆 C 上任意一点，Q(5, 3), M 是线段 PQ 的中点，当点 P 在圆 C 上运动时，求点 M 的轨迹的普通方程.n n解：( (1)如图，设圆 C 上任意一点 A(p,B)y/AOC =03 或；a33由余弦定理得，4+p2 4 pcos0-n= 4,所以圆 C 的极坐标方程3 -在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，衍)，可设圆 C 上任意一点 P(1 + 2cosa,V3 +2sino)，又令 M(x, y),由 Q(5，3), M 是线段 PQ 的中点,6+2cosax=X=3+cosa,即丫( (a为参数),y=sina2 2点 M 的轨迹的普通方程为(x 3) + y = 1

21、.x = 2cos( () ),8 在平面直角坐标系中，曲线Ci的参数方程为( ($为参数) )，以原点 0y= sin $为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线0=扌与曲线 C2交于点 D 2,n.(1) 求曲线 Ci的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2) 已知极坐标系中两点 A(p, 0),B(P2,%+亍,若 A,B 都在曲线 Ci上，求pp+p的值.x= 2cos $,解：-Ci的参数方程为彳y= sin $,x22Ci的普通方程为 4+y2= i.由题意知曲线 C2的极坐标方程为p=2acos0a 为半径),将 D?,代入，得 2=

22、 2ax2a = 2,.圆 C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为 2,2 2C2的直角坐标方程为(x 2)2+ y2= 4.2 20曲线 Ci的极坐标方程为P:s0+p2sin20=i,为p=4cos0得点 M 的轨迹的参数方程为2sina2(a为参数),42 24sin0+cos04_4sin20o+coS2Oo,n24sin0o+cos42 21sin0o+4cos0o2 2 2 24sin0o+cos0o4cos0o+sin0o54.第二节参数方程本节主要包括 2 个知识点:1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题突破点( (一)参数方程基本知识1. 参数方程一般地，在平面直

23、角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数 t 的函x = f(t)x = ft X,数：f 丿并且对于 t 的每一个允许值，由方程组彳 丿所确定的点 M(x, y)都在 y=g t,y=g t这条曲线上，那么方程x=ft就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参_ly= gt)数目对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方 _2.直线、圆、椭圆的参数方程x=xo+tcosa,(1)过点 M(xo, yo),倾斜角为a的直线 l 的参数方程为l (t 为参数).y=yo+tsinax=xo+rcos0,圆心在点 Mo(xo, yo),半径为 r 的圆的参

24、数方程为：.(0为参数).y=yo+rsin02 2(3)椭圆字+存=1(a b o)的参数方程为x=acose,(0为参数) ).y=bsine基本能力1.判断题x = 一 1 一 t,（1）参数方程（t 为参数）所表示的图形是直线.（）y= 2+1X=3C0Sa,直线 y= X 与曲线 f（a为参数）的交点个数为 1.（）|y=3sina答案：“（2）X2.填空题x= 1 + 2t,（1）若直线的参数方程为（t 为参数），则直线的斜率为_ly= 2 3t答案：2x= 5cos 札椭圆 C 的参数方程为W 为参数），过左焦点 F1的直线 l 与 C 相交于 A,y= 3sin $B 两点，贝

25、 U |AB|min=_，x = 5cos $,x2y2解析：由丫（0为参数）得，25+十=1，当 AB 丄 x 轴时，|AB|有最小值.ABIminy= 3sin $259185.rx=sin0,曲线 C 的参数方程为 f（0为参数），则曲线 C 的普通方程为y= cos 20 1x=sin0,解析：由( (0为参数) )消去参数0得 y= 2x2( 1 xw1).y= cos 20- 1答案：y= 2x2( 1wx0, At1 或 t 1 时，Ovxw1,当 tw1 时，一 K x0,2 2 2vy= 1+ cos 20=1+ 1 2sin0=2sin0,sin0=x 2,.y= 2x+

26、4,.2x+ y4 = 0.20wsin20W1,.owx 2w1 ,.2wxw3,所求的普通方程为 2x + y 4= 0(2wxw3).易错提醒(1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意的一致性.将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x, y 的取值范围的影响.I直线与圆锥曲线的参数方程及应用1解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下：(1) 把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；(2) 根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.2.当直线经过点 P(xo, yo),且直线的倾斜角为a,求直线与圆锥曲线的交点、弦长问x= xo+ tcosa,题时，可以

27、把直线的参数方程设成(t 为参数),交点 A, B 对应的参数分别|y=yo+tsina为,如计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出|AB|= |t1 t2|=t1+ t22 4t1t2.x= 1 + 余,x= cos0,(0为参数).所求普通方程2 2x + y = 1,其中“0 x1iOwy1|1wx0,或I10 ,故可设 ti, t2是上述方程的两实根，所以I ti= 4.又直线 I 过点 P(3,5),故由上式及 t 的几何意义得|PA|+ |PB|=|ti|+ |t2|= ti+ t2= 3 2.2.考点一、二(2018 郑州模拟) )将曲线 Ci： x2+ y2=

28、1 上所有点的横坐标伸长到原来的一 2 倍(纵坐标不变) )得到曲线 C2, A 为 Ci与 x 轴正半轴的交点，直线 I 经过点 A 且倾斜角为 30,记 I 与曲线 Ci的另一个交点为 B,与曲线 C2在第一、三象限的交点分别为 C, D.(1) 写出曲线 C2的普通方程及直线 I 的参数方程；(2) 求 |AC| |BD|.2x= i + t，解:(i)由题意可得 C2：x + y2= i,对曲线 Ci,令 y= 0,得 x = i,所以 I:2I ily= 2t(t 为参数).整理得 5t2+ 4 3t 4 = 0.设点 C, D 对应的参数分别为 ti, t2,贝 U ti+ t2=

29、,2代入 2 + y2= i,即 t2 3 ,2t+ 4 = 0.x= i +将且|AC| = ti, AD|= t2.又|AB| = 2|OA|cos 30 = 3,故 |AC| |BD |= |AC| (|AD| |AB|)= AC| |AD |+ |AB|= ti+ 乜 + 3=突破点(二)参数方程与极坐标方程的综合问题2将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：，1 解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆 .要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.，2 应用解析法解决实际问题时，要注意选取

30、直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位 置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.,3 求曲线方程，常设曲线上任意一点pp,利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.,4 参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x, y 的取值范围，即注意两者的等价性.全析考法参数方程与极坐标方程的综合问题典例(2018 广东五校协作体联考) )在直角坐标系xOy 中，曲线 Ci的参数方程为X=/cosa,(a为参数) )，以原点 0 为极点，X 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线y=sinaC2的

31、极坐标方程为psin0+ n=4 2.(1) 求曲线 Ci的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；设 P 为曲线 Ci上的动点，求点 P 到曲线 C2上点的距离的最小值.X=cosa,解(1)由曲线 Ci： 5得y=sina2曲线 C1的普通方程为 X；+y2= 1.由曲线 C2： inJ+ n；!=4 伍得p(sin0+cos0= 4 寸 2,即曲线 C2的直角坐标方程为 x + y 8 = 0.(2) 由(1)知椭圆 C1与直线 C2无公共点，椭圆上的点 PC 2cosa,sin %)到直线 x + y 8 = 0 的距离为| 2cosa+sina8| 3sina+ 0 8|d= 2 = 2

32、 ，8J2 6方法技巧所以当 sin(a+0=1 时，d 取得最小值处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角 坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用p和B的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.全练题点x= 4 + 5cos t,1.已知曲线 Ci的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点，x 轴的y= 5+ 5sin t,正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sin0.(1) 把 Ci的参数方程化为极坐标方程；(2

33、) 求 Ci与 C2交点的极坐标( (p0,0W 0V2n)x = 4+ 5cos t,解：( (1)将 S消去参数 t,化为普通方程( (x 4)2+ (y 5)2= 25,即 Ci: x2y= 5+ 5sin t2+ y 8x 10y+ 16= 0.x= gos022将、代入 x + y 8x 10y+ 16 = 0y=psin02得p 8 pcos010 psin0+16=0.2所以 C1的极坐标方程为p 8 pcos0-10 psin0+ 16= 0.2 2C2的普通方程为 x + y 2y= 0.2 2x + y 8x 10y+ 16 = 0,由x2+ y2 2y= 0,x= 1,x

34、= 0,解得 j或 jy= 1,ly= 2.所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 2,n, 2,n.2 . (2018 南昌十校模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 6 的参数方程为求 C2的直角坐标方程；（2）当 Ci与 C2有两个公共点时，求实数 t 的取值范围.解：（1） 曲线 C2的极坐标方程为p-#cosB+sin0 21 2t，A曲线 C2的直角坐标方程为 x+ y t = 0.(2)曲线 Ci的普通方程为( (x 1)2+ (y 1)2= 1(0 xw2,0Wy 1),为半圆弧,解得 t= 2 .2 或 t = 2+ 2(舍去),当直线 C2过 A, B 两点时，t= 1,全

35、国卷 5 年真题集中演练一一明规律x=3cos0,1. （2017 全国卷I）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（0为参ly=sin0 x= a+ 4t,数），直线 I 的参数方程为（t 为参数）.Iy= 1 t（1）若 a= 1，求 C 与 I 的交点坐标；若 C 上的点到 I 距离的最大值为，17，求 a.2解：（1）曲线 C 的普通方程为 x + y2= 1.当 a = 1 时，直线 l 的普通方程为 x + 4y 3 = 0,x=1+cosa,y=1+sina（a为参数，nW aW2n）以 0 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为pCOS如图所

36、示，曲线当直线 C2与曲线 C1相切时，由寸2 = 1,x+ y= 0,由图可知，当 2 2t 4 时，d 的最大值为寸 17 .a + 9_由题设得 =17，解得 a = 8;a+ 1当 av 4 时，d 的最大值为 浙 7 由题设得一=17,解得 a= 16.(m 为参数) )设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时，Py= k的轨迹为曲线 C.(1) 写出 C 的普通方程；(2) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：pcos0+ sin0 , 2= 0,M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径.解：消去参数 t 得 l1的普通方程 l1： y= k(x 2)

37、;消去参数 m 得 l2的普通方程 阮 y= k( (x+ 2) 消去 k 得 x2 y2= 4(yM0).从而 C 与 I 的交点坐标为( (3,0),212425， 25.直线 l2的参数方程为$x + 4y 3 = 0,综上，a = 8 或 a= 16.x= 2+ m,参数）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程所以 C 的普通方程为 x2 y2= 4(yz0).2 2 2C 的极坐标方程为P(cos0-sin 0)= 4(0V 00 ,5. （2018 西百校联盟模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，C1： x=匚（t 为参数）.以ly= k（t 1

38、 ）（t 为参数） ,则 t0=t1+ t222813,所以点 M 的坐标为12313 13 .因为|PA|OP|2= 7,所以12cosa+4sin2a=7,得 tana=516.故 tana=才.所以直线 I 的斜率为_54原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：p2+ 10 pcos0 6 psin0+ 33= 0.(1)求 Cl的普通方程及 C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线; 若 P，Q 分别为 Ci,C2上的动点，且|PQ|的最小值为 2,求 k 的值.x= t,解：( (1)由可得其普通方程为 y= k(x 1)，它表示过定点( (1,0)，

39、斜率为 k 的ly= k( (t-1) )直线.2 2 2由p+ 10 pcos06 psin0+ 33 = 0 可得其直角坐标方程为 x + y + 10 x 6y+ 33 = 0,整2 2理得(x + 5) + (y 3) = 1,它表示圆心为( (一 5,3)，半径为 1 的圆.| 6k 3|6k + 3|因为圆心( (一 5,3)到直线 y= k(x 1)的距离 d=2=2，故|PQ|的最小值为切 1+ k2 1 + k2|6k + 3|6k+ 3|24-2 1，故-2 1 = 2,得 3k + 4k = 0,解得 k = 0 或 k = 7.-1 + k21 + k236. (2018 湖南岳阳模拟) )已知曲线 C 的极坐标方程为p=6sin0,以极点 O 为原点，极一一 x = 1 + at,轴为 x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线I 的参数方程为(t 为参数) ).Iy= 1 +