2020年人教版高考数学(理)一轮复习第七单元听课正文第45讲空间向量及其运算和空间位置关系

1、听课正文 第 45 讲 空间向量及其运算和空间位置关系课前双基巩1.空间向量及其有关概念名称语言描述共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线(平行向量)共面向量平行于的向量共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b工 0),a/b? 存在 入eR 使共面向量右两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面？存在唯一的有序头定理数对(x,y)，使p=xa+yb(1)疋理:如果一个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序头空间向量数组x,y,z,使得p=.基本定理(2)推论:设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P都存在唯一的二个有序实数x,y,z,使=x +y +z，且x+y+

2、z=2.两个向量的数量积(1)ab=_ .(2)a丄b? _(a,b为非零向量).|a|2=_,|a|=3.向量的坐标运算a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=向量差a-b =数量积a-b=共线a/b?(入eR” 0)垂直a丄b?夹角公式cos=-。对点演练题组一常识题1.教材改编已知向量a=(2,-3,5),b= 且a/b,则入等于.2._ 教材改编若直线I的方向向量为a=(1,0,2),平面a的法向量为n=(-2,0,-4),则I与a的位 置关系为.3.教材改编如图 7-45-1 所示,在平行六面体ABCD-AiBiCiDi中M为AiCi与BiDi的交点.若=a,

3、=b,=c,贝U可用a,b,c表示为_.4._ 教材改编已知a=(2,-i,3),b=(-i,4,-2),c=(7,5,若a,b,c三向 量共面，则实数 入等 于_.题组二 常错题索引：忽略向量共线与共面的区别；使用向量的数量积公式出错.5给出下列命题：1若向量a,b共线则向量a,b所在的直线平行；2若三个向量a,b,c两两共面，则向量a,b,c共面；3已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc;4若A,B,C,D是空间任意四点 则有+=0.其中为真命题的是_6._ 教材改编与向量a=(-3,-4,5)共线的单位向量是 _.7._ 教

4、材改编 已知向量a=(i ,2,-2),b=(0,2,4),则a,b夹角的余弦值为 _.图 7-45-28.教材改编如图 7-45-2 所示，在大小为 45。的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为 i 的正方形 则B,D两点间的距离是 _. 课皇考昶笼I-理咧号解法总堵归*型+O探究点一 空间向量的线性运算例 1 如图 7-45-3 所示，在平行六面体ABCD-AiBiCiDi中，设=a,=b,是AAi,BC,CiDi的中点 试用a,b,c表示以下各向量=c,M,N,P分别图 7-45-3(1)；(2)；(3)+总结反思进行向量(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意

5、义(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立/、厲/变式题 如图 7-45-4,在长方体ABCD-AiBiCiDi中,0为AC的中点.(i)化简：-_-_=_.R图 7-45-4图 7-45-6o 探究点二共线、共面向量定理的应用例 2 如图 7-45-5,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，用向量 方法证明：(1)E,F,G,H四点共面；(2)BD/ 平面EFGH.用表示，则图 7-45-5图 7-45-8=k=k(0kw1),则向量是否与向量共面？总结反思证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P,A,B,C四点共面，只要能证

6、明=x +y即可.对空间任意一点0,若=x +y +z(x+y+z=1),则PA,B,C四点共面.变式题 如图 7-45-6 所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点M,N分别在AC1和BC上且满足o探究点三 利用空间向量证明平行或垂直例 3 如图 7-45-7,在棱长为a的正方体ABCD-AiBiCiDi中,G为厶BCiD的重心.(1)试证Ai,G,C三点共线;试证AiC丄平面BCiD;(3)求点C到平面BCiD的距离.图 7-45-7总结反思(1)选取空间不共面的三个向量为基底，用基底表示已知条件和所需解决问题的图 8-45-8过程就是将几何问题转化为向量问题的过程(2) 通过计算向量的数量积为0,可证明垂直问题；(3) 要证线面平行，证明该直线的方向向量