2019年数学选修1-1常考题51

1、2019年数学选修1-1常考题单选题(共 5 道)1、设函数 f (x) =ax3+bx2+cx+2 的导函数为 f( x),如果 f( x)为偶函数，则一定有()Aa 工 0， c=0Ba=O, c 工0Cb=0Db=O, c=02、函数 y=2sinx 的导数 y=()A2cosxB-2cosxCcosxD-cosx3、(2015 春?永安市月考)已知函数 f (x) hx3+ax2+b2x+2015(a, b R), 若从区间1 , 3中任取的一个数 a,从区间0 , 2中任取的一个数 b,则该函数 有两个极值点的概率为()4、给出以下四个命题：1如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线

2、的平面和这个平面相交， 那A-B c D么这条直线和交线平行；2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于这个平面；3如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；4如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；其中真命题的个数是A4B3C2D15、若命题 p： |x+1|v2,命题 q： x2v2-x，则p 是q 的（ ）A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件简答题（共 5 道）6 （本小题满分 12 分）求与双曲线有公共渐近线，且过点： - -的双曲线的标准方程。7、已知 f (x) =ax3+3x2-x+1

3、 在 R 上是减函数，求 a 的取值范围8、( 1)已知函数 f (x) =x3-x，其图象记为曲线 C,(i)求函数 f(x)的单调区间；(ii)证明：若对于任意非零实数 x1,曲线 C 与其在点 P1 (x1, f (x1)处的切线交于另一点 P2 (x2, f (x2),曲线 C 与其在点 P2 处的切线交于另一 点 P3(x3, f (x3),线段 P1P2 P2P3 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记 为 S1 , S2,则警为定值；(U)对于一般的三次函数 g (x) =ax3+bx2+cx+d (a0),请给出类似于 (1)(ii)的正确命题,并予以证明。9、舰 A 在舰 B

4、 的正东 6 千米处，舰 C 在舰 B 的北偏西 30且与 B 相距 4 千 米，它们准备捕海洋动物，某时刻 A 发现动物信号，4 秒后 B、C 同时发现这种 信号，A发射麻醉炮弹设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为 1 千米/ 秒，炮弹的速度是丨千米/秒，其中 g 为重力加速度，若不计空气阻力与舰 高，问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少?10、以椭圆 x2+a2y2=a2(a 1)的一个顶点 C (0, 1)为直角顶点作此椭圆 的内接等腰直角三角形 ABC 试问：(1) 这样的等腰直角三角形是否存在？若存在， 写出一个等腰直角三角形 两腰所在的直线方程若不存在，说明理由.(2)

5、这样的等腰直角三角形若存在，最多有几个？填空题(共 5 道)11、如果方程条表示双曲线，那么的取值范围是12、双曲线 C1:=1 (a0, b0)，斜率为 2 的直线 I 过双曲线 C1 的a-右焦点，且与双曲线 C1 左右支各有一个交点，则双曲线 C1 离心率取值范围 _13、函数 y=x2(x 0)的图像在点(ak，ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为ak+1，k 为正整数，a 仁 16,则 a1+a3+a5=()。14、要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为 3m 长和宽的和为 20m则仓库容积的最大值为15、老师给出一个函数 y=f(x)，甲、乙、丙、丁四个学生各给出这个函数 的

6、一个性质.甲：对于 三 R,都有 f(1+x)=f(1 x)；乙：f(x)在(-：,0上是减函数；丙：f(x)在(0,+ G 上是增函数；丁： f(0)不是函数的最小值.现已知其中恰有三个说得正确，则这个函数可能是(只需写出一个这样的函 数即可).1-答案：C2-答案：tc解：Ty=2sinx，二 y =2cosx .故选：A.3-答案：tc解：函数 f (x) = x3+ax2+b2x+2015 有两个极值点，二 f (x) =x2+2ax+b2有两个不同的根，即判别式 =4a2-4b2 0，即当 ab，该函数有两个极值点， 如下图所示：全部结果所构成的区域为 (a，b) |1 a 3，0

7、b2(图中矩为： (a, b) |1 a3, 0bb(如图阴影所示)，其面积为: 所求的概率为：=，故选：C.4-答案：B5-答案：B所求双曲线的标准方程为 于-略上42-答案：解：函数 f(x)的导数：和刃-込仃心-1,满足该函数有两个极值点的区域1-答案：设所求双曲线的方程为*沁，将点一-代入得二二,(I)当 f( x)V0 (x R)时，f (x)是减函数,.: I .:1： ，所以，当 av-3 时，由 f( x)v0,知 f (x) (x R 是减函数；(U)当 a=-3 时，/=-了”十朮-彳十=-苑?-$ +寸，由函数歹 4 八在 R 上的单调性，可知当 a=-3 时，f (x)

8、 (x R)是减函数；(川)当 a-3 时，在 R 上存在一个区间，其上有 f(x)0,所以，当 a-3 时，函数f (x) (x R)不是减函数；综上，所求 a 的取值范围是 0; 当 x(鲁.亭)时，f( x)v0; 因 此, f (x)的单调递增区间为(訥家 2)，单调递减区间为卜孕普)。(ii)曲线C在点P1处的切线方程为y= (3x12-1 )(x-x1 ) +x13-x1，即 y=得 x3-x= (3x12-1 ) x-2x13，即(x-x1 ) 2(x+2x1) =0,解得 x=x1 或 x=-2x1，故 x2=-2x1，进而有产丨 I(J-器;*2 弧)卜乎八，用 x2 代替

9、x1，重复上述计算过程，可得 x3=-2x2 和 S2：;又 x2=-2x1 工 0，所以宫*;叫円，因此有(2)记函数 g(x)=ax3+bx2+cx+d (a0)的图象为曲线 C,类似于(I)(ii)的正确命题为：若对于任意不等于-.的实数 x1，曲线 C 与其在点 P1(x1，g (x1)处的切线交于另一点 P2(3x12-1 ) x-2x13，(x2，g (x2),曲线C与其在点 P2 处的切线交于另一点 P3(x3, g (x3),线段P1P2 P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别别 为S1, S2,则鲁为定值证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线 y=g(x)的对称

10、中心c-.-4-x平移至坐标原点，因而不妨设 g(x)=ax3+hx, 且 x1 工 0,类似(1)(ii)的计算可得禺=孕血：周=；%；却，于令。4-答案：仰角9=30取 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的中点为原点，建立 如图所示的直角坐标系由题意可知，AB C 舰的坐标为(3 , 0)、( 3, 0)、 (5, 2 .).由于 B、C 同时发现动物信号，记动物所在位置为 P,则|PB|=|PC|.于是 P 在线段BC 的中垂线上，易求得其方程为 匸 x 3y+7、 =0.又由 A、B 两舰发现动 物信号的时间差为 4 秒，知|PB| |PA|=4，故知 P 在双曲线=1 的右支上.

11、直线与双曲线的交点为(8 , 5 -)，此即为动物 P 的位置，禾I用两点间距离公式，可得|PA|=10 据已知两 点的斜率公式，得 kPA=所以直线 PA 的倾斜角为 60。，于是舰 A 发射炮弹的方 位角应是北偏东 30 .设发射炮弹的仰角是9，初速度 v0=手，贝U亠-吕， sin29=仰角9=30。.5-答案：解：(1)这样的等腰直角三角形存在.因为直线 y=x+1 与直线 y=-x+1 垂直，且关于 y 轴对称，所以直线 y=x+1 与直线 y=-x+1 是一个等腰直角三角形 的两腰所在的直线方程.(2)设 A, B 两点分别居于 y 轴的左，右两侧，设 CA 的斜率为 k，则 k

12、0, CA 所在的直线方程为 y=kx+1，代入椭圆的方程并整理得(a2k2+1) x2+2a2kx=0, x=0 或的横坐标为-干 fICG 一，同理可得静mX+irt-A-+l，所以由 |CA|=|CB|=,(k-1 )k2- (a2-1 )k+1=0川丰应旷 i+i /卜 Q(1),当-，时，(1)的解是 k=1, k2- (a2-1) k+1=0 无实数解；当一口时,(1)的解是 k=1, k2- (a2-1) k+1=0 的解也是 k=1 ；当-，时，(1)的解除 k=1 外，方程 k2- (a2-1 ) k+1=0 有两个不相等的正根，且都不等于 1,故(1)有 3 个正根符合题意

13、的等腰直角三角形一定存在，最多有 3 个.解：(1)这样的等腰直角三角形存在.因为直线 y=x+1 与直线 y=-x+1 垂直， 且关于 y 轴对称，所以直线 y=x+1 与直线 y=-x+1 是一个等腰直角三角形的两腰 所在的直线方程.(2)设 A, B 两点分别居于 y 轴的左，右两侧，设 CA 的斜率为 k，则 k 0, CA 所在的直线方程为 y=kx+1，代入椭圆的方程并整理得(a2k2+1) x2+2a2kx=0, x=0 或-启丄，.A的横坐标为-罟=,心 P，同理可得2( (r I ,t2kIi =，所以由 |CA|=|CB| 得 =k-1 )k2- (a2-1 )k+1=0 cl2-k旷厂十i才卜 L(1),当厂 时，(1)的解是 k=1, k2- (a2-1) k+1=0 无实数解；当：一 J：时，(1)的解是 k=1, k2- (a2-1) k+1=0 的解也是 k=1 ；当-，时，(1)的解除 k=1外，方程 k2- (a2-1 ) k+1=0 有两个不相等的正根，且都不等于1,故(1)有 3个正根符合题意的等腰直角三角