2018版高中数学苏教版必修5学案：1.2余弦定理(一)

1、第】亞解三诃形 1.2余弦定理(一)学习目标i掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 解决两类基本的解三角形问题戸知识梳理知识点一余弦定理及其证明1.余弦定理的表示及其推论文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边 与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a= ba,. BA . A = 30 . B= 180 A C= 135.c= 6 .2, A = 30 B = 135反思与感悟已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出第三边其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出 其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解由正弦定理得

2、sin A =輕 2cc12.6. 22X4(2)用正弦定理求解时，需对角的取值根据“大边对大角”进行取舍，而用余弦定理就不存 在这些问题(因为在(0，n上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好跟踪训练 1 在厶 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,若 a = 3, b = 2, cos(A+ B) =3，贝yc=_ .答案，17解析由三角形内角和定理可知cos C = cos(A + B) = 又由余弦定理得 c2= a2+ b212abcos C = 9 + 4 2x3X2x( 3) = 17,所以 c=；17.题型二 已知三边(或三边的关系)解三角形例

3、 2 在厶 ABC 中，已知 a = 2 6, b= 6+ 2 3, c=43,求= (6+2羽2+ (4 书$-(2 剧=诵2 6 + 2 .3 4 ：3nTA(0, n ) A=-6a2+b2c2(2 也2+(6+/3f件強 cos C=丁2ab2x2/6X(6+2p3)2nC(0, n , C=4.A=n,B= nC=n612 94反思与感悟已知三边(或三边的关系)解三角形的方法及注意事项(1) 利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为0,角为直角；值为负，角为钝角.(2) 方法 1:两次运用余弦定理的推论求出两个内角的余弦值，确定两个角，并确定第三个角方法 2:由余

4、弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、 大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为 180确定第三个角的大小.若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入 k,从而转化为已知三边求解 .跟踪训练 2 将例 2 中的条件改为“ a : b : c= 2 6 : (6 + 2.3) ： 4 . 3”，求 A、B、C.解/ a : b : c= 2 .6 : (6 + 2 3) : 4.3,A、B、C.解 根据余弦定理，cos A =2,2 2b+ c a2bcB=n7n,a b c 2 ,6= 6+ 2 ,3= 4,3，a不防设

5、2=k k，则 a = 2 6k, b= (6+ 2 3)k, c= 4 3k,F 同例题解法.题型三 已知两边及其中一边的对角解三角形 例 3 在厶 ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a, b，c，若 a = 2 3，b = 6, A = 45 求边 c.解方法一在厶 ABC 中，根据余弦定理可得a = b + c 2bccos A，即 c 2：j3c 6 = 0，所以 c=33.又 c0，所以 c= 3+ 3.方法二在厶 ABC 中，由正弦定理得bsin A sin B =a因为 ba，所以 BA， 又 B (0 180，所以 B = 30所以 C = 180 A B = 1

6、05所以 sin C = sin 105 sin(45 60) = sin 45 cos 60 + cos 45 sin 60 =+迟6+ ： 2 c c 2 2 3 3X - -故 c=asnasnC=-4 4= 3+ 3.sin A血、2反思与感悟已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边（注意边的取舍），再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角（注意角的取舍），再利用三角形内角和定理求出第三个 角，最后利用正弦定理求出第三边 跟踪训练 3 已知在 ABC 中，b = 3，c= 3， B = 30解此三角形.解 方法一 由余弦定理

7、 b2= a2+ c2 2accos B 得（.3）2=a2+322xax3Xcos 30 ,a2 3 3a + 6 = 0， a=詁 3 或 a = 2 3.当 a= 3 3 时，a = b，. A= 30, C= 120;当 a= 2 3 时，由正弦定理得asin B 3s in 30 sinsin A A= 丁 =,3,3=1 1， 又 A (0 , 180)， A = 90 C= 60. C = 60 A = 90 a= 2 占或 C= 120 A = 30a=宙. 方法二 由 bcsin 30 知本题有两解.1由正弦定理，得 sin C =cscs B B=r_2=f,by/32 C

8、 = 60 或 120当 C = 60时，A= 90 由勾股定理得 a= yjb2+ c2= 2Q3;当 C = 120时，A = 30 = B,. a= 3. C = 60 A = 90 a= 2 治或 C= 120 A = 30 a=西.戸当堂检测1在 ABC 中，符合余弦定理的是 _ .c2= a2+ b2- 2abcos C; c2= a2- b2- 2bccos A; b2= a2- c2- 2bccos A; a2+ b2+ c22ab答案解析由余弦定理及其推论知只有正确2 在厶 ABC 中，已知 a= 4, b = 6, C= 120 则边 c 的值是_答案 2.19解析 由余弦

9、定理 c2= a2+ b2 2abcos C自查自纠 cos C =42+62-2X4X6X(5=76, c= 2 .19.3 在厶 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若 C = 120 c= ,2a，则小关系是a 与 b 的大答案 ab解析cos 120 =a2+ b2- c2a2+ b2-2 a22ab2ab12 b =少 aa.4在 ABC 中，若 a2+ b2- c2= ab，则角 C 的大小为答案解析cos C=a2+ b2-c22abab = 12ab=2335在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若 a= 1, b= .7, c= .3,则 B =_答案 5n65又 B(0, n) B= n.6课堂歩结-11余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是 余弦定理的特例(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(2) 如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.(3) 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的